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    直觀引發(fā)歸納 轉(zhuǎn)化明晰算理

    2020-05-15 12:22:39陳為強
    遼寧教育·教研版 2020年4期
    關(guān)鍵詞:小數(shù)位演繹推理乘數(shù)

    談起推理,很多人不由自主地想起中學幾何證明中的演繹推理,其實推理并不是中學幾何的“專利”,它在數(shù)學的其他領(lǐng)域也被廣泛運用。然而,計算教學中的推理運用往往被師生所忽略和遺忘,本文僅以人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學》五年級上冊“小數(shù)乘小數(shù)”為例,談?wù)剼w納推理和演繹推理在計算教學中的有效運用。

    一、借助幾何直觀,進行歸納推理

    借助幾何直觀能把抽象的結(jié)論變得形象化、可視化。六年級的“分數(shù)乘以分數(shù)”幾何模型的呈現(xiàn)方式可使學生很形象地理解“分數(shù)乘分數(shù)”計算的算理和算法。利用小數(shù)和分數(shù)的密切關(guān)系,借鑒這種幾何直觀圖,可使學生對小數(shù)乘以小數(shù)的計算結(jié)果從直觀感知走向直觀理解,進而引發(fā)直觀猜測、直觀推理。

    如可以出示探索題:王老師家裝修房子 ,購買了一種長0.6米,寬0.4米的長方形瓷磚,每塊瓷磚的面積是多少平方米?

    師:怎樣列式計算?

    生:0.6×0.4= 。

    師:這道題與以前的小數(shù)乘法有什么區(qū)別?

    生:以前學的是小數(shù)乘整數(shù),這題兩個數(shù)都是小數(shù)。

    師:這就是今天要學習的內(nèi)容“小數(shù)乘小數(shù)”(板書課題),你會算嗎?(學生嘗試)

    生:0.6×0.4=2.4,因為0.6和0.4都是一位小數(shù),所以乘積也是一位小數(shù)為2.4。

    生:0.6×0.4=0.24,因為0.6米=6分米,0.4米=4分米,6×4=24(平方分米),24(平方分米)=0.24(平方米)。所以0.6×0.4=0.24。

    師:哪位同學明白他的方法?

    生:他是把小數(shù)乘法借助單位換算轉(zhuǎn)化為整數(shù)乘法,算完后又把單位換算回來的。

    師:這位同學很善于發(fā)現(xiàn)別人的閃光點,還有別的方法嗎?下面的圖你能看懂嗎?

    生:這是一個邊長為1米的正方形,陰影部分是長6分米,寬4分米的小長方形,其面積占大正方形的24/100,用小數(shù)表示為0.24,所以0.6×0.4=0.24。

    師:能從圖中看到乘積,不簡單,如果讓你計算0.6×0.9 ,你會嗎?

    生:可以假設(shè)0.6和0.9的單位為米,轉(zhuǎn)化為分米進行計算,結(jié)果為54平方分米,然后換算以平方米為單位,算出0.6×0.9=0.54。

    生:我是借助畫圖的方式,從下圖中可以看出0.9×0.6占大正方形的面積的54/100,所以0.9×0.6=0.54。

    師:這兩題在方法上什么相同之處?

    生:都是借助單位換算轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘法,算完后,再通過單位換算求出原來的結(jié)果,還可以借助畫圖的方法表示兩個小數(shù)相乘的結(jié)果。

    生:我還發(fā)現(xiàn)兩個一位小數(shù)相乘,積就是兩位小數(shù)。

    師:僅僅從兩個例子就得到這個結(jié)論,是否正確,還有待驗證。

    學生獨立探索小數(shù)乘小數(shù)的計算方法,有的學生借助已有的小數(shù)加減法的計算經(jīng)驗進行類比推理,造成乘積中小數(shù)點的位置錯誤;有的學生借助生活經(jīng)驗,利用單位換算轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘法進行計算,然后進行單位還原求出結(jié)果;還有的學生利用小數(shù)和分數(shù)的關(guān)系,數(shù)形結(jié)合,借助直觀模型形象地詮釋0.6×0.4的結(jié)果。接著,教師出示0.6×0.9,學生運用剛剛學到的方法,利用轉(zhuǎn)化表征或者圖形表征來呈現(xiàn)結(jié)果。經(jīng)此探究,引發(fā)了學生的直觀洞察,他們進行不完全歸納推理:兩個一位小數(shù)相乘,積是兩位小數(shù)。因為不完全歸納推理的結(jié)論具有或然性,所以教師要引導(dǎo)學生對發(fā)現(xiàn)進行驗證。

    二、借助演繹推理,明確背后算理

    因為不完全歸納法推導(dǎo)出來的結(jié)論具有或然性,可能是正確的,也可能是錯誤的,因而對結(jié)論的驗證必須要經(jīng)過演繹推理,只有通過演繹推理嚴格論證才能確定結(jié)論的必然性。而最新研究表明,10~11歲是兒童演繹推理認識的快速發(fā)展期,因此,作為數(shù)學教師,我們可以依據(jù)自己的教學內(nèi)容,逐步滲透之,只要學生能“夠得著”,我們就要開展演繹推理,讓學生走出依靠直觀形象和感性經(jīng)驗進行合情推理的框框,展開有根有據(jù)、有條有理的論證,讓學生明白其中蘊含的道理,幫助學生樹立理性思維。下面是王老師家房間和外面陽臺的平面圖。

    師:你能提出什么問題?請列出算式。

    生:房間的面積多少平方米?列式為3.8×3.2。

    師:大家嘗試一下?

    生:利用單位換算把3.8米和3.2米轉(zhuǎn)化為38分米和32分米,38與32積為1216,1216(平方分米)=12.16(平方米),所以3.8×3.2=12.16。

    師:不借助單位換算的方法,能否說明小數(shù)乘法的計算道理?

    生(皺著眉頭):從3.8變成38擴了10倍,3.2變成32也擴大10倍,積也會擴大的,那怎么辦?

    生(激動地說):我明白了,3.8和3.2分別擴大10倍是38和32,積就擴大100倍,然后把38和32的積縮小100倍是12.16。(結(jié)合學生的說明完成板書如下)

    生:小數(shù)乘法是轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘法計算的,然后點上小數(shù)點。

    師:一道題帶給大家的感悟不少,會算陽臺的面積嗎?

    (學生獨立計算后展示)

    生:我是按照小數(shù)點對齊計算的,算完后把小數(shù)點拉下來積是43.7,大家同意嗎?

    生:我不同意,如果把兩個小數(shù)都看大一點,分別是2和4,乘積才是8,這題中積比8小。

    師:利用估算初步判斷1.15×3.8不等于43.7,正確的該如何計算呢?

    生:按照末尾對齊來計算,把1.15和3.8分別擴大100倍和10倍為115和38,乘積就擴大1000倍,115與38的積是4370,最后把積縮小1000倍為4.37。

    師:算出的積符合剛才估算的結(jié)果嗎?(學生贊同)這位同學不僅說出了結(jié)果,還說明了原因。它們計算時有什么相同點?

    生:都是轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘法進行計算的。

    生:小數(shù)乘法列豎式計算最好末尾對齊。

    師:為什么小數(shù)乘法列豎式計算末尾要對齊?

    生:小數(shù)乘法列豎式計算如果小數(shù)點對齊,積的小數(shù)點和乘數(shù)的小數(shù)點不一定對齊。它和小數(shù)加減法不一樣,小數(shù)加減法計算時小數(shù)點對齊,結(jié)果的小數(shù)點和上面小數(shù)點也對齊。

    生:小數(shù)乘法是轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘法來計算的,與小數(shù)點是否對齊沒有關(guān)系。

    師:這幾位同學講得很好,能從小數(shù)乘法計算本質(zhì)說明末尾對齊的合理性。

    計算的本質(zhì)就是推理,就是寓理于算的過程,本環(huán)節(jié)學生在剛剛獲得兩個一位小數(shù)相乘的算法后,能夠利用單位換算完成3.8×3.2的計算。但是學生對小數(shù)乘法的理解僅停留在“知其然”的表面上,沒有理解藏在背后的算理。教師的適時追問“不借助單位換算轉(zhuǎn)化的辦法能否說明小數(shù)乘法的計算道理”“ 逼迫”學生進行了深入思考,通過箭頭的指向打通了小數(shù)乘法和整數(shù)乘法之間的聯(lián)系。學生有條有理地闡釋了其中乘數(shù)和乘積的變化,逐步理解了小數(shù)乘法是利用積的變化規(guī)律轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘法計算,然后把積縮小相應(yīng)的倍數(shù)求出原來結(jié)果的算理。轉(zhuǎn)化過程的每一步都是嚴謹而有根據(jù)的,詮釋了演繹推理的魅力,使學生明晰了背后的算理,從而“知其所以然”。教師并沒有滿足于學生對3.8×3.2算理的理解,而是請其獨立計算1.15×3.8。學生展示各自的算法并有理有據(jù)地闡釋,通過對比,學生真正明白小數(shù)乘法末尾對齊的根本所在——都是轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘法進行計算,有效消除了小數(shù)加減法給小數(shù)乘法計算帶來的負遷移,使其由對小數(shù)乘法由關(guān)注外在形式走向深刻理解內(nèi)在結(jié)構(gòu)。

    三、注重說理訓(xùn)練,總結(jié)計算方法

    通過不完全歸納法學生發(fā)現(xiàn)了小數(shù)乘法計算的關(guān)鍵點——乘積小數(shù)的位數(shù)和兩個乘數(shù)小數(shù)位數(shù)之間的關(guān)系,然后通過演繹推理證明了開始的猜想。經(jīng)歷兩種推理,學生進一步明確了小數(shù)乘法計算算理。算理是內(nèi)隱的,算法是算理的外在表達方式,于是算法的總結(jié)完善就成為計算教學的必然。

    師:你能給下面各題的積點上小數(shù)點嗎?

    生:0.87×0.9兩個乘數(shù)分別擴大100倍和10倍,轉(zhuǎn)化成87×9=783,然后積再縮小1000倍,成為0.87乘0.9,結(jié)果是0.783。

    師:積的小數(shù)位數(shù)是怎樣確定的?

    生:8.7和0.9都是一位小數(shù),積7.83是兩位小數(shù),72.9和0.04分別是一位和兩位小數(shù),乘積2.916是三位小數(shù)。

    生:我發(fā)現(xiàn)“積的小數(shù)位數(shù)就是兩個乘數(shù)中小數(shù)位數(shù)的和”。

    師:大家同意這位同學的發(fā)現(xiàn)嗎?

    生:我不同意,第三題16.5×0.6=9.9,兩個乘數(shù)都是一位小數(shù),積還是一位小數(shù)。

    生:不對,積9.9是原來乘積9.90這個兩位小數(shù)化簡得來的。

    生:最好在剛才發(fā)現(xiàn)加上幾個字變成“積的小數(shù)位數(shù)在沒有化簡之前等于兩個乘數(shù)中小數(shù)位數(shù)的和”。

    師:加上幾個字就不容易產(chǎn)生歧義了,為什么存在這一現(xiàn)象呢?

    生:如果兩個乘數(shù)分別是兩位和三位小數(shù),轉(zhuǎn)化成整數(shù)時分別擴大100倍和1000倍,乘積就擴大100000倍,積縮小100000倍就是五位小數(shù)。

    師:如果不舉事例,能不能說明這一結(jié)論?

    生:小數(shù)乘法是轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘法來計算的,兩個乘數(shù)分別有a位和b位小數(shù),轉(zhuǎn)化成整數(shù)分別要向右移動a位和b位,所得乘積向右移動(a+b)位。要求小數(shù)的乘積,就要把積向左移動(a+b)位,所以乘積的小數(shù)位數(shù)在沒有化簡之前等于兩個乘數(shù)中小數(shù)位數(shù)的和。

    師:這位同學用字母說明乘數(shù)小數(shù)位數(shù)與乘積中小數(shù)位數(shù)之間的關(guān)系,這樣就能把所有情況全部概括了。誰能總結(jié)小數(shù)乘法的計算方法?

    生:小數(shù)乘法是按照整數(shù)乘法的計算法則進行計算的,最后數(shù)出兩個乘數(shù)一共有幾位小數(shù),就從積的右邊起數(shù)出幾位點上小數(shù)點。

    學生把對算理的理解用自己的語言表征了出來,通過幾道題的訓(xùn)練,學生發(fā)現(xiàn)小數(shù)乘積中小數(shù)位數(shù)和乘數(shù)小數(shù)位數(shù)的和之間有著直接的關(guān)系,借助兩個小數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)擴大的倍數(shù)以及積的變化規(guī)律對此關(guān)系作以深刻詮釋,使得“算理”和“算法”相融而貫通。

    四、溝通知識聯(lián)系,拓展學生思維

    有效的練習既注重“練(訓(xùn)練)”,更注重“習(習得)”,從“習”對“練”的過程的反省和思考,促使“練”與“習”向縱深處發(fā)展。作為練習,既要聚焦小數(shù)乘法的難點——乘積中小數(shù)位數(shù)的確定,又要注重發(fā)展學生思維,提升數(shù)學核心素養(yǎng)。

    師:看下面的算式,根據(jù)小數(shù)乘積的小數(shù)位數(shù)給乘數(shù)點上小數(shù)點。

    生:第一題應(yīng)該為7.29×0.4=2.916,因為積為三位小數(shù),乘數(shù)0.4為一位小數(shù),所以另一個乘數(shù)應(yīng)為兩位小數(shù)7.29。

    生:第二題積在沒有化簡前為兩位小數(shù),所以兩個乘數(shù)小數(shù)位數(shù)一共是兩位,可以寫成1.65×6=9.90;16.5×0.6=9.90;165×0.06=9.90三種情況。

    師:這兩題有什么區(qū)別?

    生:第一題的答案只有一種,因為乘積與其中一個乘數(shù)的小數(shù)位數(shù)確定,另一個乘數(shù)的小數(shù)位數(shù)就確定了。

    生:第二題要注意乘積沒有化簡之前是兩位小數(shù),所以在給兩個乘數(shù)點小數(shù)點時,只要兩個乘數(shù)一共有兩位小數(shù)就可以了,所以本題答案不止一個,存在多種可能。

    數(shù)學練習不求全,但求變,該練習引導(dǎo)學生根據(jù)小數(shù)乘法的計算法進行逆向推理,在“積”的不變中尋求兩個乘數(shù)的狀況,在“變與不變”中讓學生不僅達到對小數(shù)乘法計算的通透理解,而且還發(fā)散學生的思維,增強思維的開放性。

    (課題項目:本文系江蘇省十三五規(guī)劃立項課題“構(gòu)建小學數(shù)學‘情理相融課堂的實踐研究”階段性研究成果,課題編號D/2016/02/06。)

    (責任編輯:楊強)

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