數(shù)形結(jié)合思想在近年來高考中的應用

王昌林 徐 易

(四川省成都市四川師范大學附屬第三實驗中學 611331)

數(shù)形結(jié)合思想貫穿于整個高中數(shù)學，而且在各類數(shù)學問題中都隱含了數(shù)形結(jié)合思想.大量實踐表明，打破學生的思維定勢是數(shù)形結(jié)合思想在解題中的最大價值，能夠幫助學生數(shù)學核心素養(yǎng)的養(yǎng)成，具體體現(xiàn)在以下幾個方面：

1.培養(yǎng)和提高學生的直覺思維能力；

2.培養(yǎng)和提高學生的抽象思維能力；

3.培養(yǎng)和提高學生的辯證思維能力；

4.培養(yǎng)和提高學生的發(fā)散性思維能力；

5.培養(yǎng)和提高學生的創(chuàng)造性思維能力.

伴隨著新課程標準的推行，在高考試題中出現(xiàn)了越來越多的需要用數(shù)形結(jié)合方法解決的題型，這個現(xiàn)象明確的說明了用數(shù)與形有效結(jié)合的方法能夠提升學生的數(shù)學思維能力，可以幫助學生分析題意找到解題思路，進而達到高效的解題成果.

筆者將以近年來高考試題為藍本，將數(shù)學結(jié)合思想在高考中的運用加以論述.

一、數(shù)形結(jié)合思想在集合中的應用

應用1 (2018年 全國Ⅱ卷(理) 第2題) 已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z}，則A中元素的個數(shù)為( ).

評注正確運用數(shù)形結(jié)合思想將問題轉(zhuǎn)化，把集合的計算問題有效地轉(zhuǎn)化為形象直觀的圖形，將集合語言轉(zhuǎn)化為圖形語言，在解題過程中應該盡量使用數(shù)形結(jié)合思想，可以提高數(shù)學解題的效率.

二、數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)中的應用

評注根據(jù)試題所給已知條件將式子進行奇偶性的判斷，再利用數(shù)形結(jié)合思想解題.

三、數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)中的應用

其中所有正確結(jié)論的編號是( ).

A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③

解析準確作出f(x)=sin|x|+|sinx|的函數(shù)圖象(如圖2所示)，則可根據(jù)圖象得到結(jié)論①④正確.

評注本題運用數(shù)形結(jié)合的思想進行求解；在作出正確圖象的前提下，再來看待本題中所需判斷的4個結(jié)論也就變得直觀與簡單，答案都可直接從圖3中找出，十分的快捷與準確.

四、數(shù)形結(jié)合思想在不等式中的應用

應用4(2019 北京卷(理) 第5題)若x，y滿足|x|≤1-y，且y≥-1，則3x+y的最大值為( ).

A.-7 B.1

C.5 D.7

評注本題是常見的線性規(guī)劃問題的基本題型，根據(jù)解決線性規(guī)劃問題的“畫、移、解”等一般步驟可以求解得到相應的解答.題目本身的難度不是很大，但是在沒有圖形的支撐的情況下進行求解還是比較的困難.

五、數(shù)形結(jié)合思想在平面向量中的應用

評注平面向量問題中，在便于建立坐標系的情況下，運用數(shù)形結(jié)合的思想，使用坐標法對問題進行求解更為直觀快捷.

六、數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)列中的應用

應用6(2019 北京卷(理) 第10題)設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a2=-3，S5=-10，則a5為____；Sn的最小值為____.

評注數(shù)列是特殊的函數(shù)，它是由很多孤立的點構(gòu)成的.所以在解決很多數(shù)列問題時都需要合理利用數(shù)形結(jié)合思想，對于數(shù)列最值問題如果只從數(shù)量關系去思考問題，很難找到解決問題的突破點，借助于圖象單調(diào)性判斷既形象又直觀，而且還大大提高了解題的準確性.

七、數(shù)形結(jié)合思想在坐標系與參數(shù)方程中的應用

數(shù)形結(jié)合思想貫穿于整個高中數(shù)學，而且在各類數(shù)學問題中都隱含了數(shù)形結(jié)合思想.在具體的數(shù)學題中，利用數(shù)形結(jié)合思想解題，將困難的問題轉(zhuǎn)化為容易的問題、將繁瑣的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題、將抽象的問題轉(zhuǎn)化為直觀的問題等方式進行解題，達到事半功倍的解題效率.