初中幾何“線段最值”問題的求解策略

葉婷婷

幾何問題是初中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)。因?yàn)閹缀螁栴}往往比較抽象，考察的是學(xué)生的抽象思維，需要學(xué)生運(yùn)用一定的想象，因此，學(xué)生需要具有良好的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和數(shù)學(xué)創(chuàng)造意識(shí)，才能夠很好地解決這類問題。

一、利用數(shù)學(xué)公理求最值

在求解“線段最值”的時(shí)候，我們可以使用數(shù)學(xué)公理去求解答案。這個(gè)公理就是“兩點(diǎn)之間線段最短”。連接兩點(diǎn)間的線段的長度叫作這兩點(diǎn)間的距離。根據(jù)常識(shí)我們可以知道兩點(diǎn)之間的所有連線中線段是最短的。而最短就對(duì)應(yīng)最值中的最小值。

比如這樣一道典型的例題，“要在街道MN旁邊修建一個(gè)供水站。向居民區(qū)a，b提供水源。居民區(qū)a，b都位于MN街道旁的一側(cè)，供水站應(yīng)該建在什么地方，才能使從a，b到它的距離之和最短？（提示：可以畫一條線段去表示距離之間的最小值）”在解決這個(gè)問題的時(shí)候，我們就要用到上述提出的數(shù)學(xué)公理。我們以MN街道為對(duì)稱軸，畫出a點(diǎn)在MN軸另一側(cè)的對(duì)稱點(diǎn)a'，連接a'和b可以得到一條線段，這條線段和mn軸有一個(gè)交點(diǎn)，記作p。p點(diǎn)就是修建供水站的位置。如此供水站到居民區(qū)ab的距離之和最短（ap和a'p的距離相等）。這是幾何中一道比較簡單的求最值的問題。求解的思想就是做出對(duì)稱點(diǎn)，將折線轉(zhuǎn)化為直線。同一個(gè)圖形使用不同條件進(jìn)行限制就會(huì)組成不同的圖形。這個(gè)公理還會(huì)以線段加平面圖形的形式進(jìn)行考察。例如，“在正方形abcd中，ab等于4，e是bc的中點(diǎn)，點(diǎn)p是對(duì)角線ac上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么pe+pb的最小值是多少？”還是利用公理的思想進(jìn)行求解，pe+pb的最小值就是正方形對(duì)角線db的長度。這也是“兩點(diǎn)之間，線段最短”的表現(xiàn)。當(dāng)出現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)和線段這幾個(gè)字眼的時(shí)候，就要自覺向這個(gè)公理上靠，很有可能考察的就是這個(gè)公理。

二、利用數(shù)學(xué)性質(zhì)求最值

可以利用數(shù)學(xué)性質(zhì)去求解最值，這里的數(shù)學(xué)性質(zhì)指的是垂線段最短的數(shù)學(xué)性質(zhì)。數(shù)學(xué)性質(zhì)看起來很簡單，但如果要做到合理運(yùn)用就存在一些難度。需要同學(xué)們認(rèn)真分析題目，找到題目的入手點(diǎn)。

我們知道，如果兩條直線相交成直角，那么這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫作另一條直線的垂線，兩條直線的交點(diǎn)叫作垂足。做垂線有兩種方法，第一種是過直線上一點(diǎn)作已知直線的垂線，第二是過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線。第二種也是我們常見的“最值問題”的解題方法。面對(duì)這類題型，我們的解題方法就是，過定點(diǎn)作已知直線的垂線。例如這樣一道典型的例題，“農(nóng)民伯伯在灌溉水田的時(shí)候，需要去河邊取水，在這其中就會(huì)消耗大量的時(shí)間和精力。請(qǐng)同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)一種方法。把河水中的水引到農(nóng)田處，要求渠道的設(shè)計(jì)路線是最短的，能夠節(jié)約資源?！边@時(shí)我們就可以把河水用一條直線l表示，在l的一側(cè)設(shè)置一點(diǎn)p，p點(diǎn)就是農(nóng)民伯伯的農(nóng)田處，過p點(diǎn)作已知直線l的垂線，交點(diǎn)為d，pd就是灌溉渠道的最短路線。因?yàn)榇咕€段最短。這是數(shù)學(xué)題型與生活實(shí)際結(jié)合起來的一個(gè)比較典型的例子。數(shù)學(xué)中的線段對(duì)應(yīng)的就是生活中的路線，其實(shí)同學(xué)們?cè)谡n下也可以多關(guān)注一些生活中的實(shí)際問題。對(duì)中考的數(shù)學(xué)題型進(jìn)行分析，可以發(fā)現(xiàn)其中很多數(shù)學(xué)的考點(diǎn)都是摻雜著實(shí)際問題進(jìn)行考察。目的就是讓同學(xué)們找到數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。這也是數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)中對(duì)學(xué)生的硬性要求，老師和學(xué)生都要提高相關(guān)的重視程度。

三、利用數(shù)學(xué)函數(shù)求最值

求解最值的最后一個(gè)策略就是利用數(shù)學(xué)函數(shù)求最值。如果題目中給出了具體的數(shù)學(xué)函數(shù)，我們可以直接根據(jù)題目條件，限制函數(shù)的范圍，然后求出最大值或者是最小值，如果沒有給出具體的函數(shù)，則需要我們?nèi)?gòu)建一個(gè)函數(shù)模型求解。

函數(shù)有三種表達(dá)方式，一種是解析法，另一種是列表法，還有一種是圖像法。在解題的過程中，我們經(jīng)常使用的是解析法和圖像法。解析法能夠簡明、全面地概括，求出任意自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，而圖像法能夠研究函數(shù)值變化的趨勢(shì)，進(jìn)而研究函數(shù)的性質(zhì)。例如這樣一道題目，“已知直線y=2/3x+4與x軸和y軸分別交于點(diǎn)a和點(diǎn)b，點(diǎn)c和點(diǎn)d分別為線段ab和ob的中點(diǎn)，點(diǎn)p為oa上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么當(dāng)pc+pd值最小時(shí)，p點(diǎn)的坐標(biāo)是多少?！鳖}目中我們已經(jīng)知道了直線的函數(shù)表達(dá)式。我們就可以求出這條直線與x軸和y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，也就是b點(diǎn)和a點(diǎn)的坐標(biāo)。由于c點(diǎn)和d點(diǎn)分別是線段ab和ob的中點(diǎn)。我們可以利用中點(diǎn)的計(jì)算公式，求出c點(diǎn)和d點(diǎn)的坐標(biāo)。設(shè)p點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，o），利用兩點(diǎn)間的距離公式可以表達(dá)出cp+dp這一具體的解析式。然后根據(jù)p點(diǎn)的坐標(biāo)限制，求出距離最小值下p點(diǎn)的坐標(biāo)。這就是利用解析式求解最值的一般解題步驟。分析數(shù)學(xué)考試試卷可以發(fā)現(xiàn)，以函數(shù)形式求解最大值和最小值，通常會(huì)成為試卷的壓軸題目。壓軸題目就意味著難度系數(shù)比較大，對(duì)學(xué)生的綜合考察能力比較高。學(xué)生不僅要具有較強(qiáng)的函數(shù)意識(shí)和圖形意識(shí)，還要學(xué)會(huì)將二者很好地結(jié)合起來進(jìn)行分析。為了更好地解決這類題目，本文建議學(xué)生在課下要多進(jìn)行背記有關(guān)函數(shù)的基本知識(shí)，掌握函數(shù)中的計(jì)算公式和計(jì)算。

總之，幾何問題是初中數(shù)學(xué)中比較困難的一部分，學(xué)生接受起來表現(xiàn)出一定的困難，因此無論是習(xí)題設(shè)計(jì)還是教學(xué)設(shè)計(jì)老師都要給予一定的細(xì)心和耐心，做好初中數(shù)學(xué)中幾何問題的教學(xué)，切實(shí)培養(yǎng)學(xué)生各項(xiàng)能力的發(fā)展，促使學(xué)生成為全面型人才。