凸顯本質(zhì)，發(fā)展代數(shù)思維
——“ 方程的意義”教學(xué)實(shí)踐與思考

江蘇太倉市城廂鎮(zhèn)第一小學(xué) 陳 瑛

現(xiàn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教材中將方程定義為 “含有未知數(shù)的等式是方程”。 不少教師在教學(xué)中緊扣定義，從若干等式和不等式中讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)方程的特征，并在定義中尋找關(guān)鍵詞“含有未知數(shù)” “等式”，認(rèn)為只要符合以上兩點(diǎn)，這個式子就是方程。這樣的教學(xué)片面追求了方程的“形”，忽略了方程的本質(zhì)。

一、叩問：方程的本質(zhì)是什么

縱觀蘇教版、人教版、北師大版等教材，幾乎一致定義：“含有未知數(shù)的等式是方程?！边@句話意味著方程是等式里的一類特殊對象，“等式+含有未知數(shù)→方程”。如果教學(xué)只停留在這個程度，那只是表層與形式化的理解，但從長遠(yuǎn)來看，學(xué)生對方程的意義并不理解，這樣的學(xué)習(xí)是有缺失的，不深刻的。比如，對于2x-x=x 這樣的等式，按照方程的字面含義，學(xué)生會默認(rèn)為這就是方程，但這其實(shí)表示的是符號的運(yùn)算，不是真正意義上的方程，它并未體現(xiàn)“求”未知數(shù)的過程。因此，對于方程的本質(zhì)教師需要有明確的認(rèn)識，教師的高度將直接決定學(xué)生思維的深度。

張奠宙先生也曾質(zhì)疑這一定義，他認(rèn)為方程概念的核心是“求”未知數(shù)，方程作為一種數(shù)學(xué)模型是為了去“解”的。為此，張奠宙先生給出了一個替代性定義：“方程是為了尋求未知數(shù)，在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立起來的等式關(guān)系。”筆者對這一定義深表贊同，他把方程的核心價值提煉出來了。方程意義的建構(gòu)需要建立在對相等關(guān)系的理解上，這種相等關(guān)系不僅包括已知量和未知量之間的相等關(guān)系，也包含未知量與未知量之間的相等關(guān)系。這樣的學(xué)習(xí)方式，不直奔結(jié)果，不停留在表象，而是深入本質(zhì)，是動態(tài)深度的學(xué)習(xí)過程，對學(xué)生代數(shù)思維的培養(yǎng)及核心素養(yǎng)的提升較有幫助。

二、慎思：如何讓學(xué)生對方程概念理解深刻

方程是學(xué)生從算術(shù)轉(zhuǎn)入代數(shù)的第一次正式系統(tǒng)認(rèn)識，這種認(rèn)識的深刻與否將影響到學(xué)生后期列方程解決問題及初高中對于一元一次方程、二元一次方程、一元二次方程，甚至是多元方程的理解與運(yùn)用。小學(xué)階段只學(xué)習(xí)簡易方程，即只限于ax±b=c,ax±bx=c 的方程。事實(shí)上，小學(xué)生在學(xué)習(xí)方程過程中會遇到實(shí)際困難，如不能很好理解已知數(shù)和未知數(shù)之間的平等關(guān)系；不能找準(zhǔn)等量關(guān)系列出方程；不能正確區(qū)分恒等變換和同解變換等。鑒于此，方程的意義教學(xué)尤為關(guān)鍵，筆者認(rèn)為可以從以下三方面幫助學(xué)生對方程概念的理解走向深刻。

1.尋找聯(lián)結(jié)，孕伏滲透

方程所蘊(yùn)含的代數(shù)思維并不是從這節(jié)課才開始建立，早在學(xué)生一年級起就已經(jīng)進(jìn)行了孕伏滲透，如一年級有形如：8+（ ）=10 的填空。學(xué)生可以根據(jù)10 的分與合及算加法想減法10-8=2 等方式來解決問題，這是早期代數(shù)思維的啟蒙，這種逆向思考對后續(xù)的求解方程具有很大的作用。到了五年級系統(tǒng)學(xué)習(xí)方程時，教師可充分尋找知識間的聯(lián)結(jié)點(diǎn)，以熟悉的低年級情境引入，通過逆向求解和順向列式的方式，讓學(xué)生充分體會到算術(shù)和方程的聯(lián)系與區(qū)別。

2.變逆為順，深入核心

由于長期受算術(shù)思維的影響，學(xué)生解決問題的常用方式是算術(shù)表達(dá)。而方程是順著題意，在已知量和未知量之間建立的等式關(guān)系。因此，學(xué)生只有正確尋找到題目中的等量關(guān)系，才能更好地列出方程，從而突破未知數(shù)的求解。

3.多元表征，豐富意義

隨著方程學(xué)習(xí)的不斷深入，練習(xí)的選擇需要具有一定的典型性和深入性，直指知識的本質(zhì)，讓學(xué)生不斷走向深度學(xué)習(xí)。此時，可以將書本習(xí)題進(jìn)行改編重組，挖掘資源，凸顯核心價值。如根據(jù)一幅圖列出方程，學(xué)生在圖中找到的等量關(guān)系不同，列出的方程也不同。此時將情境圖范圍縮減，變成簡易關(guān)系圖，讓學(xué)生給這幅圖賦予不同的情境，拓寬學(xué)生的思維。

三、實(shí)踐：凸顯核心的意義建構(gòu)，讓代數(shù)思維走向深入

如何把握方程的本質(zhì)，讓學(xué)生深入理解方程的概念？筆者進(jìn)行了嘗試：

片段一：勾連創(chuàng)造方程，初步體會屬性

出示情境圖：

師：一年級的題，你會嗎？

生：太簡單了，15-9=6。

師：一年級有個小朋友想不明白，他想順著題目的意思，9 加多少等于15 呢？他想啊想，終于想出來了，9+6=15，但是看著這個算式又覺得怪怪的，答案不是15，是6 呀。你能幫他想個辦法嗎？

（教師引導(dǎo)學(xué)生用符號或字母表達(dá)，如9+□=15,9+（ ）=15,9+a=15,9+x=15……隨后又呈現(xiàn)幾個熟悉的情境圖，通過逆向思維求解，通過順向思維列出方程）

在這個過程中，學(xué)生經(jīng)歷了逆向思考求解問題、順向思考列出方程的過程，從原有算術(shù)思維邁入代數(shù)思維，這個過程是學(xué)生親自經(jīng)歷的，因此，對于方程的屬性已有初步認(rèn)識，同時隨著題目的求解難度提高，越來越深刻地意識到用順向思考列式更加簡單，這無形中解決了學(xué)生不愿用方程解決問題的困惑。

片段二：建立等量模型，理解方程本質(zhì)

學(xué)生借助天平先認(rèn)識了平衡和不平衡兩種現(xiàn)象，并聚焦到平衡關(guān)系中。根據(jù)天平平衡理解左右兩邊的質(zhì)量是相等的，從而確定了其中的等量關(guān)系：2 個20克砝碼的質(zhì)量+10 克砝碼的質(zhì)量=50 克砝碼的質(zhì)量。

師：你能用一個式子把這種相等關(guān)系表示出來嗎？

生：20+20+10=50 或 20×2+10=50

（學(xué)生通過這樣的方式明確了如何尋找相等關(guān)系，并根據(jù)相等關(guān)系列出等式。隨后小組內(nèi)交流課前小研究，先說說相等關(guān)系再交流式子）

思考：每幅圖中存在怎樣的相等關(guān)系？

學(xué)生交流：

圖一：相等關(guān)系：蘋果的質(zhì)量+梨的質(zhì)量=200 克砝碼的質(zhì)量+100 克砝碼的質(zhì)量

式子：x+y=200+100

圖二：相等關(guān)系：三本數(shù)學(xué)故事的價格=15.6 元

式子：3a=15.6

圖三：相等關(guān)系：甲車的速度×甲車行駛的時間=乙車的速度×乙車行駛的時間

式子：100×4=80×5

接著，將課始列出的式子與剛才的式子放在一起觀察，明確把表示相等關(guān)系的數(shù)學(xué)式子稱為等式。

師：同樣都是等式，有什么不同？

指出：有些等式表示的是已知數(shù)之間的相等關(guān)系，而有些表示的是已知數(shù)和未知數(shù)之間的相等關(guān)系。像這些表示已知數(shù)和已知數(shù)相等關(guān)系的式子只是等式，而含有未知數(shù)的等式就是方程。

師：我們可以順著題目的意思，帶著一個或多個未知數(shù)，把相等關(guān)系用等式表示出來，這樣的等式就是方程。

天平不僅體現(xiàn)了不同物體的質(zhì)量關(guān)系，還能具體到稱量物體的質(zhì)量，將一種模糊的平衡或不平衡的狀態(tài)，變得更精確、更具體，具體到可操作、可表達(dá)。因此，等量關(guān)系的難點(diǎn)突破從天平入手，從已知量間的平衡關(guān)系引出相等關(guān)系，構(gòu)建已知量與已知量間的等量關(guān)系。隨后出現(xiàn)一些常見的等量模型，讓學(xué)生深入理解等量關(guān)系。這些圖片中，出現(xiàn)了一些未知量，學(xué)生之前已經(jīng)學(xué)過用字母表示數(shù)，因此，對于這些字母并不陌生，可借助等量關(guān)系列出相應(yīng)等式。

在對比環(huán)節(jié)區(qū)分了等式和方程，同時結(jié)合一開始的順向思維，將方程的概念進(jìn)行了深入理解，此時，方程的定義呼之欲出，并不僅局限于字面，學(xué)生不僅知道方程是含有未知數(shù)的，并且是等式，更知道方程是在順著題目意思的情況下，帶著一個或多個未知數(shù)，把相等關(guān)系表達(dá)出來的過程。這也呼應(yīng)了張奠宙先生對方程本質(zhì)的理解。

片段三：深化理解意義，發(fā)展代數(shù)思維

師：看圖先說說相等關(guān)系，再列方程。

學(xué)生根據(jù)圖意依次列出4x=400，發(fā)現(xiàn)三幅圖情境不一樣，但卻可以用相同的方程式表達(dá)。

師：4x=400 還可以表示什么？

教師引導(dǎo)學(xué)生展開想象：汽車每小時行駛x 千米，4 小時共行駛400 千米；一個工廠每小時生產(chǎn)x 個零件，4 小時生產(chǎn)400個零件；一個書架有課外書x 本，4 個書架共400 本……

這一拓展練習(xí)既鞏固了相等關(guān)系，又從不同情境中尋找相同結(jié)構(gòu)模型，進(jìn)而引發(fā)學(xué)生思考，這一方程模型除了可以表示這三種情境，還可以表示什么，讓學(xué)生充分展開聯(lián)想。學(xué)生在尋找同一結(jié)構(gòu)的不同問題情境過程中體會方程模型的普適性，將深度學(xué)習(xí)落到實(shí)處。學(xué)生會舉例、會解釋、會運(yùn)用，才是真正地理解。這一過程不僅發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，又提升了數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

方程，不僅是含有未知數(shù)的等式，更是體現(xiàn)已知量與未知量、未知量與未知量之間相等關(guān)系的等式，它是為解決問題而來。方程意義的理解，著眼點(diǎn)在“相等關(guān)系”（即“等量關(guān)系”）。它是學(xué)生從算術(shù)思維方式轉(zhuǎn)向代數(shù)思維方式的一次巨大轉(zhuǎn)變，學(xué)生的代數(shù)思維開始發(fā)展。挖掘知識的本質(zhì)，將其凸顯，尋求合理的思維發(fā)展過程，以核心問題促概念的深入理解。教學(xué)中不斷追求學(xué)生從淺層學(xué)習(xí)到深度理解，最終促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的提升。