基于直觀想象核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)方式探究
——以“指數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì)”教學(xué)為例

張利賢

一、問題提出的背景

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué)。數(shù)學(xué)源于對現(xiàn)實世界的抽象，基于抽象的結(jié)構(gòu)，通過符號運算、形式推理、模型構(gòu)建等，理解和表達(dá)現(xiàn)實世界的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律。數(shù)學(xué)本身的形成與發(fā)展決定數(shù)學(xué)是一門高度抽象的學(xué)科。很多高一學(xué)生在高度抽象的數(shù)學(xué)概念、高度簡潔的數(shù)學(xué)符號、定理、高度抽象復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題面前，顯得很無助，甚至無所適從，他們不理解它們表示的是什么，這使得學(xué)生很難與數(shù)學(xué)進(jìn)一步的溝通交流，甚至對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有很大的挫敗感。對這一現(xiàn)狀，一線數(shù)學(xué)教師深有體會。在高一數(shù)學(xué)教學(xué)中，經(jīng)常會遇到簡單的(含參)函數(shù)問題，學(xué)生很難想象其圖像的可能性，或不會借助圖像來理解和分析問題，這從側(cè)面也反映了高一學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的核心能力亟待提高。

數(shù)學(xué)本身是高度抽象的、符號化的，如果教師在教學(xué)時，把抽象的數(shù)學(xué)概念、符號等通過實物模型，幾何圖形或利用信息技術(shù)演示模擬的事物圖片等直觀地、生動地表達(dá)出來，讓學(xué)生能“夠得著”“觸摸得到”親身經(jīng)歷并直觀感知，當(dāng)學(xué)生能夠直觀感知數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)符號等并能把握其整體結(jié)構(gòu)，那么學(xué)生就能理解數(shù)學(xué)問題，因此學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性就會提高。為了幫助學(xué)生能利用直觀的數(shù)學(xué)材料來理解數(shù)學(xué)問題，教師需要加強(qiáng)培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀和空間想象的能力，即學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀想象核心素養(yǎng)。

二、直觀想象核心素養(yǎng)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 版)》中界定直觀想象為：指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)和變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)。主要包括：借助空間形式認(rèn)識事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化和運動規(guī)律；利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題；建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探究解決問題的思路。主要表現(xiàn)是：建立形與數(shù)的聯(lián)系，利用幾何圖形描述問題，借助直觀理解問題，運用空間想象認(rèn)識事物?？梢哉f幾何直觀為空間想象提供了認(rèn)識基礎(chǔ)，空間想象為幾何直觀和由之向整體把握的發(fā)展提供了方法，是一嵌套循環(huán)的互動關(guān)系。

高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是學(xué)生在接受高中數(shù)學(xué)教育過程中，逐步形成適合個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力。而高中數(shù)學(xué)的六大核心素養(yǎng)，落實到每一節(jié)課的教學(xué)，都會涉及全部和部分。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不是一節(jié)兩節(jié)課或一學(xué)期就能完成的，并且每節(jié)課的教學(xué)，不同的核心素養(yǎng)的培養(yǎng)有所倚重，它需要教師乃至教研組對課程整體統(tǒng)籌規(guī)劃，對數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)重新重組和優(yōu)化，明確各單元教學(xué)中發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心能力的側(cè)重點，在教學(xué)設(shè)計時，有意識地設(shè)計教學(xué)活動培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。

三、探究基于直觀想象核心素養(yǎng)培養(yǎng)的課堂教學(xué)策略

課堂環(huán)節(jié)一：畫圖(從數(shù)到形)：在探究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)時，由于指數(shù)函數(shù)的解析式y(tǒng)＝ax(a＞0 且a≠1)過于抽象和籠統(tǒng)，學(xué)生難以用解析式來認(rèn)識指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及圖像。因此，教師引導(dǎo)學(xué)生嘗試從特殊底數(shù)的指數(shù)函數(shù)如：y＝2x與研究其圖像，從圖像直觀感知其圖形的形態(tài)變化。學(xué)生在面對特殊底數(shù)的指數(shù)函數(shù)解析式y(tǒng)＝2x與時，也無法清楚其圖像和性質(zhì)。教師引導(dǎo)學(xué)生從探究其圖像出發(fā)，學(xué)生根據(jù)已有的作圖經(jīng)驗和方法(列表、描點、畫圖)畫出圖像。學(xué)生經(jīng)歷作圖的過程，從離散的坐標(biāo)點(數(shù))到幾何圖形(形)，直接接觸和感性認(rèn)知y＝2x與的圖像。

圖1

課堂環(huán)節(jié)二：看圖(感性認(rèn)知)：教師通過問題引導(dǎo)學(xué)生觀察圖像。問題1：請同學(xué)們觀察圖1，你發(fā)現(xiàn)了什么?函數(shù)y＝2x的圖像和的圖像有什么關(guān)系?可否利用y＝2x的圖像畫出的圖像?引導(dǎo)學(xué)生從整個坐標(biāo)系中兩個函數(shù)圖像的位置關(guān)系，到單一函數(shù)圖像的形態(tài)變化(從左向右看圖像的變化趨勢)進(jìn)行觀察。學(xué)生觀察，總結(jié)結(jié)果：圖像的位置關(guān)系：這兩個指數(shù)函數(shù)(底數(shù)互為倒數(shù))圖像關(guān)于y軸對稱，他們相交于點(0，1)；圖像形態(tài)變化為：從左向右看：y＝2x的圖像是上升的的圖像是下降的。讓學(xué)生從畫圖到直觀看圖，是為了讓學(xué)生對兩個函數(shù)圖像有一個直觀感性的認(rèn)知。

課堂環(huán)節(jié)三：識圖(理性認(rèn)知)：問題2：請同學(xué)們仔細(xì)觀察列表和圖像，請解釋為什么y＝2x與y＝的圖像關(guān)于y軸對稱?同學(xué)們根據(jù)列表的坐標(biāo)和解析式發(fā)現(xiàn)，這兩個底數(shù)互為倒數(shù)時，解析式可以表達(dá)成y＝2x與，即任意給自變量互為倒數(shù)時，其對應(yīng)的函數(shù)值相同，在坐標(biāo)系中表現(xiàn)為這兩個坐標(biāo)點關(guān)于y對稱，學(xué)生通過直觀圖像的感性認(rèn)知，再通過對解析式分析，發(fā)現(xiàn)底數(shù)互為倒數(shù)的兩個指數(shù)函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱的本質(zhì)屬性即它們坐標(biāo)關(guān)于y軸對稱，培養(yǎng)了學(xué)生通過直觀感性認(rèn)識問題到理性認(rèn)識問題的意識。

通過從感性到理性認(rèn)識的不斷深入，教師設(shè)計問題3：如果我們改變底數(shù)a，那么指數(shù)函數(shù)圖像又有什么特點與變化規(guī)律?讓我們在同一個坐標(biāo)系再畫y＝3x與的圖像。通過信息技術(shù)：希沃白板畫出其函數(shù)的圖像。教師引導(dǎo)學(xué)生從圖像的位置關(guān)系和形態(tài)變化及運動規(guī)律識圖：圖像的共同特征(整體感知)，不同特征(從形到數(shù)，從數(shù)到形)(圖像從左向右看，圖像隨著自變量x變化，圖像如何變化)，同側(cè)圖像相對位置變化趨勢。通過引導(dǎo)學(xué)生識圖，從直觀感知圖中4 個函數(shù)圖像整體變化規(guī)律到理性認(rèn)知他們內(nèi)在關(guān)系?？偨Y(jié)出規(guī)律：共同特征(整體感知)：圖像都經(jīng)過(0，1)點，從解析式看出，當(dāng)x＝0，恒有y＝a0＝1(a＞0 且a≠0)，找到其本質(zhì)特征；圖像都在y軸正半軸，從解析式看，對任意x∈R，y＝ax(a＞0 且a≠0)恒正，學(xué)生通過觀察圖形(形)的特征，結(jié)合解析式(數(shù))的分析，理解指數(shù)函數(shù)的值域都是大于零，這里培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識。不同特征：當(dāng)a＝2 和3(a＞1)時，從左向右看，圖像變化趨勢相同，都是增的趨勢；當(dāng)(0＜a＜1)時，從左向右看，圖像變化趨勢相同，都是減的趨勢。同側(cè)圖像的相對位置變化趨勢：當(dāng)a＝2 和3(a＞1)時，底數(shù)a越大時，圖像約靠近y軸(0＜a＜1)時，底數(shù)a越小時，圖像約靠近y軸。通過直觀感知圖形的變化，再到解析式分析理性認(rèn)識特殊指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，學(xué)生經(jīng)歷了感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的過程。

通過圖2 的分析和總結(jié)規(guī)律，問題4：讓同學(xué)猜測y＝10x的圖像可能是怎樣的?在同一坐標(biāo)系中，如圖2 是黃色的曲線還是黑色的曲線?學(xué)生對前面4 個函數(shù)的圖形的位置關(guān)系，形態(tài)變化進(jìn)一步地從感性認(rèn)識上升到尋找出其規(guī)律的理性認(rèn)知，通過問題4，又讓理性認(rèn)識(規(guī)律)到猜測y＝10x圖形的感性認(rèn)識(圖形)，即感性到理性再到感性，經(jīng)過一系列的循環(huán)，每一次認(rèn)識達(dá)到高一級別的認(rèn)識，從而整體把握了四個指數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì)。學(xué)生根據(jù)已有的認(rèn)知經(jīng)驗，在腦中創(chuàng)造出所需要的形象即是y＝10x的圖形表象，猜測出y＝10x的圖形，同時也想象出y＝的圖形表象，通過希沃白板畫出具體圖形驗證學(xué)生通過已有經(jīng)驗，大腦想象出圖像表象的正確性，這也極大地鼓舞了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。這個過程是教師引導(dǎo)學(xué)生從借助幾何直觀和空間形象來認(rèn)識指數(shù)函數(shù)圖像的空間的位置關(guān)系、形態(tài)變化和運動規(guī)律的看圖識圖，通過感性到理性再到感性認(rèn)識過程，發(fā)展學(xué)生的直觀想象能力。

圖2

課堂環(huán)節(jié)四：學(xué)生經(jīng)歷了特殊底數(shù)的指數(shù)函數(shù)圖像及性質(zhì)的探究，通過希沃白板探究了6 個指數(shù)函數(shù)的圖像，學(xué)生通過感性認(rèn)識到理性認(rèn)識再到感性認(rèn)識等整體把握6 個函數(shù)的幾何圖形的變化規(guī)律，學(xué)生通過已有知識經(jīng)驗和感性材料，通過大腦想象出一般的指數(shù)函數(shù)y＝ax和(a＞0 且a≠1)，底數(shù)a變化，其圖像的直觀模型的可能性，教師借助希沃白板演示指數(shù)函數(shù)圖像隨著底數(shù)a變化的圖像，一方面驗證學(xué)生頭腦想象的圖形表象，另一方面，再讓同學(xué)們進(jìn)一步直觀感知一般指數(shù)函數(shù)的圖形形態(tài)變化和運動規(guī)律，為學(xué)生提供更多的感性的材料。學(xué)生利用圖像的觀察和圖形描述，通過借助研究函數(shù)的科學(xué)方法分析指數(shù)函數(shù)的解析式y(tǒng)＝ax和(a＞0 且a≠1)，抽象并構(gòu)建出指數(shù)函數(shù)當(dāng)0＜a＜1 和a＞1 兩類直觀圖形模型，學(xué)生通過動態(tài)的幾何圖形變化，通過感性到理性再到感性再到理性等一系列循環(huán)認(rèn)知過程，整體認(rèn)識指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。

課堂環(huán)節(jié)五：用圖(構(gòu)建數(shù)學(xué)問題直觀模型，探索解決問題的思路)：課堂問題探究：求函數(shù)f(x)＝3｜x｜＋1 的值域。學(xué)生原有的認(rèn)知是腦海中有指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，但是沒有f(x)＝3｜x｜＋1 的圖像，學(xué)生對此問題沒有什么思路。教師有意識地引導(dǎo)學(xué)生先分析解析式，然后看看能不能畫其圖像，通過圖像尋找解決問題的思路(數(shù)形結(jié)合)。學(xué)生通過對f(x)＝3｜x｜＋1 分析得f(x)＝，對分段函數(shù)畫圖，構(gòu)建了問題的直觀模型，通過直觀模型，學(xué)生很清楚f(x)＝3｜x｜＋1 性質(zhì)，解決此問題的思路躍然紙上。例如：試比較大小這樣的問題，鼓勵學(xué)生在腦中構(gòu)建y＝2x和y＝0.6x的具體直觀模型，通過探索函數(shù)的單調(diào)性，尋找解決問題的思路。如何構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，要求，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)時，要多培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的能力；課堂探究數(shù)學(xué)問題時，多培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用幾何直觀和空間想象思考問題的意識；在課堂例題和練習(xí)時，多培養(yǎng)學(xué)生作圖(精圖，簡圖)的習(xí)慣，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題直觀的數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生在具體的情境中感悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)。本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生基本能根據(jù)指數(shù)函數(shù)的解析式熟練地畫出簡圖，能根據(jù)圖像寫出指數(shù)函數(shù)的解析式，會對照指數(shù)函數(shù)的圖像直觀地得到性質(zhì)，達(dá)到課標(biāo)的要求。

總之，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)需要教師在教學(xué)中，為學(xué)生提供大量的直觀感性材料，并且讓學(xué)生認(rèn)真仔細(xì)地觀察和較為深入長久的分析與思考、經(jīng)過學(xué)生頭腦對這些感性材料表象的抽象和概括、記憶和聯(lián)想、對比和加工、學(xué)習(xí)畫正確、標(biāo)準(zhǔn)的直觀想象平面圖、用文字和語言準(zhǔn)確描述直觀想象圖或動態(tài)過程(如指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)的探究，學(xué)生對特殊和一般函數(shù)的圖像進(jìn)行抽象概括，記憶和聯(lián)想等一系列感性理性循環(huán)認(rèn)知，最終達(dá)到認(rèn)識指數(shù)函數(shù)的圖形和性質(zhì)的目的)，逐漸積累豐富的直觀想象方面的數(shù)學(xué)經(jīng)驗，促進(jìn)直觀想象素養(yǎng)的形成。