二項(xiàng)式定理應(yīng)用問題綜析

魏學(xué)軍

二項(xiàng)式定理的有關(guān)知識是每年高考必不可少的內(nèi)容，往往以一道選擇題或填空題的形式出現(xiàn).“年年歲歲花相似”，考查的落腳點(diǎn)總是與二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式和二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)相關(guān). 二項(xiàng)式公式看似單一，但“歲歲年年題不同”，面對試題，須詳究細(xì)察，分析揣摩，方可靈活應(yīng)用，游刃有余. 本文擬就高考中有關(guān)二項(xiàng)式定理應(yīng)用的試題作“全掃描”，并進(jìn)行分類分析與解，旨在把握命題方向，探索解題規(guī)律，揭示解題方法.

一、求展開式中的某一指定項(xiàng)

例1. （2x3-■）7的展開式中常數(shù)項(xiàng)是（ ）

A. 14 B. -14 C. 42 D. -42

分析與解：Tr+1=■（2x3）7-r（-■）r=（-1）r■·27-r·■，由題意知21-■=0，得r=6，即展開式中常數(shù)項(xiàng)是第7項(xiàng)，T7=（-1）6 ■ ·2=14，故選A.

例2. 在（x+■）（1-x）4的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是________.

分析與解：第一個括號取■，第二個括號為■（-x）1，∴ 常數(shù)項(xiàng)是■×■（-x）1=-8.

解題方略：直接利用通項(xiàng)公式進(jìn)行求解.

例3. （x2-3x+■）（1-■）5的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（ ）

A. -30 B. 30 C. -25 D. 25

分析與解： （1-■）5的通項(xiàng)為Tr+1= ■（-1）r（■）r，（x2-3x+■）（1-■）5=x2（1-■）5-3x（1-■）5+■（1-■）5，根據(jù)式子可知當(dāng)r=4或r=2時有常數(shù)項(xiàng)，令r=4，

∴ T5=■（-1）4（■）4; 令r=2，∴ T3=■（-1）2（■）2， 故所求常數(shù)項(xiàng)為■ - 3 × ■=5-30=-25，故選C.

解題方略：求解與二項(xiàng)式相關(guān)的復(fù)雜式子的一般方法及步驟是：（1）將復(fù)雜式子分解轉(zhuǎn)化成與簡單的二項(xiàng)式相關(guān)的式子;（2）根據(jù)條件找到符合條件的二項(xiàng)式的項(xiàng);（3）利用二項(xiàng)式的通項(xiàng)求出符合條件的項(xiàng);（4）整合后最終得出所求.

例4. 在二項(xiàng)式（■+■）n的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)之和為A，各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和為B，且A+B=72，則展開式中常數(shù)項(xiàng)的值為（ ）

A. 6B. 9C. 12D. 18

分析與解：

【解析】在二項(xiàng)式（■+■）n的展開式中，令x=1得各項(xiàng)系數(shù)之和為4n，∴ A=4n，二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為2n，∴ B=2n，∴4n+2n=72，解得n=3，∴（■+■）n=（■+■）3的展開式的通項(xiàng)為Tr+1= ■（■）3-r（■）r=3r ■ ■，令■=0得r=1，故展開式的常數(shù)項(xiàng)為T2=3 ■ =9，故選B.

二、求展開式中某一指定項(xiàng)的系數(shù)

例5. （x-■）8展開式中x5的系數(shù)為_________.

分析與解：利用公式Tr+1=■an-r·br求得Tr+1=（-1）r·■·■.

令8-■r=5，得r=2，進(jìn)而得x5的系數(shù)為28.

例6. （2x+■）4的展開式中x3的系數(shù)是（ ）

A. 6 B. 12 C. 24 D. 48

分析與解：Tr+1=■（2x）4-r·（■）r=■·24-r·x4-r·■=■·24-r·■由題意設(shè)4-■=3，∴ r=2即展開式中含x3的項(xiàng)是第3項(xiàng)，其系數(shù)為■·22=24，故選C.

例7. 已知（■+■）n的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和是128，則展開式中x5的系數(shù)是_________（以數(shù)字作答）

分析與解：由展開式得通項(xiàng)Tr+1=■·■，∴各項(xiàng)系數(shù)和為■ + ■ + … + ■=2n=128，

∴n=7，由■n-■r=5知r=3，則■=35，故填35.

解題方略：分清某一項(xiàng)的系數(shù)與它的二項(xiàng)式系數(shù)是否相同. 常規(guī)解法是利用通項(xiàng)公式Tr+1=■an-rbr，先確定r，再求其系數(shù).

例8. （1+x）8（1+y）4的展開式中x2y2的系數(shù)是（ ）

A. 56 B. 84 C. 112 D. 168

分析與解：根據(jù)（1+x）8和（1+y）4的展開式的通項(xiàng)公式可得，x2y2的系數(shù)為■■=168，故選D.

三、求兩個二項(xiàng)式積的展開式中某一指定項(xiàng)的系數(shù)

例9. 在（1-x3）（1+x）10的展開式中，x5的系數(shù)是（ ）

A. -297 B. -252 C. 297 D. 207

分析與解：由題意可知，只需求出（1+x）10展開式中x5與x2的系數(shù)分別是 ■ 、■ .

所以（1-x3）（1+x）10的展開式中，x5的系數(shù)為 ■ - ■ =207，故選D.

解題方略：利用兩因式展開式相應(yīng)項(xiàng)系數(shù)配對的方法.

四、求展開式中某些項(xiàng)系數(shù)的和

例10. 若（1-2x）2019=a0+a1 x+a2 x2+…+a2019 x2019（x∈R），

則（a0+a1）+（a0+a2）+（a0+a3）+…+（a0+a2019）=_________. （用數(shù)字作答）

分析與解：（賦值法）令x=0，得a0=1.

（a0+a1）+（a0+a2）+（a0+a3）+…+（a0+a2019）=2019a0+（a1+a2+…+a2019）

=2018a0+（a0+a1+a2+…+a2019），令x=1，得a0+a1+a2+…+a2019=-1，

∴（a0+1）+（a0+a2）+（a0+a3）+…+（a0+a2019）=2017.

解題方略：賦值法.

例11. 若（1-x）5=a0+a1 x+a2 x2+a3 x3+a4 x4+a5 x5，則a0-a1+a2-a3+a4-a5=（? ? ）

A. 0 B. 1 C. 32 D. -1

分析與解：

【解析】由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式Tr+1=■（-x）r=■（-1）rxr，可知a1，a3，a5都小于0. 則a0-a1+a2-a3+a4-a5=a0+a1+a2+a3+a4+a5. 在原二項(xiàng)展開式中令x=1，可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=0. 故本題答案選A.

五、求展開式中系數(shù)滿足某些特殊要求的項(xiàng)數(shù)

例12. 由（■x+■）100展開所得的x的多項(xiàng)式中，系數(shù)為有理數(shù)的共有（ ）

A. 50項(xiàng) B. 17項(xiàng) C. 16項(xiàng) D. 15項(xiàng)

分析與解：設(shè)展開式中第r+1項(xiàng)的系數(shù)為有理數(shù)，則Tr+1=■ ■ x100-r ■= ■ ■ ■ x100-r.

依題意r既然為偶數(shù)又為3的倍數(shù)，即r為6的倍數(shù)，且0≤r≤100，∴ r共有17個值，故選B.

解題方略：先將展開式的通項(xiàng)進(jìn)行整理，再令其冪指數(shù)為整數(shù)，進(jìn)而求出所需項(xiàng)數(shù).

六、求二項(xiàng)式中所含參數(shù)的值

例13. 若在（1+ax）5的展開式中x3的系數(shù)為-80，則a=___.

分析與解：∵T4=■（ax）3=-80x3，∴10a3x3=-80x3，∴10a3=-80，

∴ a3=-8，∴ a=-2.

例14. （x+1）3+（x-2）8=a0+a1（x+1）+a2（x-1）2+…+a8（x-1）8，則a6=__________.

分析與解：令x-1=t，則（t+2）3+（t-1）8=a0+a1t+a2t2+…+a6t6+…+a8t8，

設(shè)（t-1）8的展開式含有t6項(xiàng)，Tr+1 = ■ t8-r（-1）r，令8-r=6，r=2，T3 = ■ t6 = 28t6，所以a6 = 28.

解題方略：利用展開式的通項(xiàng)公式，根據(jù)題意建立方程，求出參數(shù)的值.

七、求二項(xiàng)式的冪指數(shù)

例15. 若（■+■）n展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，則n的值可以是（ ）

A. 8 B. 9 C. 10 D. 12

分析與解：Tr+1=■（■）n-k（■）k=■·2k·■. 其中■=0，即n=■k. 當(dāng)k=6時，n=10. 故選C.

例16. 若（x3+■）n的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為84，則n=_____________.

分析與解：Tr+1= ■ x3n-3r·■= ■ ·■. 令3n-■r=0，得r-■n. ∴n為3的倍數(shù). 又由 ■ =84，驗(yàn)證：n=3時，■ = 3≠84;當(dāng)n=6時，■ =15≠84;當(dāng)n=9時，■ = ■=84.

解題方略：依條件建立指數(shù)的方程.

八、與數(shù)列交匯

例17. 若（1-2x）9展開式的第3項(xiàng)為288，則■+■+…+■的值是_________.

分析與解：T3 = ■ （-2x）2=288，∴ x=■. ∴■+■+…+■= 2[1-（■）n].

九、與不等式交匯

例18. 在（x-■）8的展開式中，含x2項(xiàng)的為p，（2x+■-■）3的展開式中含x-2項(xiàng)的為q，則p+q的最大值為_______.

分析與解： （x-■）8展開式的通項(xiàng)公式為：Tr+1= ■ x8-r（-■）r x-r= ■ （-■）rx8-2r，

令8-2r=2可得：r=3，則p = ■ （-■）3 x8-2×3=-7x2，

結(jié)合排列組合的性質(zhì)可知q= ■ （■）2（-■）=-■，

由p+q=-7x2-■=-（7x2+■）≤-2■=-4■，

當(dāng)且僅當(dāng)x2=■時等號成立.

綜上可得：p+q的最大值為-4■.

解題方略：（1）二項(xiàng)式定理的核心是通項(xiàng)公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件（特定項(xiàng)）和通項(xiàng)公式，建立方程來確定指數(shù)（求解時要注意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負(fù)整數(shù)，且n≥r，如常數(shù)項(xiàng)指數(shù)為零、有理項(xiàng)指數(shù)為整數(shù)等）;第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項(xiàng);（2）求兩個多項(xiàng)式的積的特定項(xiàng)，可先化簡或利用分類加法計(jì)數(shù)原理討論求解. 求最大最小值時，仍然需借助函數(shù)、不等式等知識獲得.

十、與概率交匯

例19. 若在二項(xiàng)式（x+1）10的展開式中任取一項(xiàng)，則該項(xiàng)的系數(shù)為奇數(shù)的概率是_________. （結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）

分析與解：展開式中所有系數(shù)依次為 ■、■、■、■、■、■、■、■、■、■、■. 在這11個數(shù)中■、■、■、■為奇數(shù)，其余均為偶數(shù)，故所求的概率為■.

解題方略：解決此類問題關(guān)鍵要先找出符合要求的對象. 本題因數(shù)目不多，故既可用通項(xiàng)公式一一列舉，也可用本文例13中的二項(xiàng)式系數(shù)表（楊輝三角）觀察，從而使問題得到解決.

十一、滲透在研究性學(xué)習(xí)課題的探究之中

例20. 如圖，在由二項(xiàng)式系數(shù)所構(gòu)成的楊輝三角形中第____行中從左至右第14與第15個數(shù)的比為2 ∶ 3.

分析與解：設(shè)第n行中從左至右第14與第15個數(shù)的比為2 ∶ 3，

則依題意可得：■ ∶ ■ = 2 ∶ 3，解得n=34.

解題方略：分析所給題設(shè)特征，恰當(dāng)使用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式.

二項(xiàng)式定理的學(xué)習(xí)或復(fù)習(xí)應(yīng)重視基礎(chǔ)，對二項(xiàng)式定理的展開式、通項(xiàng)公式、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)、二項(xiàng)式展開式中項(xiàng)的系數(shù)特征要弄懂原理，注意分辨通解通法，牢固掌握，不必追求解難題、尋巧解.

【歸納領(lǐng)悟】

1. 二項(xiàng)式展開式的性質(zhì)：

（1）在二項(xiàng)式展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等.

即：■ = ■，■ = ■，…，■ = ■.

（2）如果n是偶數(shù)，則二項(xiàng)式的展開式的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，且中間一項(xiàng)（第■+1項(xiàng)）的二項(xiàng)式系數(shù)最大;如果n是奇數(shù)，則二項(xiàng)式的展開式的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，且中間兩項(xiàng)（第■項(xiàng)與第■+1項(xiàng)）的二項(xiàng)式系數(shù)相等并且最大.

（3）所有二項(xiàng)式系數(shù)的和等于2n.

即■ + ■ + … + ■ = 2n.

（4）奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和.

即：■ + ■ + … = ■ + ■ + … = 2n-1.

2. 二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別

如對（a+bx）n（a，b∈C）的展開式，第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為■，而第r+1項(xiàng)為■ an-rbr.

3. 通項(xiàng)公式主要用于求二項(xiàng)式的指數(shù)，求滿足條件的項(xiàng)或系數(shù)，求展開式的某一項(xiàng)或系數(shù)，在應(yīng)用通項(xiàng)公式時要注意以下幾點(diǎn)：

（1）分清■an-kbk是第k+1項(xiàng)，而不是第k項(xiàng).

（2）在通項(xiàng)公式Tk+1=■an-kbk中，含有Tk+1、■、a、b、n、k這六個參數(shù)，只有a、b、n、k是獨(dú)立的，在未知n、k的情況下，用通項(xiàng)公式解題，一般都需首先將通項(xiàng)公式轉(zhuǎn)化為方程（組）求出n、k，然后代入通項(xiàng)公式求解.

（3）求二項(xiàng)式展開式中的一些特殊項(xiàng)，如系數(shù)最大的項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)等，通常都是先利用通項(xiàng)公式，由題意列方程，求出k，再求所需的某項(xiàng);有時則需先求n，計(jì)算時要注意n和k的取值范圍以及它們之間的大小關(guān)系.

（4）二項(xiàng)式定理的一個重要用途是做近似運(yùn)算：

當(dāng)n不很大，x比較小時，（1+x）n≈1+nx.

（5）利用二項(xiàng)式定理還可以證明整除問題或求余數(shù)問題，在證明整除問題或求余數(shù)問題時要進(jìn)行合理的變形，使被除式（數(shù)）展開后的每一項(xiàng)都含有除式的因式，要注意變形的技巧.

總之，二項(xiàng)式定理的學(xué)習(xí)或復(fù)習(xí)應(yīng)重視基礎(chǔ)，對二項(xiàng)式定理的展開式、通項(xiàng)公式、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)、二項(xiàng)式展開式中項(xiàng)的系數(shù)特征要弄懂原理，注意分辨通解通法，牢固掌握，不必追求解難題、尋巧解.

【本文系北京市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題“基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)核心概念課堂教學(xué)的反思與重構(gòu)研究”（編號：CDDB19238）階段性研究成果】

責(zé)任編輯 徐國堅(jiān)