一個(gè)中點(diǎn)基本圖形的提煉與應(yīng)用

姜黃飛 沈順良

1 經(jīng)典試題呈現(xiàn)圖1

如圖1，四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，F(xiàn)E的延長線和BA，CD的延長線分別交于G，H.若AB=CD，求證：∠1=∠2

簡解 如圖1，連接AC，取AC中點(diǎn)P，連接EP，F(xiàn)P，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，所以EP，F(xiàn)P分別是△ADC，△ABC的中位線，所以PE

12CD，PF

12AB，所以∠2=∠4，∠1=∠3，又AB=CD，所以PE=PF，所以∠3=∠4，所以∠1=∠2

評(píng)析 遇中點(diǎn)，在三角形中倍長中線和構(gòu)造中位線是常見的解題切入口，本題已知四邊形一組對(duì)邊的兩個(gè)中點(diǎn)，通過連接四邊形ABCD的對(duì)角線AC（連接BD效果相同），轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形，再取AC中點(diǎn)，構(gòu)造中位線，從而實(shí)現(xiàn)將已知邊AB，CD和角∠1，∠2轉(zhuǎn)化聚攏到△EFP中進(jìn)行研究，這是解決有關(guān)中點(diǎn)問題的有效策略.2 基本圖形提煉圖2 圖3圖4 圖5

中點(diǎn)基本圖形：如圖2，四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，連接EF，若已知一組對(duì)邊AB，CD的關(guān)系，如圖3，連接AC，取AC中點(diǎn)，連接EP，F(xiàn)P，得到△EFP（不妨稱其為四邊形的“中點(diǎn)三角形”），則有PE

12CD，PF

12AB，∠EPF的度數(shù)是AB與CD的夾角（或其補(bǔ)角）的度數(shù)，這樣就把已知分散的AB，CD以及它們夾角的關(guān)系放到“中點(diǎn)三角形”△EFP中，轉(zhuǎn)化為解“中點(diǎn)三角形”的問題，特別的，當(dāng)AB=CD時(shí)，“中點(diǎn)三角形”△EFP為等腰三角形（注：改變AB，CD的位置變?yōu)榘妓倪呅稳鐖D4，或是AB，CD相交時(shí)如圖5，可同法構(gòu)造）.

3 基本圖形應(yīng)用3.1 在固定圖形中求線段的長圖6

例1 如圖6，四邊形ABCD中，∠B+∠C=120°，AB=10，CD=6，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，求EF的長

簡解 如圖6，連接BD，取BD中點(diǎn)P，連接PE，PF，則PF

12CD=3，PE

12AB=5，延長EP交BC于點(diǎn)H，則∠PHF=∠ABC，∠PFH=∠C，所以∠EPF=∠PHF+∠PFH=∠ABC+∠C=120°，所以∠FPH=60°，過F作FG⊥EH與點(diǎn)G，則在△PFG中，PG=12PF=32，F(xiàn)G=323，所以EG=132，所以EF=EG2+FG2=1322+3322=7

評(píng)析 此題為中點(diǎn)基本圖形的直接應(yīng)用，通過構(gòu)造“中點(diǎn)三角形”△PEF，將分散的條件AB，CD以及它們的夾角關(guān)系轉(zhuǎn)移到△PEF中，解△PEF即可，此題若改變數(shù)據(jù)，如改為AB=CD=2，則此時(shí)△PEF是一個(gè)頂角120°的等腰三角形，易得EF=3，也可改變角度的和如90°，135°，150°等初中可解的角度，從而對(duì)試題進(jìn)行變式改編

例1 如圖6，四邊形ABCD是邊長為6的正方形，點(diǎn)E在AB上，BE=4，過點(diǎn)E作EF∥BC，分別交BD，CD與點(diǎn)G，F(xiàn)，若M，N分別是DG，CE的中點(diǎn)，求MN的長

簡解 如圖6，連接CG，取CG中點(diǎn)P，連接PM，PN，則PN

12EG，PM

12CD=3，又可知EG=BE=4，所以PN=2，又由題意可知EF⊥CD，所以NP⊥MP，所以MN=22+32=13圖6 圖7

評(píng)析 此題暗藏中點(diǎn)基本圖形，如圖7，將基本圖形從原圖中分離出來，不難發(fā)現(xiàn)，仍然可以通過連接對(duì)角線CG（也可以是DE，效果相同），取中點(diǎn)構(gòu)造一個(gè)新的三角形求解.3.2 求解線段的位置和數(shù)量關(guān)系

例2 如圖8，在△ABC中，AB=AC，E，F(xiàn)在AB邊上，G，H在AC邊上，EF=GH，M，N分別是EG，F(xiàn)H的中點(diǎn)，連接MN，判斷MN與BC的位置關(guān)系，并說明理由

簡解 如圖8，連接FG，取FG中點(diǎn)D，連接DM，DN，則DM

12EF，DN

12GH，因?yàn)镋F=GH，所以DM=DN，過點(diǎn)D作PT⊥MN，交AC于點(diǎn)T，交AB于點(diǎn)P，則∠MDT=∠NDT，又由DM∥EF，DN∥GH得∠NDT=∠ATP，∠MDT=∠APT，所以∠ATP=∠APT，所以可得PT∥BC，所以MN⊥BC圖8 圖9

評(píng)析 本題也是典型的中點(diǎn)基本圖形的應(yīng)用，是對(duì)“當(dāng)對(duì)邊相等時(shí)，得到的中點(diǎn)三角形是等腰三角形”這個(gè)結(jié)論的進(jìn)一步挖掘，相等對(duì)邊中點(diǎn)連線的中垂線與另一組對(duì)邊所在直線圍成的三角形是等腰三角形.如圖9，當(dāng)交換一組點(diǎn)的位置時(shí)，EG，F(xiàn)H中點(diǎn)的連線MN∥BC，這是基本圖形的一種變式，解決的方法策略不變，連接GF，取中點(diǎn)P，此時(shí)的中點(diǎn)三角形△PMN是等腰三角形，讀者可以根據(jù)筆者的圖示完成證明，這里不再贅述.圖11

例4 如圖11，以△ABC的兩邊AC，BC分別向AB邊的同側(cè)作等邊△ACF和等邊△BCE，連接FE，點(diǎn)M，N分別是AB，CE的中點(diǎn)，連接MN，求證：FE=2MN

簡解 如圖11，當(dāng)∠ACB≠60°時(shí)，取BC中點(diǎn)D，連接DM，DN，則DM

12AC，DN

12BE，又△ACF和△BCE都是等邊三角形，所以DM=12FC，DN=12CE，又DM∥AC，DN∥BE，所以∠MDB=∠ACB，∠NDB=120°，所以∠ECF=∠NDM，所以△ECF∽△NDM，所以FE=2MN;當(dāng)∠ACB=60°時(shí)，E，C，F(xiàn)共線，N，D，M共線，F(xiàn)E=2MN顯然成立

評(píng)析 此題同樣存在中點(diǎn)基本圖形，只是對(duì)角線BC已經(jīng)存在，只需取BC中點(diǎn)即可，這里構(gòu)造的中點(diǎn)三角形，通過等邊三角形相等邊的轉(zhuǎn)化，得到與中點(diǎn)三角形相似的三角形，從而得到對(duì)應(yīng)線段的數(shù)量關(guān)系.3.3 求解角的度數(shù)

例3 在△ABC中，∠ABC=50°，D為射線AB上一點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)B不重合），E為邊BC上一點(diǎn)，且AD=CE，連接DE，F(xiàn)，G分別為DE，AC的中點(diǎn)，射線GF交邊BC于點(diǎn)H，則∠FHE的度數(shù)為圖10 圖11

簡解 （1）當(dāng)D在邊AB上時(shí)，如圖10，連接AE，取AE中點(diǎn)P，連接PG，PF，則PG

12EC，PF

12AD，所以∠GPE=∠AEB，∠FPE=∠BAE，又∠ABC=50°，所以∠FPG=∠GPE+∠FPE=∠AEB+∠BAE=130°，因?yàn)锳D=CE，所以PG=PF，所以∠PFG=∠PGF=25°，所以∠FHE=∠PGF=25°;

（2）當(dāng)D在邊AB的延長線上時(shí)，①如圖11，當(dāng)點(diǎn)H在E的左邊時(shí)，∠FHE=155°;②如圖12，當(dāng)點(diǎn)H在E的右邊時(shí)，∠FHE=25°.這里的說理不再贅述

綜上，∠FHE的度數(shù)為25°或155°圖12

評(píng)析 由于題目沒給出圖形，D為射線AB上一點(diǎn)，所以點(diǎn)D可以在邊AB上，也可以在邊AB的延長線上，需要分類討論，而且點(diǎn)D在邊AB的延長線上時(shí)，還需討論點(diǎn)H和E的位置，所以較為復(fù)雜，但究其本質(zhì)還是中點(diǎn)四邊形基本圖形的應(yīng)用，這里的中點(diǎn)三角形是等腰三角形，結(jié)合平行和已知角度，不難求解.3.4 在動(dòng)態(tài)變換中求解定值或最值

例4 如圖13，邊長為2的正方形EFGH在邊長為6的正方形ABCD所在平面內(nèi)移動(dòng)，始終保持EF∥AB，線段CF，DH的中點(diǎn)分別為M，N，則線段MN=

簡解 如圖13，連接CG，取CG中點(diǎn)P，連接PM，PN，則PM

12FG=1，PN∥CD∥HG，PN=12（HG+CD）=4，又∠MPC=∠FGC，∠NPC=∠HGC，所以∠MPN=∠FGH=90°，所以在Rt△MPN中，MN=12+42=17圖13 圖14

評(píng)析 此題若連接FH，則可以分離出中點(diǎn)基本圖形，如圖14，此題按中點(diǎn)三角形的基本圖形可以連接CH（或DF），取CH（或DF）的中點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)夾135°的鈍角三角形，解這個(gè)三角形可求解MN.這里筆者選取連接CG，取CG的中點(diǎn)，構(gòu)造中點(diǎn)三角形△MPN，此中點(diǎn)三角形是一個(gè)直角三角形更易求解，任意改變正方形EFGH的位置，中點(diǎn)三角形△MPN始終存在，動(dòng)中有定，MN為定值圖15

例5 如圖15，正方形ABCD與正方形CEFG，繞著點(diǎn)C進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)M點(diǎn)N分別是AF，BE的中點(diǎn)，若AB=4，CE=2，求MN的最大值和最小值

簡解 如圖15，連接AE，取AE中點(diǎn)P，連接PM，PN，則PM=12EF=1，PN=12AB=2，所以2-1≤MN≤2+1，所以1≤MN≤3，所以在兩個(gè)正方形旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)M，P，N三點(diǎn)共線時(shí)，MN取大最大值為3和最小值1

評(píng)析 此題兩個(gè)正方形在繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，對(duì)邊AB，EF的夾角是變化的角，對(duì)應(yīng)中點(diǎn)三角形的∠MPN是不確定的角，所以MN的長也隨著旋轉(zhuǎn)而改變，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)P在線段MN上時(shí)取到最大值，當(dāng)點(diǎn)P在NM的延長線上時(shí)取到最小值.此類試題因角度的不確定，從而將中點(diǎn)基本圖形引入最值問題

綜上，在圖形教學(xué)中要重視基本圖形，會(huì)從復(fù)雜圖形中分解出基本圖形，對(duì)基本圖形進(jìn)行分析、抽象、提煉與變式，從而找到解題的入口，提高解題的效率.以上就是筆者從一道經(jīng)典試題出發(fā)，提煉出中點(diǎn)基本圖形及其變式圖形，構(gòu)造中點(diǎn)三角形，從而挖掘得到基本圖形的相關(guān)性質(zhì)，對(duì)解此類試題指明了方向，起到以題會(huì)類的效果.

參考文獻(xiàn)

[1]姜黃飛.構(gòu)造基本圖形解法自然生成[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2016（C2）：68-69.

[2]姜黃飛.心中有模型解法自然來[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（初中版），2016（07）：39-42

作者簡介 姜黃飛（1975—），男，中學(xué)高級(jí)教師，主要從事數(shù)學(xué)教育和試題研究.發(fā)表論文多篇，嘉興市數(shù)學(xué)學(xué)科名師，浙江省褚水林名師工作室學(xué)科帶頭人，參加市中考命題和承擔(dān)期末統(tǒng)考命題.