基于離散力學(xué)追逃問題的半直接數(shù)值解法

肖遙　冮鐵強(qiáng)

摘? 要：該文結(jié)合了變分法和離散力學(xué)，提出一種新的半直接追逃問題的數(shù)值求解方法。首先利用變分法將微分對策問題轉(zhuǎn)化為含約束的最優(yōu)控制問題，再結(jié)合離散力學(xué)理論將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題，最后使用序列二次規(guī)劃（SQP）方法進(jìn)行數(shù)值求解。以小車追逃模型作為算例驗(yàn)證了該方法的正確性。

關(guān)鍵詞：追逃問題? 變分法? 離散力學(xué)

中圖分類號：O3 ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-3791（2020）02（c）-0213-02

20世紀(jì)50年代，Isaacs 等人首先提出了用微分對策求解追逃問題。但是微分對策問題的求解一直是一個(gè)難題，很多學(xué)者對于追逃問題的數(shù)值求解方法進(jìn)行了大量的研究。徐光延等人[1]使用變分法將微分對策問題轉(zhuǎn)化為最優(yōu)控制問題，再用偽譜法和SNOPT求解器計(jì)算最優(yōu)解;針對三維無人機(jī)追逃問題，Conway等人使用間接法和遺傳算法求解[2]，而對于導(dǎo)彈攔截問題，他們則提出了一種半直接非線性規(guī)劃算法（semi-DCNLP）進(jìn)行了數(shù)值求解[3]。該文提出一種半直接的數(shù)值求解方法，先把問題轉(zhuǎn)化為最優(yōu)控制問題，再結(jié)合離散力學(xué)理論將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題，最后使用序列二次規(guī)劃（Sequential Quadratic Programming，SQP）方法進(jìn)行數(shù)值求解。

1? 微分對策問題的轉(zhuǎn)化

使用文獻(xiàn)[1]中的轉(zhuǎn)化形式，將微分對策問題轉(zhuǎn)化為最優(yōu)控制問題。

（1）

s.t.

（2）

（3）

（4）

（5）

其中：下標(biāo)P和E分別表示追方和逃方;ΦE和DE分別為目標(biāo)函數(shù)的末值項(xiàng)和代價(jià)函數(shù)，為連續(xù)可微的標(biāo)量函數(shù); qE，qP∈Rn和uE，uP∈Rm分別為追逃雙方的狀態(tài)變量和控制變量;式（3）和式（4）為追逃雙方的狀態(tài)方程;t0和tf分別為給定的初始時(shí)刻終端時(shí)刻。

2? 離散力學(xué)和最優(yōu)控制

離散力學(xué)最優(yōu)控制方法（DMOC）[4]是求解最優(yōu)控制問題的一種數(shù)值方法。

在離散的情況下，我們將固定時(shí)間間隔[t0，tf]以時(shí)間間隔h劃分為N個(gè)小區(qū)間[t0，t0+h]，[t0+h，t0+2h]，…，[t0+（N-1）h，t0+Nh]，系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)q也每隔時(shí)間步長h進(jìn)行采樣從而得到一系列的采樣點(diǎn)qk（t0+kh），k=0，1，2，…，N，使用中點(diǎn)法代替廣義坐標(biāo)q，使用采樣點(diǎn)的差商代替廣義坐標(biāo)。使用文獻(xiàn)[4]中的方法，將式（1）和（2）構(gòu)成的最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為：

（6）

（7）

（8）

（9）

其中f-k=f+k為統(tǒng)中含有摩擦力、耗散力或額外控制力等非有勢力的離散形式k=1，2，…，N-1。此時(shí)，式（6）～（9）就構(gòu)成一個(gè)非線性規(guī)劃問題，利用計(jì)算機(jī)軟件很容易數(shù)值求解。

3? 基于離散力學(xué)的追逃問題的半直接數(shù)值解法

將追方極值條件式（4）～（5）離散：

（10）

（11）

其中HP，k為離散的哈密頓函數(shù)，F(xiàn)P，d為離散的狀態(tài)方程，k=1，2，…，N-1。此時(shí)，式（8）～（11）構(gòu)成一個(gè)與微分對策問題（1）～（5）等價(jià)的非線性規(guī)劃問題。

4? 算例

考慮如圖1中的小車追逃模型。其中，下標(biāo)P和E分別表示追方和逃方;F為小車的最大推力，θ為小車推力方向與X軸的夾角，（x，y）為小車位置坐標(biāo)。

取qP=[xp，yp]T和qE=[xE，yE]T作為追逃兩只小車的狀態(tài)變量，取up=θp和uE=θE作為控制量;給定初始參數(shù)xp=0，yp=0，xe=500，ye=1000，θp=0，;為保證追方一定能追上逃方，則必有追方推重比大于逃方推重比，即，取=8，=3.5;采樣周期h=1，采樣次數(shù)N=100。使用第3節(jié)的方法建立模型，使用MATLAB軟件進(jìn)行數(shù)值仿真（使用Control Toolbox中的fmincon函數(shù)，算法選擇SQP），數(shù)值仿真結(jié)果如圖2所示?？梢钥闯?，逃方采用轉(zhuǎn)向機(jī)動躲避追擊，而擁有速度優(yōu)勢的追方做出相同的轉(zhuǎn)向機(jī)動并最終追上逃方，雙方的策略都是非常合理的。

5? 結(jié)語

該文創(chuàng)新提出使用基于離散力學(xué)的半直接數(shù)值解法求解了追逃問題。首先使用間接法將微分對策問題轉(zhuǎn)化為最優(yōu)控制問題，再結(jié)合離散力學(xué)理論將問題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題進(jìn)行直接優(yōu)化求解。為了驗(yàn)證方法的有效性，在第4節(jié)給出一個(gè)小車追逃的算例，在MATLAB中應(yīng)用SQP方法進(jìn)行數(shù)值求解和仿真。對仿真結(jié)果的分析表明，雙方都采用了合理的策略進(jìn)行博弈。仿真結(jié)果表明了該文提出的方法是正確的、有效的。

參考文獻(xiàn)

[1] 徐光延，史光普.無人機(jī)三維追逃問題的半直接法求解[J].電光與控制，2017，24（10）：27-31.

[2] CONWAY B A， PONTANI M. Numerical solution of the three-dimensional orbital pursuit-evasion game[J].Journal of Guidance， Control， and Dynamics，2009，32（2）：474-487.

[3] CONWAY B A， PONTANI M. Optimal interception of evasive missile warheads： Numerical solution of the differential game[J].Journal of Guidance， Control， and Dynamics，2008，31（4）：1111-1122.

[4] OBER-BLOBAUM S. Discrete Mechanics and Optimal Control[J].IAFC Proceedings Volumes，2005，38（1）：538-543.