論分布式陀螺柔性體結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)建模問(wèn)題

陳金 金棟平 劉福壽

摘要：針對(duì)含分布式控制力矩陀螺的柔性體結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模問(wèn)題，研究了結(jié)構(gòu)和陀螺之間相互耦合對(duì)結(jié)構(gòu)固有振動(dòng)的影響。通過(guò)基于有限元離散的建模思路，獲得了含分布式控制力矩陀螺的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型。對(duì)比模態(tài)疊加方法，提出原柔性體模態(tài)的概念。結(jié)果表明，分布控制力矩陀螺對(duì)結(jié)構(gòu)固有振動(dòng)產(chǎn)生了本質(zhì)的影響。基于原柔性體結(jié)構(gòu)前幾階模態(tài)的模態(tài)疊加法，由于沒(méi)有計(jì)入結(jié)構(gòu)和陀螺之間的耦合效應(yīng)，所得到結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)降階模型具有較大誤差。

關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué);陀螺柔性體;模態(tài)疊加法;模型降階;原柔性體模態(tài)

中圖分類(lèi)號(hào)：0326 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1004-4523（2020）01-0074-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.01.008

引言

自DEleuterio和Hughes提出連續(xù)陀螺柔性體概念以來(lái)，陀螺在結(jié)構(gòu)中的耦合效應(yīng)引起了廣大學(xué)者的注意。Brocato和Capriz詳細(xì)研究了陀螺影響結(jié)構(gòu)振動(dòng)的機(jī)理;Hassanpour和Heppler提出了微極陀螺連續(xù)體的概念，將模型適用性拓展至大轉(zhuǎn)角。然而，由于連續(xù)分布陀螺在工程中無(wú)法實(shí)現(xiàn)，很多學(xué)者研究了鏈?zhǔn)竭B接陀螺體、離散分布陀螺柔性體的耦合動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，并將其用于陀螺阻尼器、姿態(tài)和振動(dòng)抑制等。Hu等將離散的分布式陀螺柔性體擴(kuò)展到空問(wèn)結(jié)構(gòu)，研究了奇異性和操縱律。Wu等針對(duì)傳統(tǒng)控制方案易出現(xiàn)奇異性的問(wèn)題，基于斜交構(gòu)型變速控制力矩陀螺群，以控制力矩陀螺狀態(tài)變量作為系統(tǒng)控制輸人，將控制力矩陀螺的奇異問(wèn)題轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)狀態(tài)變量與控制輸人受限的控制問(wèn)題，采用非線性模型預(yù)測(cè)控制方法實(shí)現(xiàn)了航天器的姿態(tài)控制。

在現(xiàn)階段陀螺柔性體的動(dòng)力學(xué)建模中，部分采用的建模思路是模態(tài)疊加法，選取的模態(tài)是未考慮結(jié)構(gòu)和陀螺之問(wèn)耦合效應(yīng)的原柔性體結(jié)構(gòu)的固有振動(dòng)模態(tài)，這種采用原柔性體結(jié)構(gòu)前幾階模態(tài)對(duì)陀螺柔性體進(jìn)行模型降階的方法造成很大誤差。本文將結(jié)構(gòu)和陀螺之問(wèn)的耦合效應(yīng)納入有限元離散過(guò)程，建立了分布式陀螺柔性體的動(dòng)力學(xué)模型，對(duì)比研究了有限元方法和模態(tài)疊加法的計(jì)算結(jié)果，指出了模態(tài)疊加法的適用性。

1陀螺柔性體動(dòng)力學(xué)精確建模

研究含分布式控制力矩陀螺（Control MomentGyro，cMG）的柔性體結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模問(wèn)題。建立固定于地球的慣性坐標(biāo)系Oe-Xeyeze和第i個(gè)CMG框架和轉(zhuǎn)子的質(zhì)心坐標(biāo)系Oi-xiyizi，其中xi和yi分別沿框架轉(zhuǎn)軸和轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)軸方向，如圖1所示。假設(shè)結(jié)構(gòu)為線彈性、小變形，框架轉(zhuǎn)角及角速度均為小最。

由上述說(shuō)明可以發(fā)現(xiàn)，方程（12）可以由方程（9）降階變換得到。即：使用模態(tài)疊加法建模，當(dāng)選取模態(tài)階數(shù)趨于系統(tǒng)離散自由度時(shí)，模態(tài)疊加結(jié)果收斂于方程（9）。

需要注意的是，對(duì)于陀螺柔性體而言，陀螺耦合效應(yīng)改變了系統(tǒng)固有屬性，因此在模態(tài)疊加建模過(guò)程中采用的模態(tài)信息來(lái)源于原柔性體結(jié)構(gòu)，并不是陀螺柔性體結(jié)構(gòu)的真實(shí)模態(tài)，將這種不能體現(xiàn)系統(tǒng)真實(shí)固有特性的模態(tài)稱(chēng)為原柔性體模態(tài)。

在采用結(jié)構(gòu)真實(shí)模態(tài)進(jìn)行模態(tài)降階時(shí)，真實(shí)模態(tài)可以使系統(tǒng)解耦，使用前幾階模態(tài)即可較為準(zhǔn)確地描述結(jié)構(gòu)振動(dòng);而采用原柔性體模態(tài)進(jìn)行模態(tài)疊加建模時(shí)，所得到的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的固有特性誤差不僅來(lái)源于模態(tài)截?cái)啵鼇?lái)源于原柔性體模態(tài)，并不能真實(shí)描述耦合系統(tǒng)的固有振動(dòng)。

綜上所述，對(duì)于陀螺柔性體結(jié)構(gòu)，通過(guò)本文提出的基于有限元離散思想的建模方法，可以得到較為準(zhǔn)確的動(dòng)力學(xué)方程并進(jìn)行模態(tài)分析;而采用模態(tài)疊加法建模時(shí)，由于原柔性體模態(tài)未考慮陀螺耦合效應(yīng)對(duì)結(jié)構(gòu)的影響，選取的模態(tài)疊加階數(shù)較低時(shí)無(wú)法得到較為準(zhǔn)確的動(dòng)力學(xué)模型及耦合結(jié)構(gòu)的真實(shí)模態(tài)信息。

3算例

3.1CMGs對(duì)固有振型影響

研究陀螺轉(zhuǎn)子角動(dòng)量對(duì)耦合柔性體結(jié)構(gòu)固有特性的影響，將框架與柔性結(jié)構(gòu)固定，即將方程（9）和（12）右端輸人項(xiàng)置零。文獻(xiàn)[1，10]給出了陀螺柔性體的陀螺柔性模態(tài)概念，均表明陀螺柔性體運(yùn)動(dòng)可由陀螺柔性模態(tài)（uo，va）描述。參照上述文獻(xiàn)推導(dǎo)過(guò)程，對(duì)式（9）作同樣處理，即寫(xiě)成狀態(tài)空問(wèn)形式

以圖3所示固支約束邊界陀螺柔性梁結(jié)構(gòu)為例，采用有限元法離散為20個(gè)梁?jiǎn)卧?，共?1個(gè)節(jié)點(diǎn)，結(jié)構(gòu)總自由度為120。選取節(jié)點(diǎn)3，5，7，9，11，13，15，17，19，21作為控制力矩陀螺的安裝位置。陀螺初始框架坐標(biāo)系與結(jié)構(gòu)慣性參考系重合，結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。梁橫截面積為0.01m×0.02m，材料為鋁合金。

給定陀螺轉(zhuǎn)子角動(dòng)量hi=15N·m·s，分別使用有限元離散和6階原柔性體模態(tài)疊加計(jì)算陀螺柔性模態(tài)，如圖4所示。

從圖4可以發(fā)現(xiàn)，使用6階原柔性體模態(tài)疊加可以較為準(zhǔn)確地模擬1階陀螺柔性模態(tài)，而其余階陀螺柔性模態(tài)誤差會(huì)越來(lái)越大。模態(tài)疊加思想之所以可以用于降階動(dòng)力學(xué)模型，是因?yàn)檎鎸?shí)系統(tǒng)模態(tài)可以使質(zhì)量矩陣和剛度矩陣解耦，低階模態(tài)振動(dòng)能量相對(duì)于結(jié)構(gòu)真實(shí)振動(dòng)能量占比較高，高階模態(tài)對(duì)結(jié)構(gòu)真實(shí)振動(dòng)影響較小。然而，如果耦合效應(yīng)影響了系統(tǒng)真實(shí)固有特性，改變了結(jié)構(gòu)真實(shí)模態(tài)，此時(shí)使用原柔性體模態(tài)疊加進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模，將產(chǎn)生比較大的誤差。

3.2CMGs對(duì)固有頻率影響

本節(jié)計(jì)算轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速對(duì)結(jié)構(gòu)固有頻率的影響，同樣選取圖2所示的約束邊界梁結(jié)構(gòu)。改變各個(gè)陀螺的轉(zhuǎn)子角動(dòng)量，使其在0-24N·m·s范圍內(nèi)變化，分別使用有限元離散及5，10，20階原柔性體模態(tài)疊加計(jì)算結(jié)構(gòu)固有頻率隨角動(dòng)量的變化，結(jié)果如圖5所示。

從圖5（b）可見(jiàn)，當(dāng)采用5階原柔性體模態(tài)疊加計(jì)算時(shí)，固有頻率變化趨勢(shì)出現(xiàn)明顯錯(cuò)誤;從圖5（c）可見(jiàn)，模態(tài)疊加階數(shù)提高為10階時(shí)，結(jié)果趨于圖5（a）有限元離散的結(jié)果，但對(duì)比A點(diǎn)與B點(diǎn)可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)值上仍存在較大誤差;從圖5（d）可見(jiàn)，當(dāng)模態(tài)階數(shù)為20階時(shí)，結(jié)果與有限元離散計(jì)算趨于一致。

給定轉(zhuǎn)子角動(dòng)量15N·m·s，采用本文提出的方程（9）計(jì)算陀螺柔性體前4階固有頻率，并與不同階數(shù)原柔性體模態(tài)疊加計(jì)算結(jié)果對(duì)比，結(jié)果如表2所示。從表2可見(jiàn)，對(duì)于圖2所示構(gòu)型，針對(duì)陀螺柔性體前4階固有頻率，所選取的原柔性體模態(tài)階數(shù)需達(dá)到10階時(shí)，才可以使誤差降到5%以下。

對(duì)于不同構(gòu)型或不同轉(zhuǎn)子角動(dòng)量，由于耦合效應(yīng)對(duì)結(jié)構(gòu)固有特性影響程度不同，原柔性體模態(tài)疊加計(jì)算誤差也不同，因此對(duì)于不同構(gòu)型的陀螺柔性體建模，難以事先確定可以實(shí)現(xiàn)足夠精度的原柔性體模態(tài)階數(shù)。為此，建立如圖6所示不同陀螺柔性梁構(gòu)型，這里初始轉(zhuǎn)子角動(dòng)量方向分別指向y軸和z軸。改變各個(gè)轉(zhuǎn)子角動(dòng)量，使其在0-24N·m·s內(nèi)變化，采用本文提出的方程（9）計(jì)算結(jié)構(gòu)固有頻率隨角動(dòng)量變化趨勢(shì)，結(jié)果如圖7所示。

對(duì)比圖5和7可以發(fā)現(xiàn)，不同構(gòu)型的陀螺耦合效應(yīng)對(duì)結(jié)構(gòu)固有特性影響不同。例如，y向構(gòu)型的陀螺耦合效應(yīng)對(duì)結(jié)構(gòu)原始1階、3階和5階固有振動(dòng)沒(méi)有影響;z向構(gòu)型的陀螺耦合效應(yīng)對(duì)結(jié)構(gòu)原始2階和4階固有振動(dòng)沒(méi)有影響。通常，陀螺耦合效應(yīng)使結(jié)構(gòu)固有頻率降低，特殊情況下局部頻率上升，因此可以通過(guò)合理的配置使結(jié)構(gòu)達(dá)到期望的動(dòng)力學(xué)特性。

同樣地，給定轉(zhuǎn)子角動(dòng)量15N·m·s，使用原柔性體模態(tài)疊加法，計(jì)算前4階y和z向構(gòu)型陀螺柔性梁固有頻率，結(jié)果如表3和4所示?？梢?jiàn)，計(jì)算誤差在5%以下所需原柔性體模態(tài)階數(shù)分別為37階和48階。實(shí)際應(yīng)用中，模態(tài)疊加使用的模態(tài)階數(shù)一般不會(huì)超過(guò)10階，若所選模態(tài)序列為結(jié)構(gòu)真實(shí)模態(tài)序列，選取前幾階即可準(zhǔn)確描述相應(yīng)的模態(tài)振動(dòng);若選取的模態(tài)序列為原柔性體模態(tài)，為得到足夠的精度，所需模態(tài)階數(shù)取決于耦合效應(yīng)對(duì)結(jié)構(gòu)固有特性的影響。若耦合效應(yīng)對(duì)結(jié)構(gòu)固有特性改變較小，較少階原柔性體模態(tài)疊加可以達(dá)到較高的精度，若耦合效應(yīng)對(duì)結(jié)構(gòu)真實(shí)模態(tài)改變較大，原柔性體模態(tài)疊加會(huì)造成很大的誤差。

4結(jié)論

對(duì)于陀螺柔性體結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)變形引起的陀螺耦合效應(yīng)可以改變結(jié)構(gòu)的固有特性。一般情況下，陀螺耦合效應(yīng)使結(jié)構(gòu)固有頻率下降，但不同的陀螺配置和轉(zhuǎn)子角動(dòng)量對(duì)固有特性影響不同，特殊構(gòu)型可以使結(jié)構(gòu)部分固有頻率上升。由于結(jié)構(gòu)真實(shí)模態(tài)受陀螺影響而發(fā)生改變，用原柔性體模態(tài)作模態(tài)疊加建模無(wú)法得到真實(shí)的降階模型，產(chǎn)生的誤差取決于耦合效應(yīng)對(duì)結(jié)構(gòu)真實(shí)模態(tài)的影響程度。因此在對(duì)任一特定的陀螺柔性體結(jié)構(gòu)建模前，如果采用模態(tài)疊加方法，需要對(duì)其進(jìn)行陀螺耦合效應(yīng)及收斂性分析。