關(guān)注幾何本質(zhì)，科學(xué)備考解析幾何

盧會玉

解析幾何是代數(shù)與幾何的完美結(jié)合，是代數(shù)解決幾何的典范。由于解析幾何蘊含豐富的數(shù)學(xué)思想（函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、特殊與一般思想等），所以通過對解析幾何的考查，可以有效檢測同學(xué)們的直觀想象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

解析幾何在高考中的考查內(nèi)容包括：直線與方程、網(wǎng)與方程、網(wǎng)錐曲線等內(nèi)容。題型有選擇、填空及解答題，考查形式有純粹的解析幾何試題，以及蘊含在線性規(guī)劃、導(dǎo)數(shù)等試題中的直線方程問題。純粹的解析幾何試題基本保持為兩道小題和一道解答題，分值為22分。選擇與填空題常有一道較低起點題，另一道則為較難題或者壓軸題。解答題的第（1）問側(cè)重考查網(wǎng)錐曲線的定義與基本性質(zhì);解答題的第（2）問，盡管可能有多種不同的呈現(xiàn)形式，但總離不開直線與網(wǎng)或網(wǎng)錐曲線的位置關(guān)系這一本質(zhì)的模式或套路。

通常解析幾何試題的計算量都比較大，導(dǎo)致同學(xué)們在學(xué)習(xí)過程中有恐懼心理，使得很多同學(xué)在解決解析幾何問題時只能走三步：求方程，聯(lián)立方程，韋達定理，然后就繼續(xù)不下去了。其實這種思維主要是由只重視代數(shù)運算，而忽視幾何本質(zhì)所導(dǎo)致的。解析幾何應(yīng)該以幾何問題為導(dǎo)向，關(guān)注幾何本質(zhì)，以幾何為切入點，這樣更容易找到解題思路。想要快而準(zhǔn)確地解決解析幾何問題，應(yīng)遵循解析幾何三部曲：厘清幾何問題，幾何問題代數(shù)化，代數(shù)思想解決（方程思想）。顯然第一步是前提，第二步是關(guān)鍵，第三步是保障。

考向一、直線方程的求解問題

總結(jié)：求直線方程的常用方法有：（l）直接法：根據(jù)已知條件靈活選用直線方程的形式，寫出方程。（2）待定系數(shù)法：先根據(jù)已知條件設(shè)出直線方程，再根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于待定系數(shù)的方程（組）求系數(shù)，最后代入求出直線方程。（3）求直線方程時，如果沒有特別要求，求出的直線方程應(yīng)化為一般式Ax+By+C=0，且A≥O。

考向二、和圓有關(guān)的最值問題

總結(jié)：和網(wǎng)有關(guān)的問題，多數(shù)情況下都是利用數(shù)形結(jié)合的思想方法來解決的。在求網(wǎng)上的點到直線或者定點的距離時，一般是轉(zhuǎn)化為圓心到直線或者定點的距離，再加減半徑，分別得到最大值和最小值。涉及網(wǎng)的弦長或者切線長時，經(jīng)常用到垂徑定理。

考向三、圓錐曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程

總結(jié)：（l）橢圓定義的集合語言：P={M||MF¹|+|MF²| =2a，2a>|F¹F²|）往往是解決計算問題的關(guān)鍵，橢圓上的一點與兩焦點所構(gòu)成的三角形稱為焦點三角形。解決焦點三角形問題常利用橢網(wǎng)的定義、正弦定理和余弦定理。

（2）在雙曲線的定義中要注意雙曲線上的點（動點）具備的幾何條件，即“到兩定點（焦點）的距離之差的絕對值為一常數(shù)，且該常數(shù)必須小于兩定點的距離”。若定義中的“絕對值”去掉，點的軌跡是雙曲線的一支。同時注意定義的轉(zhuǎn)化應(yīng)用。

（3）求雙曲線的方程時，一是要注意判斷標(biāo)準(zhǔn)形式;二是要注意a、b、c的關(guān)系。

考向四、有關(guān)離心率問題

總結(jié)：（l）求離心率時，由條件尋找“a，c、滿足的等式或不等式，在雙曲線中，“a，b，c的關(guān)系為c₂=a₂+b₂，在橢圓中，a，b，c的關(guān)系為a₂=b₂+c₂，然后進行變形即可。

（2）求解雙曲線的離心率的范圍，一般是根據(jù)條件，結(jié)合c₂=a₂十b₂和e=c/a，得到關(guān)于e的不等式，求解即得。橢網(wǎng)問題用類似方法求解。注意區(qū)分雙曲線的離心率e∈（1，+∽），橢網(wǎng)的離心率e∈（0，1）。

考向五、求軌跡方程

總結(jié)：（l）直接法求曲線方程時最關(guān)鍵的就是把幾何條件或等量關(guān)系翻譯為代數(shù)方程，要注意翻譯的等價性。通常將步驟簡記為建系設(shè)點、列式、代換、化簡、證明這五個步驟，但最后的證明可以省略，如果給出了直角坐標(biāo)系則可省去建系這一步，求出曲線的方程后還需注意檢驗方程的純粹性和完備性。

（2）求軌跡方程時，若動點與定點、定直線間的等量關(guān)系滿足網(wǎng)、橢網(wǎng)、雙曲線、拋物線的定義，則可直接根據(jù)定義先確定軌跡類型，再寫出其方程。理解解析幾何中有關(guān)曲線的定義是解題的關(guān)鍵。利用定義法求軌跡方程時，還要看所求軌跡是否是完整的網(wǎng)、橢網(wǎng)、雙曲線、拋物線，如果不是完整的曲線，則應(yīng)對其中的變量x或y進行限制。

（3）動點所滿足的條件不易得出或轉(zhuǎn)化為等式，但形成軌跡的動點P（x，y）卻隨另一動點Q（x'，y'）的運動而有規(guī)律地運動，而且動點Q的軌跡方程為給定的或容易求得的，則可先將x'，y'表示成關(guān)于x，y的式子，再代入Q的軌跡方程整理化簡即得動點P的軌跡方程。

考向六.圓錐曲線中的定點、定值問題

總結(jié)：定點、定值問題多以直線與網(wǎng)錐曲線為背景，常與函數(shù)、方程、向量等知識交匯，形成了過定點、定值等問題的證明，難度較大。定點、定值問題是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量，那么就可以用變化的量表示問題中的直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，這些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系不受變化的量所影響的一個點、一個值，就是要求的定點、定值。化解這類問題的關(guān)鍵就是引進變的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量。

考向七、直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷及應(yīng)用

總結(jié)：（l）判斷直線與網(wǎng)錐曲線的交點個數(shù)時，可直接求解相應(yīng)方程組得到交點坐標(biāo)，也可利用消元后的一元二次方程根的判別式來確定，需注意利用判別式的前提是二次項系數(shù)不為0。

（2）依據(jù)直線與網(wǎng)錐曲線的交點個數(shù)求參數(shù)時，聯(lián)立方程并消元，得到一元二次方程，此時注意觀察方程的二次項系數(shù)是否為0，若為0，則方程為一次方程;若不為O，則將方程解的個數(shù)轉(zhuǎn)化為判別式與O的大小關(guān)系求解。

考向八.直線與圓錐曲線的弦長問題

總結(jié)：直線與網(wǎng)錐曲線的弦長問題：

（l）過網(wǎng)錐曲線的焦點的弦長問題，利用網(wǎng)錐曲線的定義可優(yōu)化解題。

（2）將直線方程與網(wǎng)錐曲線方程聯(lián)立，求出兩交點的坐標(biāo)，再運用兩點之間的距離公式求弦長。

（3）解題過程體現(xiàn)了解析幾何中的設(shè)而不求思想，其實質(zhì)是利用兩點之間的距離公式，以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。

解答解析幾何問題的關(guān)鍵是把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，那么怎樣才能進行合理的轉(zhuǎn)化呢？筆者認(rèn)為有幾點值得注意：（l）要主動去理解幾何對象的本質(zhì)特征，這需要在審題上下功夫;（2）要善于將幾何條件、幾何性質(zhì)用代數(shù)的形式表達出來，這需要對特殊圖形的代數(shù)表示非常明確;（3）恰當(dāng)選擇代數(shù)化的形式，這需要很好的大局觀，方便后續(xù)的代數(shù)研究;（4）要注意等價轉(zhuǎn)化。

總之，解析幾何題綜合性強、應(yīng)用面廣，有些題目對運算求解能力要求高、有些題曰對推理論證能力要求高，所以在高三復(fù)習(xí)中，既要注重基礎(chǔ)，又要有所創(chuàng)新提高，既要注重通性通法，又要注意技巧鍛煉，要做到靈活多變，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，自覺地運用數(shù)學(xué)思想方法進行分析、推理、運算，這樣才能快速準(zhǔn)確地解答問題。

（責(zé)任編輯 王福華）