利用對(duì)數(shù)平均變形妙解極值點(diǎn)偏移問(wèn)題

高振寧 徐加華

(山東省新泰市第一中學(xué) 271200)

筆者在研究極值點(diǎn)偏移問(wèn)題時(shí)有兩個(gè)總結(jié)：(1)此類(lèi)問(wèn)題大都以ex或lnx為載體，(2)此類(lèi)問(wèn)題考生感覺(jué)計(jì)算量大且無(wú)從下手. 賴淑明老師發(fā)表的《從對(duì)數(shù)平均談極值點(diǎn)偏移問(wèn)題》，提出了對(duì)極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的對(duì)數(shù)平均處理策略.筆者進(jìn)行了深入研究，為什么賴?yán)蠋熤v解的問(wèn)題不論是含有ex項(xiàng)還是lnx項(xiàng)都必須轉(zhuǎn)成對(duì)數(shù)平均解決呢？本質(zhì)上指數(shù)與對(duì)數(shù)是可以相互轉(zhuǎn)化的，能不能利用指數(shù)的形式來(lái)解決此類(lèi)問(wèn)題？

筆者試圖對(duì)賴?yán)蠋煹慕鉀Q問(wèn)題的方法進(jìn)行一下改造.下面筆者就解決含有ex項(xiàng)的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題介紹一下自己的淺見(jiàn)，供大家參考.

一、極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的概括

二、極值點(diǎn)偏移的本質(zhì)

三、對(duì)數(shù)平均的定義與變形

兩個(gè)正數(shù)a和b的對(duì)數(shù)平均定義：

筆者試著對(duì)含有ex的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題用對(duì)數(shù)平均的變形式進(jìn)行求解.對(duì)以下三道題目進(jìn)行求證，獲得了以下過(guò)程.

四、對(duì)數(shù)平均變形的應(yīng)用

例1設(shè)函數(shù)f(x)=ex-ax+a(a∈R)，其圖象與x軸交于A(x1,0),B(x2,0)兩點(diǎn)，且x1

(1)求a的取值范圍；

(3)略.

證明由(1)知x=lna是y=f(x)的極值點(diǎn)，a>e2且0

例2已知函數(shù)f(x)=xe-x(x∈R).

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值；

(2)略；

(3)如果x1≠x2,且f(x1)=f(x2)，證明x1+x2>2.

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明：當(dāng)f(x1)=f(x2)(x1≠x2)時(shí)，x1+x2<0.

證明(1)略.(2)由(1)知y=f′(x)在R上遞減，且f′(0)=0.x=0是函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn).y=f(x)在(-,0)上單調(diào)遞增，在(0,+)上單調(diào)遞減.x1<00)則

?(x1+x2)[(x1-1)(x1-1)+2]<0

?x1+x2<0.

所以求證成立.

三道例題的成功轉(zhuǎn)化，驗(yàn)證了含有ex的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)平均變形式的可行性.至此，我們發(fā)現(xiàn)，利用對(duì)數(shù)平均變形式，是解決含有ex的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題解題一種最佳策略.

五、轉(zhuǎn)化關(guān)鍵

含有ex項(xiàng)極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵有如下幾步：

其實(shí)，解決極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的方法是多樣的、靈活的，實(shí)質(zhì)上都是解決兩個(gè)變?cè)牟坏仁絾?wèn)題.文[1]中賴?yán)蠋煹慕夥ㄊ菬o(wú)論含ex項(xiàng)或lnx項(xiàng)的問(wèn)題都向?qū)?shù)平均不等式轉(zhuǎn)化，但是實(shí)際上含有ex項(xiàng)極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，完全可以利用對(duì)數(shù)平均的變形式解決.利用對(duì)數(shù)平均還是對(duì)數(shù)平均變形式這兩種方法各有優(yōu)劣，不同的題目使用兩種方法的簡(jiǎn)繁程度不一致，本文中例3用對(duì)數(shù)平均變形式的解法尋找x1,x2的相關(guān)結(jié)論計(jì)算量比較大，利用對(duì)數(shù)平均的難度在于合理等價(jià)變形.

至此，我們擁有了兩個(gè)不等式來(lái)解決極值點(diǎn)偏移的問(wèn)題，含有ex項(xiàng)極值點(diǎn)偏移問(wèn)題利用對(duì)數(shù)平均變形式解決，含有l(wèi)nx項(xiàng)極值點(diǎn)偏移問(wèn)題用對(duì)數(shù)平均來(lái)解決.至于極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，用那種均值不等式更好，值得我們進(jìn)一步作深入的研究.