G-布朗運動環(huán)境下歐式期權價格數值模擬

陳毛毛,薛紅,王琪

（西安工程大學理學院,陜西西安710048）

期權定價一直是金融數學的核心問題之一,最早可以追溯到1973 年,Black 和Scholes 發(fā)表了一篇題為“期權定價與公司債務”的論文,同時提出了著名的Black-Scholes 期權定價模型[1],得到了Black-Scholes 期權定價公式.但是Black-Scholes 公式中假設波動率為常數,這與實際金融市場并不相符,1985 年Rubinstein[2]首次發(fā)現實指和虛值期權的隱含波動率比較高,兩平期權的隱含波動率比較低,并將此現象稱為波動率微笑.為了解決這一問題,學者們提出了一系列隨機波動率模型,假設波動率是隨機過程,其中Scott[3]假定波動率服從指數過程,Hull 等[4]假定波動率服從平方根過程,Shanno[5]提出了不確定波動率模型.另一種對Black-Scholes 模型的修正是以Cox 等[6]、Geske[7]、Rubinstein[8]和Bensoussan 等[9]為代表,利用具有價格依賴型波動率的擴散過程來描述股票價格,認為波動率是股票價格和時間的函數.彭實戈[10]在2006 年引入了次線性期望空間,在G-框架下構造了相應的G-布朗運動.且得到了一系列重要結果,參見[11-14].文獻[15]討論了G-正態(tài)分布和G-布朗運動的數值模擬,文獻[16]討論了G-布朗運動二次變差的模擬,徐靜等[17]給出了G-框架下的歐式期權定價公式.但是并沒有學者利用G-布朗運動進行期權價格的模擬計算,上證50ETF 期權在2015 年2 月上市,研究其對于中國發(fā)展金融衍生品市場具有重要借鑒意義.本文在G-布朗運動環(huán)境下建立金融市場模型,假設股票價格服從由G-布朗運動驅動的隨機微分方程,利用蒙特卡洛方法以及保險精算方法數值模擬計算期權價格并用50ETF 進行實證分析.

1 預備知識

定義1（G-正態(tài)分布[12]）在次線性期望空間中,如果一個隨機變量滿足

定義2（G-布朗運動[12]）次線性期望空間上的實值隨機過程稱為G-布朗運動,如果對每一個,有,且滿足兩條性質：

（1）B0=0；

（2）對每一個t,s＞0,增量Bt+s-Bt服從,并且對每一個,增量

定義3（二次變差過程[13]）G-布朗運動的二次變差過程定義為

引理1假設U 服從上的均勻分布,F 是一個嚴格遞增的連續(xù)分布函數,那么F-1（U）服從分布F[18].

算法1模擬G-布朗運動及其二次變差過程的步驟如下：

Step1：在方程

Step2：生成n 個在區(qū)間[0,1]上服從均勻分布的隨機數

Step4：由于G-布朗運動的增量 Bti-Bti-1服從分布,且對每一個 i = 1,2,…,n,均獨立于把Step3 得到的xi, i = 1,2,… ,n 逐項累加就得到一條G-布朗運動的軌道；

圖1 G-正態(tài)分布的分布函數 Fig.1 G-normal distribution function

圖2 G-正態(tài)分布的密度函數Fig.2 G-normal density function

G-布朗運動及其二次變差的軌道見圖3 和圖4.

圖3 G-布朗運動的樣本軌道 Fig.3 Sample path of G-Brownian motion

圖4 G-布朗運動二次變差的樣本軌道Fig.4 Sample path of ＜B＞t

2 基于G-布朗運動的歐式期權數值模擬

2.1 股價基本模型

假設股價滿足隨機微分方程

式（2）中：St代表t 時刻股價,μ 為期望收益率,Bt為G-布朗運動,

式（3）中：＜B＞t為G-布朗運動的二次變差過程.

2.2 參數估計與數值模擬

隨機微分方程（1）的離散形式為

故有

即

計算每個窗口的方差,取其中最大值為總窗口中的方差上界,即,取其中最小值為總窗口中的方差下界,即.在μ 已經被確定的情況下可以獲得關于下方差和上方差的最優(yōu)漸進無偏估計

式（6）、式（7）中：風險資產按其期望回報率貼現,期望收益率無風險資產按無風險利率r 貼現.

圖5 基于布朗運動的股價3 條樣本軌道 Fig.5 Three sample paths of stock prices based on Brownian motion

圖6 基于G-布朗運動的股價3 條樣本軌道Fig.6 Three sample paths of stock price basedon G-Brownian motion

圖7 不同模擬次數下的歐式看漲期權價 Fig.7 European call option price with different simulation times

圖8 不同模擬次數下的歐式看漲期權價格Fig.8 European put option price with different simulation times

3 實證分析

選取50ETF 期權（標的物代碼為510050）來進行實證分析.選擇2018 年10 月23 日中到期日為11月28 日的全部合約,基本信息見表1.已知2018 年10 月23 日50ETF 的收盤價格為2.511 元,即S0=2.511,因此模擬接下來26 個交易日的股票價格走勢,無風險利率選取央行2018 年定期存款3 個月的利率,為1.1%,故r=0.011.所用到的數據來源于交易所行情數據借接口.

表1 上證50ETF 的基本信息Tab.1 Basic information of SSE 50ETF

3.1 參數估計

對G-布朗運動的參數進行估計時選取滑動窗口法, 根據2018 年1 月2 日至2018 年10 月23 日50ETF 數據,將對數收益率序列看作總窗口M,子窗口長度N 設為24,共有171 個窗口,計算出上方差和下方差分別為

同樣,對數收益率序列的均值

即

在布朗運動環(huán)境下進行參數估計時計算得到對數收益率序列的均值μ 和波動率

故

即

3.2 結果分析

表2 為分別利用Black-Scholes 公式所計算的看漲、看跌期權價格與布朗運動環(huán)境下和G-布朗運動環(huán)境下的模擬計算的看漲、看跌期權價格對比分析.

利用表2 數據,可得3 種方法計算結果與實際價格的均方誤差：

（1）Black-Scholes 公式下均方誤差

（2）布朗運動環(huán)境下均方誤差

（3）G-布朗運動環(huán)境下均方誤差

通過上面的分析可以看出,MSE3＜MSE2＜MSE1,G-布朗運動下模擬的期權價格較Black-Scholes 公式以及布朗運動環(huán)境下模擬的期權價格而言,能更好地刻畫市場運動,并得到較精確的市場定價,再次說明了G-布朗運動比布朗運動更適合描述復雜的金融市場.

4 小結

本文通過假設股票價格隨機微分方程由G-布朗運動所驅動,模擬股票價格軌道,利用保險精算方法模擬計算期權價格,同時用50ETF 真實數據進行實證分析,利用一系列模型進行對比,得出G-布朗運動環(huán)境下的期權定價模型比布朗運動環(huán)境下的期權定價模型偏差小, 故G-布朗運動能得到較合理的市場期權定價的結果.總體而言,G-布朗運動環(huán)境下的數值方法比布朗運動環(huán)境下的數值方法更具有優(yōu)越性.