在“推知”活動(dòng)中涵養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)①
——以“線面垂直”的概念和判定為例

伍春蘭 丁明怡 王 肖

(1.北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系 100120；2.北京教育科學(xué)研究院 100036；3.中國(guó)人民大學(xué)附屬中學(xué)通州校區(qū) 101100)

邏輯推理是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》提出的6個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一， 也是數(shù)學(xué)學(xué)科一貫崇尚的學(xué)科價(jià)值. 通過(guò)數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生“掌握邏輯推理的基本形式”[1]的指標(biāo)易實(shí)現(xiàn)，但養(yǎng)成有邏輯地思考問(wèn)題的習(xí)慣，“形成重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)和理性精神”[1]的目標(biāo)難達(dá)成，而后者正是邏輯推理素養(yǎng)的主要體現(xiàn).

我們觀點(diǎn)是只有在邏輯推理活動(dòng)中，才能成就學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng). 下面以“線面垂直”的概念和判定為例，闡述我們?cè)诟拍詈投ɡ斫虒W(xué)中，創(chuàng)建“推知”活動(dòng)的實(shí)踐與思考.

1 “推知”概述

“推知”來(lái)源于《墨經(jīng)》中的“說(shuō)知”. 《墨經(jīng)》對(duì)于“知”這一部分的闡釋, 回答了知識(shí)論中的3個(gè)主要問(wèn)題：“何者為知”“云何有知”“所知為何”. “云何有知”探討了知識(shí)的本源：因“親”“聞”“說(shuō)”而知[2]. 通過(guò)自己的親身經(jīng)驗(yàn)，由感官的感覺(jué)而得來(lái)的知識(shí)是“親知”；由他人的傳授或閱讀文字等而得來(lái)的知識(shí)是“聞知”；根據(jù)直接、間接知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，由思維據(jù)理推測(cè)，不為時(shí)空所阻而得來(lái)的知識(shí)是“說(shuō)知”. 歷代治墨學(xué)者多將“說(shuō)知”解讀為由推理、推論、推度、推斷、推明、推測(cè)而得之知，簡(jiǎn)稱為“推知”[3].

“推知”有“兩義”，一是“推度以自悟”，二是“說(shuō)明以悟他”[4]. 所謂“推度以自悟”，即求知者利用“推”的形式求知，達(dá)到“自悟”. 所謂“說(shuō)明以悟他”，即在求知者明曉基礎(chǔ)上，使用“推”的手段再令他人明曉[5]. 上述兩點(diǎn)正是“推知”的價(jià)值所在，也是我們力主在教師有機(jī)引導(dǎo)下，創(chuàng)設(shè)學(xué)生“推知”方式學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)概念和定理的理由. 這樣，學(xué)生在已有的直接的“親知”和間接的“聞知”基礎(chǔ)上，通過(guò)學(xué)習(xí)共同體(班級(jí)、小組)長(zhǎng)期合理的“推”的“自悟”和“悟他”，實(shí)現(xiàn)人人都能獲得相應(yīng)的知識(shí)技能，不同的人用數(shù)學(xué)思維發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問(wèn)題的能力和邏輯推理素養(yǎng)上得到不同的發(fā)展.

2 概念“推知”

2.1 “線面垂直”概念的分析

人民教育出版社《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修2(A版)》(以下簡(jiǎn)稱A版教材)的“線面垂直”定義可以簡(jiǎn)述為：直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直[6]. 人民教育出版社《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修2(B版)》(以下簡(jiǎn)稱B版教材)的“線面垂直”定義可以概述為：直線與平面內(nèi)過(guò)交點(diǎn)的任何直線都垂直[7].

顯然A版教材比B版教材“線面垂直”內(nèi)涵要求嚴(yán)苛，因此用定義判定“線面垂直”更困難；反過(guò)來(lái)由“線面垂直”定義，A版教材可以直接得到“直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直”，B版教材對(duì)平面上不過(guò)交點(diǎn)的線，需要通過(guò)平移到交點(diǎn)得以證明.

雖然各版教材“線面垂直”定義并不統(tǒng)一，但都是“屬加種差”定義方式. 因此，設(shè)計(jì)學(xué)生體驗(yàn)“線面垂直”定義合理性的思維活動(dòng)時(shí)，首先要引導(dǎo)學(xué)生找出鄰近屬概念(線面相交)；其次，引領(lǐng)學(xué)生比較“線面垂直”與“線面相交”的差別即種差; 種差有性質(zhì)種差、原因種差、關(guān)系種差等之別，“線面垂直”的種差(線與面內(nèi)的任意一條直線都垂直—按A版教材)是性質(zhì)種差.

2.2 “線面垂直”概念的“推知”

在現(xiàn)實(shí)生活中，學(xué)生對(duì)“線面垂直”現(xiàn)象有一定的感性認(rèn)識(shí). 比如，由旗桿與地面的位置關(guān)系，大橋的橋柱與水面的位置關(guān)系，直立的人與地面的位置關(guān)系等，學(xué)生很易抽象出“線面垂直”的形象. 在9年級(jí)，他們還體驗(yàn)過(guò)利用相似(直角)三角形解決旗桿高度的測(cè)量問(wèn)題. 雖然“線面垂直”定義不難理解，但抽象出數(shù)學(xué)定義的思維歷程，是有教學(xué)價(jià)值的，也是學(xué)生困難點(diǎn). 為此我們?cè)O(shè)計(jì)了如下4個(gè)遞進(jìn)活動(dòng)，不僅讓學(xué)生體會(huì)定義的合理性，也讓他們經(jīng)歷了形成概念的思維活動(dòng).

2.2.1 用線與線(平面上)垂直刻畫“線面垂直”的可能性

回顧直線與平面的位置關(guān)系(線在面內(nèi)；線面相交；線面平行)，學(xué)生易知“線面垂直”是特殊的“線面相交”，也易得“線面垂直”的線與面不斜交. 問(wèn)題是怎樣刻畫“不斜”？有學(xué)生說(shuō)“垂直”，也有學(xué)生說(shuō)“成90度的角”. 教師追問(wèn)1“如果垂直是指直線和平面垂直，思考又回到起點(diǎn)，那線該和誰(shuí)垂直？”；教師追問(wèn)2“成90度的角，角的頂點(diǎn)在哪？角的兩邊又在哪？”

追問(wèn)促使學(xué)生深度反思，由此“推知”：“線面垂直”可以用線與線(平面上)垂直刻畫.

2.2.2 “線面垂直”的必要性1：線與平面上的線垂直的存在性

學(xué)生舉例說(shuō)明：直立于地面的旗桿與其在地面上的影子；豎立在桌面上的書，書脊所在直線與各頁(yè)面和桌面的交線(圖1)；長(zhǎng)方體的高與底面的長(zhǎng)、寬……

圖1

學(xué)生實(shí)驗(yàn)感受：一張矩形硬紙片對(duì)折，略為張開(kāi)，然后直立于桌面上(圖2)，折痕PQ所在線與對(duì)折后的矩形落在桌面上的線段a、b所在的線.

圖2

圖3

2.2.3 “線面垂直”的必要性2：線與平面上的線垂直的無(wú)限性

學(xué)生舉例感受：直立于地面的旗桿與其在地面上隨著太陽(yáng)移動(dòng)的影子；矩形門軸所在線與開(kāi)關(guān)門過(guò)程中轉(zhuǎn)動(dòng)的下底門框所在線……

2.2.4 “線面垂直”的充分性：存在線與無(wú)數(shù)條線(平面上)垂直，但線面不垂直

學(xué)生舉反例證明，并實(shí)驗(yàn)操作：斜立在桌面上的直角三角板(一條直角邊a在桌面上，見(jiàn)圖3)，顯然另一條直角邊b和在桌面上與邊a平行的線都垂直，但這條直角邊b所在直線不和桌面垂直.

四個(gè)活動(dòng)后學(xué)生反思，同時(shí)給“線面垂直”下定義并完善.

2.3 概念“推知”的反思

2.3.1 了解概念的基本要素，找到“推知”活動(dòng)的切入點(diǎn)

概念的要素涉及四個(gè)方面：名稱，例證，屬性和定義. 例證包括正例和反例，正例有利于確證概念的本質(zhì)屬性，反例有助于剔除概念的非本質(zhì)屬性. 中學(xué)數(shù)學(xué)概念的定義方法主要有原始概念、屬加種差定義法及揭示外延定義法. 屬加種差定義法是最常用的定義方式，鄰近屬概念往往是上位概念，發(fā)現(xiàn)鄰近屬概念就找到了學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，而發(fā)現(xiàn)種差的過(guò)程，也是“推知”概念的過(guò)程.

2.3.2 掌握概念學(xué)習(xí)的基本規(guī)律，在“推知”活動(dòng)中發(fā)展學(xué)生思維品質(zhì)

概念學(xué)習(xí)的過(guò)程包括概念的獲得和概念的運(yùn)用兩個(gè)環(huán)節(jié). 獲得概念有兩種形式，即概念的形成和概念的同化. 按照概念的抽象水平，概念又有具體概念和定義性概念之別. “線面垂直”是具體概念，因此適宜采用概念形成策略，即從例證的辨別出發(fā)，然后逐漸發(fā)現(xiàn)概念的本質(zhì)屬性. 用概念形成方式獲得具體概念，一般要經(jīng)過(guò)知覺(jué)辨別、假設(shè)、檢驗(yàn)假設(shè)和概括四個(gè)階段. 一般而言，具體概念越復(fù)雜，檢驗(yàn)和假設(shè)之間的往復(fù)次數(shù)越多. 在這個(gè)過(guò)程中，越需要從外界尋找更多的正例和反例. 概念形成屬于發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的范疇，它的關(guān)鍵是必須感知到充分的正例和反例，然后加上適當(dāng)?shù)母爬?

3 定理“推知”

給概念下定義后，探尋其判定定理，是數(shù)學(xué)研究的常規(guī). 因此有了“線面垂直”定義，可推知“線面垂直”的判定條件并證明.

3.1 判定定理的合情猜想

3.1.1“線面垂直”結(jié)構(gòu)的推測(cè)片段

師：顯然，有了“線面垂直”的定義，證明直線與平面不垂直非常簡(jiǎn)單. 怎樣證明？

生齊：舉一個(gè)反例.

師：對(duì)，在平面上找一條直線，證明直線與平面的這條直線不垂直即可. 但用定義直接證明直線與平面垂直不易，于是尋找便于操作的“線面垂直”的判定條件是數(shù)學(xué)研究的常態(tài)，也是今天我們的任務(wù). 結(jié)合前面學(xué)習(xí)的“線面平行”“面面平行”的判定定理的結(jié)構(gòu)，你能推測(cè)出判定“線面垂直”的結(jié)構(gòu)嗎？

生1: “線面平行”判定定理的條件是“線線平行”，結(jié)論是“線面平行”；“面面平行”判定定理的條件是“線面平行”，結(jié)論是“面面平行”；所以我推測(cè)“線面垂直”判定定理的條件是“線線垂直”，結(jié)論是“線面垂直”.

生2：其實(shí)由剛剛學(xué)習(xí)的“線面垂直”定義，也能推測(cè)出判定“線面垂直”的條件可以轉(zhuǎn)化為“線線垂直”，問(wèn)題是直線要和平面上的多少條直線垂直，才能判定“線面垂直”？

師：同學(xué)們的分析都很到位，推測(cè)都揭示了解決立體幾何問(wèn)題的一個(gè)重要的思想方法，前面提到過(guò)，還記得嗎？

生齊：立體向平面轉(zhuǎn)化.

師：對(duì)，高維—立體向低維—平面轉(zhuǎn)化.

3.1.2“線面垂直”判定條件的猜想片段

師：生2提出了一個(gè)好問(wèn)題，如果“線線垂直”的第一條“線”指的是平面外的“直線”；第二條“線”指的是平面內(nèi)的“直線”，那么平面內(nèi)的直線需要多少條與第一條平面外直線垂直就夠了？平面內(nèi)的這些直線還需要什么條件？提出你的猜想(請(qǐng)不要看書)，并說(shuō)明猜想的依據(jù).

生3：類比“線面平行”判定定理?xiàng)l件，猜想判斷條件是“直線與平面內(nèi)的一條直線垂直”，但是剛才實(shí)驗(yàn)(斜立在桌面上的直角三角板)，已經(jīng)證明這個(gè)猜想是錯(cuò)誤的.

師：雖然猜想的結(jié)論不對(duì)，但類比“線面平行”判定定理，猜想的角度是合理的. 而且生3還通過(guò)反例證明了猜想是錯(cuò)的.

生4：我猜想判斷條件是“直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直”，理由是面面平行的判斷條件就是找到平面內(nèi)的“兩條相交直線”與“另一個(gè)平面平行”.

師：很好的聯(lián)想.還能進(jìn)一步說(shuō)明猜想的理由嗎？

生4：兩條相交直線確定平面，所以……

師：這個(gè)理由讓你的猜想更充分了，還有其他猜想嗎？

生5：我提出一個(gè)猜想：“直線與平面內(nèi)的兩條平行直線垂直”，猜想依據(jù)是“兩條平行直線確定一個(gè)平面” . 但這個(gè)判斷條件也是不對(duì)的，因?yàn)樾绷⒃谧烂嫔系闹苯侨前濉?/p>

師：這個(gè)猜想也有根有據(jù)，不過(guò)生5自舉了反例證明猜想不正確.

3.2 判定定理的演繹證明

在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》(2003年)中，線面、面面平行及垂直的判定(必修2)都僅要求通過(guò)直觀感知、操作確認(rèn)，歸納得出，相關(guān)證明只作為“空間向量的應(yīng)用”(選修2-1)提出. 所以“線面垂直”判定定理，比如，A版教材通過(guò)“折三角形紙片”的活動(dòng)引入，B版教材由兩條相交直線確定平面原理引出定理，在立體幾何中都沒(méi)有證明.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》對(duì)線面、面面平行和垂直的關(guān)系的要求與2003版的要求基本一致，在必修主題三課程提出：借助長(zhǎng)方體，通過(guò)直觀感知，了解空間中線面、平面的平行和垂直的關(guān)系，歸納出判定和性質(zhì)定理[8].

“課程標(biāo)準(zhǔn)”從全局考慮，頂層設(shè)計(jì)，對(duì)判定定理沒(méi)有要求從立體幾何出發(fā)的演繹證明，是可以理解的. 但對(duì)于掌握了一定演繹證明的學(xué)生而言，充分利用這一資源開(kāi)發(fā)為校本課程是值得提倡的.

利用對(duì)稱的方法，教材[9]給出“線面垂直”判定定理的詳細(xì)分析(沒(méi)有證明)，教材[10]在證明前給出了簡(jiǎn)單分析. 文獻(xiàn)[11]考察了20世紀(jì)中葉之前的97種西方立體幾何教科書中的線面垂直判定定理的證明方法，指出：證明的講解對(duì)于學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng)具有一定的價(jià)值.

關(guān)于“線面垂直”判定定理證明的教學(xué)，我們的立場(chǎng)是不僅學(xué)習(xí)定理怎樣證明的，以確認(rèn)定理的正確性，加深對(duì)定理的理解，而且關(guān)注定理證明過(guò)程中邏輯推理素養(yǎng)的發(fā)展.

3.2.1符號(hào)圖形語(yǔ)言的翻譯

為了快捷順暢，不少教師往往直接給出命題的圖形和已知求證. 對(duì)學(xué)生前測(cè)調(diào)研，統(tǒng)計(jì)結(jié)果已表明，缺少文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言與圖形語(yǔ)言互譯訓(xùn)練的學(xué)生，當(dāng)沒(méi)有提示，特別是無(wú)圖形語(yǔ)言，他們茫然不知所措.

將猜想命題翻譯成符號(hào)語(yǔ)言與圖形語(yǔ)言，是強(qiáng)化命題理解的一種手段，也是證明的起點(diǎn). 因此將命題翻譯成符號(hào)語(yǔ)言與圖形語(yǔ)言的任務(wù)交由學(xué)生，教師只要適量點(diǎn)撥即可.

3.2.2利用定義證明的含義

利用定義證明“線面垂直”判定定理，就是要證明與平面α的兩條相交直線m、n垂直的直線l，與平面α的任意一條直線垂直. 有兩個(gè)值得學(xué)生思考的問(wèn)題：(1)怎樣表示平面α的任意一條直線；(2)這條任意直線在什么位置. 問(wèn)題1旨在讓學(xué)生學(xué)會(huì)“(不妨)設(shè)g是平面α內(nèi)的任一直線”的表達(dá)，體驗(yàn)“無(wú)中生有”的妙處. 問(wèn)題2意在讓學(xué)生能根據(jù)已知條件，學(xué)習(xí)恰當(dāng)分類. 因?yàn)槠揭撇黄茐闹本€與直線的垂直關(guān)系，所以簡(jiǎn)單而有價(jià)值的分類就是直線g過(guò)或不過(guò)直線m、n的交點(diǎn).

3.2.3對(duì)稱方法證明的起意

實(shí)踐中，學(xué)生對(duì)教材[9]的證明能夠理解，如果僅止于對(duì)證明聽(tīng)得清、看得懂上，那只是完成了知識(shí)的傳授和定理的確認(rèn)，定理證明教學(xué)更有意義的是怎樣啟迪學(xué)生找到證明的突破口和路徑，怎樣用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言邏輯地清晰表達(dá).

由于直線l的不確定性，平面α內(nèi)直線g的任意性，以及平移不改變直線與直線的垂直關(guān)系，于是分類證明l⊥g的想法應(yīng)運(yùn)而生. 先證明l、g過(guò)m、n交點(diǎn)的特殊位置情形，其它情形通過(guò)平移轉(zhuǎn)化.

平面內(nèi)解決兩線的垂直問(wèn)題，學(xué)生學(xué)過(guò)等腰三角形的三線合一定理、線段垂直平分線的逆定理，以及圓周角的推論(直徑上的圓周角)、垂徑定理的推論(平分弦(非直徑)的直徑). 后兩者需要構(gòu)造圓(可不考慮)，而前兩者就是構(gòu)造對(duì)稱. 因此喚醒學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，用對(duì)稱方法證明l⊥g就成為自然選擇.

3.3 定理“推知”的反思

雖然學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，可以猜想出線面垂直的判定定理，但是由與平面內(nèi)任意一條直線都垂直，到只須與平面內(nèi)兩條相交直線垂直，巨大反差的結(jié)果令學(xué)生有興趣證明真?zhèn)? 如果此時(shí)偃旗息鼓，直接承認(rèn)判定定理，學(xué)生求知和探索的欲望將得不到滿足，也錯(cuò)失了一次演繹推理的訓(xùn)練和科學(xué)精神的弘揚(yáng).

事實(shí)上，由“面面平行”和平面內(nèi)的線線垂直做鋪墊，“線面垂直”判定將合情推理與演繹推理有機(jī)結(jié)合順理成章. 通過(guò)演繹證明，學(xué)生領(lǐng)略了無(wú)限向有限轉(zhuǎn)化、空間向平面轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法，拓寬了對(duì)稱概念(點(diǎn)、線到面)，感受了公理化、邏輯證明的魅力，經(jīng)歷了言之有理、論證有據(jù)的邏輯推理過(guò)程. 同時(shí)“線面垂直”的判定定理證明后，還可以探討與“線面垂直”定義等價(jià)性等問(wèn)題.

4 “推知”效應(yīng)

通過(guò)“推知”教學(xué)實(shí)踐，我們感受到如下幾點(diǎn)效應(yīng)：

(1)易于激發(fā)動(dòng)機(jī)

有方向的“推知”，使學(xué)生對(duì)所學(xué)材料的探究具有興奮感和自信感，這樣就可能把發(fā)現(xiàn)本身作為一種自我獎(jiǎng)賞而推動(dòng)自己的學(xué)習(xí)活動(dòng)，這樣的力量是真正的內(nèi)在學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī).

(2)助于保持記憶

布魯納認(rèn)為，人類記憶的首要問(wèn)題不是儲(chǔ)存而是檢索，而檢索的關(guān)鍵在于組織，也就是知道到哪里尋找信息和怎樣去獲取信息.一般而言，按照一個(gè)人自己的興趣和認(rèn)知結(jié)構(gòu)組織起來(lái)的材料就是最有希望在記憶中自由出入的材料，而“推知”得到的知識(shí)多半是遵循著與個(gè)人的智慧航向相聯(lián)系的路線安置，自然形成知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu).

(3)利于涵養(yǎng)邏輯推理的素養(yǎng)

為學(xué)生提供合情推理的時(shí)機(jī)，并在交流中“推度以自悟”和“說(shuō)明以悟他”. 不僅理解了知識(shí)技能的由來(lái)，而且在過(guò)程中鍛煉了思維，學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)也會(huì)在長(zhǎng)期的“推知”活動(dòng)中悄然發(fā)展.

(4)益于養(yǎng)成數(shù)學(xué)思考的習(xí)慣

將“推知”貫穿到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，就越能把學(xué)習(xí)所得歸結(jié)成一種解決問(wèn)題或研究的方式，而這種方式對(duì)學(xué)生遇到的任何新的學(xué)習(xí)內(nèi)容都有裨益的.

當(dāng)然，“推知”活動(dòng)要適度，因?yàn)橹挥芯邆洹巴浦钡哪芰?(主觀條件)，又有“推知”的欲望(內(nèi)在動(dòng)機(jī))，才能實(shí)現(xiàn)“推知”的效益. 所以，系統(tǒng)和持續(xù)地創(chuàng)設(shè)學(xué)生最近發(fā)展區(qū)內(nèi)的“推知”活動(dòng)是關(guān)鍵. 另外，這種“推知”學(xué)習(xí)，應(yīng)該是在閱讀教材之前，也可和閱讀教材交錯(cuò).