對一道高考題的研究

彭光焰

(湖北省廣水市第一高級中學(xué) 432700)

2017年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷21題D小題是：

題目已知a,b,c,d為實(shí)數(shù)，且a2+b2=4,c2+d2=16,證明：ac+bd≤8.

筆者參閱文獻(xiàn)[1]、[2]、[3]，經(jīng)過探索，得出不同于原試卷所提供的答案的九種不同證法.

一、拓展解法

分析1 比較法、綜合法和分析法是證明不等式最基本最常用最重要的方法.本題的特點(diǎn)是字母較多、條件較多，因此用分析法、比較法和綜合法來證明時，要注意變換的技巧和靈活處理已知條件.

證法1:綜合法

因為a,b,c,d都是實(shí)數(shù)，所以

又因為a2+b2=4,c2+d2=16.

即ac+bd≤8.

證法2:比較法

證法3:分析法

當(dāng)ac+bd≤0時，原不等式顯然成立.

當(dāng)ac+bd>0時，要證ac+bd≤8，只需證明(ac+bd)2≤64,

即只需證明a2c2+2abcd+b2d2≤64.①

由于a2+b2=4,c2+d2=16，因此①式等價于

a2c2+2abcd+b2d2≤(a2+b2)(c2+d2).②

將②式展開、化簡，得(ac-bd)2≥0.③

因為a,b,c,d都是實(shí)數(shù)，所以③式成立，即①式成立，原命題得證.

分析2 觀察已知條件和要證的結(jié)論，我們可以利用柯西不等式來證明此題，江蘇省提供參考答案就是利用柯西不等式來證明的.

證法4:柯西不等式法

由柯西不等式可得：(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).

因為a2+b2=4,c2+d2=16，所以(ac+bd)2≤64，因此ac+bd≤8.

分析3 受證法2的啟發(fā)，我們可以得到恒等變形法.

證法5:恒等變形法

分析4 由題目已知條件a2+b2=4,c2+d2=16，我們可以聯(lián)想到sin2α+cos2α=1，這啟發(fā)我們用三角代換法來證明此不等式.

證法6:三角代換法

由已知條件我們可設(shè)a=2sinα,b=2cosα,c=4sinβ,d=4cosβ，則ac+bd=8sinαsinβ+8cosαcosβ=8(sinαsinβ+cosαcosβ)=8cos(α-β)≤8.所以ac+bd≤8.

分析5 平面向量是高中數(shù)學(xué)必修內(nèi)容，在平面向量中有著名不等式，|a·b|≤|a||b|，這為我們證明不等式提供了一條途徑.從該題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)來看，我們易聯(lián)想到|a·b|≤|a||b|.

證法7:向量法

證法8:幾何法

分析7：利用復(fù)數(shù)的有關(guān)知識，我們也可以證明此不等式.

證法9:復(fù)數(shù)法

設(shè)z1=a+bi,z2=c+di,又|z1|+|z2|≥|z1+z2|，

又因為a2+b2=4,c2+d2=16

分析8 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗教科書數(shù)學(xué)選修4-5A版不等式選講介紹了二維形式的三角不等式，這又為我們解決此問題提供了一種方法.

證法10:二維形式的三角不等式法

由二維形式的三角不等式法可得

下同證法9.

我們又提供了九種證法，每一種證法所用的知識都是高中數(shù)學(xué)課本所包含的，教師在課堂上教學(xué)時對有些例題進(jìn)行一題多解，課后教師要求學(xué)生對適宜一題多解的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行一題多解. 如何判斷解題方法的合理性和科學(xué)性，主要根據(jù)題設(shè)和結(jié)論來判定，我們在選擇解題方法時，要認(rèn)真分析，辯證看待，全面考慮，科學(xué)決策.

二、拓展題目

著名科學(xué)家愛因斯坦說：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要，解決問題也許僅是一個數(shù)學(xué)上或?qū)嶒炆系募寄芏?，而提出新的問題，新的可能性，從新的角度去看舊的問題，都需要有創(chuàng)造性的想像力.”因此，讀書時，不僅要多動腦筋，勤于思考，不僅要懂得如何處理問題，解決問題，還要懂得如何發(fā)現(xiàn)新問題，提出新問題. 波利亞(G·Polya)說：“好問題同某種蘑菇有些相似，他們大都成堆的生長，找到一個以后，你應(yīng)當(dāng)在周圍找找，很可能在附近就有幾個.”我們對例習(xí)題進(jìn)行一題多解的探究后，還應(yīng)進(jìn)一步思考，該題是否適合一題多變，通過探究，得出了下列新題.

新題1 已知a,b,c,d為實(shí)數(shù)，且a2+b2=4,c2+d2=16，證明ac+bd≥-8.

新題2 已知a,b,c,d為實(shí)數(shù)，且a2+b2=4,c2+d2=16，證明|ac+bd|≤8.

新題3 已知a,b,c,d為實(shí)數(shù)，且a2+b2=4,c2+d2=16，證明|ac-bd|≤8.

新題4 已知a,b,c,d為實(shí)數(shù)，且a2+b2=m2,c2+d2=n2,m>0,n>0,，證明|ac+bd|≤mn.

新題5 已知a,b,c,d為實(shí)數(shù)，且a2+b2=m2,c2+d2=n2,m>0,n>0,，證明|ac-bd|≤mn.

新題7 已知a1,a2,…,an;b1,b2,…,bn為實(shí)數(shù),

新題8 已知a,b,c,d為實(shí)數(shù)，且a2+b2=4,c2+d2=16,ab+bd=8,證明ac-bd=0.

三、拓展體驗

在一題多解和多變的拓展中，學(xué)生們可以看到不同知識塊間的相關(guān)性(有利于形成知識鏈)，還可以看到不同人思維的差異(從別人的思維中獲得啟迪)，還可以看到建立在獨(dú)立思考基礎(chǔ)上的合作交流意義重大. 在一題多解，一題多變的拓展中，學(xué)生們看到了一題多法，多題一法，看到了特殊與一般的轉(zhuǎn)化. 在拓展的過程中，學(xué)生們的情感體驗也在變化：或感嘆于我怎么沒想到，或驚嘆數(shù)學(xué)的神奇，或陶醉于心理的積極暗示——下一次，我也要多想想，多試試. 不難看出，這樣的拓展是對已有資源更充分的利用，對學(xué)生探究意識和能力的形成具有很大的促進(jìn)作用.