S型無(wú)碳小車轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)*

郝 亞，張 席 ，賈婉君

(1.安徽工程大學(xué);2.燕山大學(xué))

0 引言

第六屆全國(guó)大學(xué)生工程訓(xùn)練綜合能力競(jìng)賽無(wú)碳小車常規(guī)賽項(xiàng)目，要求設(shè)計(jì)并制作一種具有方向控制的自行小車，以S軌跡繞過(guò)障礙物，賽道寬度為2 m， 沿直線方向水平鋪設(shè)，賽道中線從距出發(fā)線1 m處開始按平均間距1 m擺放障礙樁，奇數(shù)樁位置不變，根據(jù)抽簽結(jié)果， 第一偶數(shù)樁位置在±(200～300)mm范圍內(nèi)做調(diào)整(相對(duì)于出發(fā)線，正值遠(yuǎn)離，負(fù)值移近)， 隨后的偶數(shù)樁依次按照與前一個(gè)偶數(shù)樁調(diào)整的相反方向做相同距離的調(diào)整.

1 小車運(yùn)動(dòng)軌跡設(shè)計(jì)計(jì)算

1.1 小車運(yùn)動(dòng)軌跡設(shè)計(jì)

小車要求為三輪結(jié)構(gòu)，前輪實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)向.設(shè)計(jì)后輪軸中點(diǎn)的軌跡為正弦曲線，如圖1所示.為方便研究，取第一個(gè)障礙物作為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，為保證在最小樁距為700 mm時(shí)繞障，設(shè)計(jì)小車軌跡為：

(1)

則一個(gè)周期內(nèi)小車走過(guò)的距離為：

(2)

圖1 小車運(yùn)動(dòng)軌跡示意圖

1.2 轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)規(guī)律計(jì)算

設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)向由曲柄搖桿機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)，搖桿帶動(dòng)前輪實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)向，取曲柄的一個(gè)旋轉(zhuǎn)周期即x取0～2000 mm為研究對(duì)象，如圖2所示，不同位置處小車前輪轉(zhuǎn)角即搖桿擺角ψ′可求：

圖2 小車轉(zhuǎn)角示意圖

(3)

其中L為小車前后輪軸距，ρ為曲線曲率半徑.在x=0處前輪轉(zhuǎn)角ψ′有最大值，令ψmax′=15°，求得L=68.

同時(shí)，不同位置處(0≤x≤2000)曲柄的轉(zhuǎn)角φ′可求:

(4)

采用MATLAB編程，可得到曲柄轉(zhuǎn)角φ′與前輪轉(zhuǎn)角ψ′之間的關(guān)系，如圖3所示，通曲線擬合功能，得出兩者之間滿足關(guān)系式(5)：

ψ′=0.17sin(φ′+1.58)+

式中φ′與φ′均以曲柄搖桿的初始位置作為零點(diǎn)計(jì)算的.

圖3 運(yùn)動(dòng)規(guī)律擬合曲線

如圖4所示， 將φ′=φ-φ0、ψ′=ψ0+0.27-ψ，代入式(5)，可得到以機(jī)架為基線逆時(shí)針度量的曲柄轉(zhuǎn)角φ和搖桿輸出角ψ之間的關(guān)系：

ψ=ψ0+0.27-0.17sin[(φ-φ0)+1.58]-0.07sin[2.98(φ-φ0)+1.72]

(6)

圖4 曲柄搖桿運(yùn)動(dòng)示意圖

式中φ0和ψ0分別為機(jī)構(gòu)處于右極位時(shí)，曲柄和搖桿與機(jī)架的夾角：

2 轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)

根據(jù)式(6)描述的搖桿運(yùn)動(dòng)規(guī)律采用MATLAB進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì).

(1)設(shè)曲柄長(zhǎng)度l1=10，則獨(dú)立的桿長(zhǎng)變量有3個(gè)：l2、l3、l4，優(yōu)化設(shè)計(jì)變量為x=[x1,x2,x3]T=[l2,l3,l4]T.

(2)目標(biāo)函數(shù)的建立.取機(jī)構(gòu)的已知運(yùn)動(dòng)規(guī)律和實(shí)際運(yùn)動(dòng)規(guī)律的偏差最小為指標(biāo)建立目標(biāo)函數(shù)，即：

(7)

其中m為輸出角等分?jǐn)?shù)，ψi為期望輸出角，由式(6)求出，ψsi為實(shí)際輸出角根據(jù)圖5按公式(8)求出：

(8)

(a) 0≤φi≤π

(b)π≤φi≤2π圖5 曲柄連桿機(jī)構(gòu)計(jì)算圖

(3)約束條件

①四桿機(jī)構(gòu)有曲柄存在的桿長(zhǎng)條件；

②根據(jù)加工限制：桿長(zhǎng)不超過(guò)50 mm；

③機(jī)構(gòu)無(wú)急回運(yùn)動(dòng)特性；

④機(jī)構(gòu)最小傳動(dòng)角應(yīng)大于45°.

綜上，約束條件為式(9)所示.

利用MATLAB編程并采用fmincon函數(shù)進(jìn)行求解，得出優(yōu)化結(jié)果為：[x1,x2,x3]=[10,14.7,38.5,40]即各桿長(zhǎng)為：l1=10,l2=14.7,l3=38.5,l4=40.

利用UG仿真軟件對(duì)上述四連桿機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)仿真，得到優(yōu)化后搖桿的擺角曲線如圖6所示.

從圖6中可以看出，因此曲柄搖桿機(jī)構(gòu)雖然可以實(shí)現(xiàn)前輪擺角從右極位到左極位的周期變化，但不能實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)軌跡為標(biāo)準(zhǔn)正弦曲線.并且ψ=0時(shí)，曲柄的轉(zhuǎn)角φ1<90°、φ2>270°.這樣造成小車運(yùn)動(dòng)軌跡不對(duì)稱.

圖6 優(yōu)化后運(yùn)動(dòng)曲線

3 轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)的進(jìn)一步優(yōu)化

表1 曲柄與搖桿轉(zhuǎn)角對(duì)應(yīng)值

取搖桿的理論擺角和實(shí)際運(yùn)動(dòng)擺角偏差最小為指標(biāo)建立目標(biāo)函數(shù)，即：

(10)

約束條件中去掉機(jī)構(gòu)無(wú)急回運(yùn)動(dòng)的限制，即式(9)中g(shù)10(x)、g11(x)，得到桿長(zhǎng)及搖桿最大擺角分別為：

l1=10,l2=14.7,l3=38.5,l4=40,

θ=0.8534=48.8°

圖7 重新優(yōu)化后的運(yùn)動(dòng)曲線

圖8 兩次優(yōu)化后的運(yùn)動(dòng)曲線對(duì)比

4 結(jié)論

該文根據(jù)S型無(wú)碳小車的運(yùn)動(dòng)要求，設(shè)計(jì)了正弦曲線的運(yùn)動(dòng)軌跡，借助MATLAB得到了搖桿擺角與曲柄轉(zhuǎn)角之間的數(shù)學(xué)關(guān)系.通過(guò)優(yōu)化設(shè)計(jì)得到以下結(jié)論：

(1)曲柄搖桿機(jī)構(gòu)雖然可以實(shí)現(xiàn)前輪擺角從右極位到左極位的周期變化，但不能實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)軌跡為標(biāo)準(zhǔn)正弦曲線.因此不是最佳的轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu).

(2)受機(jī)構(gòu)限制，曲柄連桿機(jī)構(gòu)不能使運(yùn)動(dòng)軌跡完全對(duì)稱，但是可以通過(guò)優(yōu)化尋求最優(yōu)解.