隧道變形引起的鋼彈簧浮置板軌道變形與脫空分析

程霖，楊成永，馬文輝，車敬珂

隧道變形引起的鋼彈簧浮置板軌道變形與脫空分析

程霖1，楊成永1，馬文輝1，車敬珂2

(1. 北京交通大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，北京 100044；2. 北京市市政工程設(shè)計(jì)研究總院有限公司，北京 100082)

穿越施工引起既有隧道及其上的軌道結(jié)構(gòu)產(chǎn)生變形，給列車運(yùn)營安全帶來不利影響。將鋼彈簧浮置板軌道視為彈性地基梁，建立鋼彈簧浮置板軌道變形的控制微分方程。采用傅里葉級(jí)數(shù)法求解微分方程，得到關(guān)于未知級(jí)數(shù)系數(shù)的線性方程組，進(jìn)而給出求解線性方程組的迭代方法?；诒疚姆椒ǚ治鲣搹椈筛≈冒遘壍琅c隧道底板相互作用規(guī)律。研究結(jié)果表明：浮置板自身的抗彎剛度使其與隧道底板存在變形差異，進(jìn)而與隧道底板產(chǎn)生脫空；隨著隧道底板變形的增大，軌道結(jié)構(gòu)變形及脫空范圍均增大；隨著沉降槽寬度的增大，軌道變形與隧道底板逐漸趨近，脫空范圍呈先增大后減小的趨勢；鋼彈簧剛度越大，間距越小，軌道與隧道底板越容易產(chǎn)生脫空，脫空范圍越大。研究成果可為穿越施工中既有線軌道結(jié)構(gòu)的安全評價(jià)提供理論依據(jù)。

穿越施工；鋼彈簧浮置板軌道；變形；脫空；傅里葉級(jí)數(shù)解

隨著城市軌道交通建設(shè)規(guī)模的擴(kuò)大，不可避免出現(xiàn)新建地鐵隧道穿越既有隧道的現(xiàn)象[1]。新建隧道施工引起既有隧道底板及其上的軌道結(jié)構(gòu)產(chǎn)生變形[2?4]，進(jìn)而影響既有線的運(yùn)營安全。軌道結(jié)構(gòu)與隧道底板不是一個(gè)整體，在新建隧道施工影響下，兩者變形存在差異，甚至產(chǎn)生脫空。例如，北京地鐵5號(hào)線下穿地鐵2號(hào)線施工過程中，既有2號(hào)線道床板與隧道底板在變形縫兩側(cè)產(chǎn)生脫空，最大脫開值達(dá)12.7 mm[5]。然而，目前在穿越工程軌道結(jié)構(gòu)力學(xué)計(jì)算時(shí)，大多將既有軌道與隧道底板變形視為等同，忽略兩者的相互作用[6?7]，這樣得到的計(jì)算結(jié)果并不能反映實(shí)際情況。常見的軌道結(jié)構(gòu)計(jì)算模型包含彈性地基梁模型、彈性地基梁?板模型和梁體模型3類。張群[6]建立了雙塊式無砟軌道的彈性地基梁?板有限元模型，分析了道床板和支承層的受力特性。趙坪銳等[7]建立了無砟軌道的彈性地基梁有限元模型，分析了梁端位移、梁端懸臂長度等因素對扣件系統(tǒng)受力的影響。孫璐等[8]分別采用彈性地基疊合梁模型、彈性地基梁?板模型、梁體模型3種模型計(jì)算了板式無砟軌道的受力情況。以上計(jì)算模型描述了軌道結(jié)構(gòu)各部分之間的關(guān)系，但均未對軌道與下伏支承結(jié)構(gòu)的相互作用問題進(jìn)行研究。軌道與隧道底板相互作用問題具有復(fù)雜性。軌道與隧道底板產(chǎn)生變形差異后可能出現(xiàn)脫空區(qū)，軌道在脫空區(qū)和接觸區(qū)承擔(dān)的荷載不同，目前尚無有效的理論方法能夠考慮軌道與隧道底板的脫空。本文針對城市軌道交通中應(yīng)用較為廣泛的鋼彈簧浮置板軌道建立理論分析模型。將浮置板道床視為彈性地基梁，建立了軌道變形控制微分方程，引入“相當(dāng)荷載”[9]模擬相鄰浮置板間的剪力鉸，引入階梯函數(shù)描述浮置板道床與隧道底板的脫空。用傅里葉級(jí)數(shù)解法對控制微分方程進(jìn)行了求解。將本文方法的計(jì)算結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果進(jìn)行對比，驗(yàn)證了本文方法的正確性，進(jìn)一步討論了鋼彈簧浮置板軌道與隧道底板的相互作用規(guī)律。

1 控制微分方程及邊界條件

鋼彈簧浮置板軌道由鋼軌、扣件、浮置板、鋼彈簧隔振器、剪力鉸等部件構(gòu)成。鋼軌通過扣件固定在浮置板上，浮置板由鋼彈簧隔振器支承在隧道底板上，相鄰浮置板由剪力鉸相連。剪力鉸具有較大的徑向剛度，可避免鋼軌受到過大的剪力[10]。

將地鐵隧道開挖引起的既有隧道變形作為荷載施加到軌道結(jié)構(gòu)上，并采取以下假設(shè)：

1) 浮置板道床與鋼軌變形一致，兩者簡化為單層彈性地基梁，變形服從平截面假定，基底變形遵從Winkler假定。2) 鋼彈簧隔振器提供的點(diǎn)支承剛度等效為連續(xù)支承剛度。3) 相鄰浮置板通過剪力鉸鉸接，剪力鉸不傳遞彎矩。

由以上假設(shè)得到理論計(jì)算模型如圖1所示。模型中軌道結(jié)構(gòu)關(guān)于軸對稱，計(jì)算范圍是[?，]，分布荷載?()為對稱荷載。

圖1 鋼彈簧浮置板軌道計(jì)算模型

軌道結(jié)構(gòu)變形的控制微分方程為[11? 12]

式中：為軌道結(jié)構(gòu)的彈性模量；為軌道結(jié)構(gòu)橫截面的慣性矩；()為軌道結(jié)構(gòu)豎向變形，向上為正；為沿軌道軸向的坐標(biāo)；()為右端荷載，向上為正。

軌道結(jié)構(gòu)兩端位于隧道開挖的影響范圍之外，軌道結(jié)構(gòu)兩端(=±)轉(zhuǎn)角為0，即

2 相當(dāng)荷載和階梯函數(shù)

2.1 相當(dāng)荷載

傳統(tǒng)彈性地基梁法只能求解連續(xù)剛度梁，不能考慮鉸接，因此本文在剪力鉸兩側(cè)的極小區(qū)域內(nèi)施加“相當(dāng)荷載”。相當(dāng)荷載為分布荷載，可簡化為一對大小相等，方向相反的力偶。相當(dāng)荷載自身構(gòu)成平衡力系，不影響整體的平衡，但能夠迫使梁轉(zhuǎn)角在相當(dāng)荷載施加處產(chǎn)生突變，如圖2所示[9]。

圖2 相當(dāng)荷載使梁產(chǎn)生相對轉(zhuǎn)角(h為無限趨近于0的數(shù))

相當(dāng)荷載的表達(dá)式為

式中：q()為相當(dāng)荷載，向上為正；Δ為相對轉(zhuǎn)角，以鉸接點(diǎn)右側(cè)梁段相對于左側(cè)逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正；″(0)為脈沖函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)；0為鉸接點(diǎn)位置。

相當(dāng)荷載相當(dāng)于在鉸接處施加了額外彎矩，故鉸接處有以下荷載邊界條件

式中：M(0)為q()在=0處產(chǎn)生的額外彎矩。

2.2 階梯函數(shù)

隧道底板發(fā)生豎向變形前，在鋼軌、浮置板道床重力的作用下，鋼彈簧產(chǎn)生初始?jí)嚎s量。隧道底板產(chǎn)生豎向變形后，浮置板道床與隧道底板沉降差超過鋼彈簧的初始?jí)嚎s量，鋼彈簧恢復(fù)原長，不再提供支承力，本文稱之為軌道與隧道底板產(chǎn)生脫空。在脫空區(qū)，軌道結(jié)構(gòu)只受到重力作用；在接觸區(qū)，軌道結(jié)構(gòu)受到重力和地基反力的共同作用。

綜上，式(1)中右端荷載()包含軌道自重、地基支承反力和相當(dāng)荷載，可寫為

式中：為重力加速度；為軌道線密度；為浮置板道床寬度；為地基系數(shù)(若鋼彈簧剛度為k，間距為l，則=k/(bl))；()為軌道與隧道底板豎向位移差，若隧道底板位移為()，則()=()?()。在式(5)中引入階梯函數(shù)：

將式(5)代入式(1)，則控制微分方程可寫為：

軌道與隧道底板的脫空點(diǎn)為函數(shù)()的零點(diǎn)。每個(gè)脫空區(qū)間包含2個(gè)端點(diǎn)，因此()的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為脫空區(qū)間個(gè)數(shù)的2倍。由于荷載和結(jié)構(gòu)的對稱性，()關(guān)于軸對稱，()的正根個(gè)數(shù)正好等于脫空區(qū)間個(gè)數(shù)。若軌道與隧道底板存在個(gè)脫空區(qū)，則()在區(qū)間[0,]上的正根從左到右依次為1，2，…，e，式(6)在區(qū)間[0,]上可寫為如下2種形式：

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，

3 傅里葉級(jí)數(shù)解法

3.1 未知函數(shù)的級(jí)數(shù)展開

式(7)中，軌道結(jié)構(gòu)變形()和階梯函數(shù)()為未知函數(shù)。

將()展開為余弦級(jí)數(shù)，即：

式中：0和a為待求的傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)。

將()在[?,]內(nèi)展開成余弦級(jí)數(shù)，即：

式中：0和H為傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)。

根據(jù)式(8)和式(9)，若軌道與隧道底板存在個(gè)脫空區(qū)間，有

3.2 已知函數(shù)的級(jí)數(shù)展開

式(4)和式(7)中，隧道底板變形()，脈沖函數(shù)(x?x)及其二階導(dǎo)數(shù)(x?x)為已知函數(shù)。

假定隧道底板變形符合Peck曲線[13]，即：

式中：0為隧道底板最大變形，發(fā)生在=0處；為沉降槽寬度。

將()展開為余弦級(jí)數(shù)，即：

式中：0和b為傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)。

脈沖函數(shù)的表達(dá)式為

將(0)展開為余弦級(jí)數(shù)，即：

式中：0和δ為傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)。

將(0)展開為余弦級(jí)數(shù)，即：

將上述已知函數(shù)的級(jí)數(shù)系數(shù)列于表1。

3.3 系數(shù)方程組及其求解

根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù)的乘法法則計(jì)算式(7)中階梯函數(shù)()與()及()的乘積。

表1 已知函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)

()與()乘積()的余弦級(jí)數(shù)為：

式中：0和β為傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)；|×|表示絕對值。

()與()乘積()的余弦級(jí)數(shù)為：

式中：0和α為傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)。

將式(10)，(18)，(19)，(22)，(23)和(24)代入式(7)，比較系數(shù)并取級(jí)數(shù)前項(xiàng)，可得線性方程組：

式(25)即為確定待定系數(shù)0和a的方程組，包括+1個(gè)方程，但含有0~a，1~e以及Δ共++2個(gè)未知數(shù)，需要進(jìn)行迭代求解。

首先令相對轉(zhuǎn)角Δ=0，先迭代脫空。第1次迭代假定軌道與隧道底板不產(chǎn)生脫空，可通過式(25)求得系數(shù)0(1)~a(1)(括號(hào)中數(shù)字代表迭代次數(shù))；將0(1)~a(1)代入式(10)，求得()零點(diǎn)的第1次迭代值1(1)~e(1)；第2次迭代將1(1)~e(1)代入式(25)求得0(2)~a(2)，進(jìn)而通過式(10)計(jì)算得到()零點(diǎn)的第2次迭代值1(2)~e(2)；以此類推直至前后2次迭代計(jì)算的()零點(diǎn)符合精度要求為止。

脫空迭代完成后，迭代轉(zhuǎn)角Δ。此時(shí)()零點(diǎn)1~e為已知。將式(10)和(17)代入式(4)，得到如下的轉(zhuǎn)角計(jì)算公式：

將脫空迭代完成的0~a代入式(26)計(jì)算轉(zhuǎn)角的第1次迭代值Δ(1)；將Δ(1)代入式(25)以計(jì)算系數(shù)并進(jìn)一步通過式(26)計(jì)算轉(zhuǎn)角的第2次迭代值Δ(2)；重復(fù)迭代直至前后2次迭代計(jì)算的轉(zhuǎn)角符合精度要求為止。

迭代完成后，將系數(shù)0~a代入式(10)即可求得軌道變形。軌道結(jié)構(gòu)的實(shí)際彎矩(使梁下側(cè)受拉為正)和剪力(使截面右側(cè)梁段產(chǎn)生順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正)要去除相當(dāng)荷載的影響。由彎矩、剪力與豎向位移的微分關(guān)系可得如下的計(jì)算公式：

4 算例驗(yàn)證和參數(shù)分析

用MATLAB編寫計(jì)算程序，求解方程組(25)采用LU分解法，求解()零點(diǎn)采用牛頓迭代法。傅里葉級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)取200項(xiàng)，即方程組(25)中=200。

單塊浮置板長度為30 m。當(dāng)浮置板中部位于隧道底板最大變形處時(shí)(0=±15 m)，模型取3塊浮置板，總長為90 m(=45 m)；當(dāng)剪力鉸位于隧道底板最大變形處時(shí)(0=0)，模型取2塊浮置板，總長為60 m(=30 m)。

鋼軌線密度為60 kg/m，彈性模量為210 GPa，截面慣性矩為3.217×10?5m4；鋼彈簧剛度為8 kN/mm，間距為1.2 m；浮置板密度為2 420 kg/m3，彈性模量為30 GPa，寬度為3.3 m，厚度為0.6 m。鋼彈簧在隧道底板變形之前已經(jīng)產(chǎn)生了較大的初始?jí)嚎s量，為了突出隧道底板變形對軌道變形的影響，在計(jì)算所得的軌道變形中去掉軌道的初始位移(根據(jù)軌道結(jié)構(gòu)自重求得初始位移為3.570 mm)。

用有限元軟件ANSYS建立單層彈性地基梁模型和彈性地基梁-板模型[8](鋼軌為梁，浮置板道床為板)，計(jì)算參數(shù)與理論模型相同。梁采用BEAM4單元?jiǎng)澐?，單元長度為100 mm。板采用SHELL63單元?jiǎng)澐?，單元尺寸?00 mm×300 mm。將有限元模型節(jié)點(diǎn)的橫向自由度約束以減少方程數(shù)目。計(jì)算結(jié)果對比列于表2，軌道變形曲線對比如圖3 所示。

表2 不同計(jì)算模型的計(jì)算結(jié)果對比

(a) 工況1；(b) 工況2；(c) 工況3；(d) 工況4

由表2和圖3可知，級(jí)數(shù)法與數(shù)值模擬得到的計(jì)算結(jié)果差別不大，軌道變形曲線基本吻合，證明了本文方法的正確性。與數(shù)值模擬相比，級(jí)數(shù)法的優(yōu)越性在于：級(jí)數(shù)法與數(shù)值模擬均需要求解線性方程組，級(jí)數(shù)法的方程組規(guī)模遠(yuǎn)小于數(shù)值模擬。以算例中工況2為例，級(jí)數(shù)法只需求解201個(gè)方程，而數(shù)值解法中，彈性地基梁模型需要求解的方程個(gè)數(shù)為901×3+2×1=2 705個(gè)，梁?板模型需要求解的方程個(gè)數(shù)為3 612×2+24×1+2 699=9 947個(gè)。

下面將基于本文方法，在上述軌道結(jié)構(gòu)參數(shù)基礎(chǔ)上，討論鋼彈簧浮置板軌道與隧道底板的相互作用規(guī)律。

4.1 隧道底板變形的影響

4.1.1 隧道底板最大變形與剪力鉸的位置關(guān)系

由表2可見，工況2和4與工況1和3相比，軌道結(jié)構(gòu)變形較小，軌道與隧道底板變形差異較大，脫空范圍也較大。說明對于計(jì)算脫空來說，浮置板道床中部位于隧道底板最大變形處為不利工況。因此當(dāng)剪力鉸與隧道最大變形位置關(guān)系不明確時(shí)，可假定浮置板道床中部位于隧道底板最大變形處，以得到脫空范圍及脫空量的保守估計(jì)。

4.1.2 隧道底板最大變形0

0的取值范圍為0~80 mm，沉降槽寬度=3 m，剪力鉸位于=±15 m(下同)。0與軌道變形和脫空范圍的關(guān)系如圖4所示。

由圖4可見，隧道底板隆起時(shí)，軌道變形隨隧道隆起量的增大呈線性增長；隧道底板沉降時(shí)，軌道變形隨隧道沉降量的增大呈逐漸平緩的增長趨勢。這是因?yàn)楦≈冒宓来簿哂休^大的縱向抗彎剛度，隧道底板沉降時(shí)，軌道自身剛度能夠避免其產(chǎn)生過大撓度；而隧道底板隆起時(shí)，軌道被迫在最大隆起位置產(chǎn)生與隧道底板一致的變形，其撓度與隧道底板沉降時(shí)相比大大增加。

軌道與隧道底板的脫空范圍隨隧道變形的增大而增大。當(dāng)隧道最大變形量小于20 mm時(shí)，隧道沉降引起的脫空范圍大于隧道隆起。隧道隆起引起的脫空范圍隨隧道變形的增大發(fā)展較為迅速，當(dāng)隧道最大隆起量大于40 mm時(shí)，脫空范圍約為隧道沉降引起脫空范圍的2倍。

4.1.3 隧道底板沉降槽寬度

的取值范圍為2~5 m，隧道最大變形0=40 mm。與軌道變形和脫空范圍的關(guān)系如圖5所示。

圖4 隧道底板最大變形的影響

圖5 隧道底板沉降槽寬度的影響

由圖5可見，隨隧道底板沉降槽寬度的增大，軌道結(jié)構(gòu)最大變形最終與隧道底板最大變形趨同。這是由于沉降槽寬度與隧道縱向變形的不均勻程度有關(guān)，越大，隧道底板沉降不均勻性越小，軌道結(jié)構(gòu)與隧道底板之間的變形差異越小。

軌道與隧道底板的脫空范圍隨隧道底板沉降槽寬度的增大呈先增大后減小的趨勢。這是因?yàn)檩^小時(shí)，隧道不均勻變形的影響范圍較小，此時(shí)脫空范圍隨不均勻變形影響范圍的擴(kuò)大而增大；增大到一定程度之后，軌道與隧道的變形差異逐漸減小，脫空范圍也隨之減小。

軌道與隧道底板能否產(chǎn)生脫空，與0和2個(gè)參數(shù)均有關(guān)系。軌道與隧道底板恰好產(chǎn)生脫空時(shí)的0?組合構(gòu)成了圖6所示的2條曲線?？梢?，隨著值的增大，軌道與隧道底板產(chǎn)生脫空時(shí)的0值越來越大，說明隨隧道底板沉降槽寬度的增大，軌道與隧道底板的脫空難度增大。值相同的情況下，隧道底板沉降對應(yīng)的0小于隧道隆起，說明隧道沉降比隆起更容易使軌道與隧道產(chǎn)生脫空。

4.2 鋼彈簧剛度及間距的影響

上述討論中，鋼彈簧剛度為8 kN/mm，間距為1.2 m，折合地基系數(shù)=4.040 MPa/m。鋼彈簧的剛度和間距與式(7)中地基系數(shù)的取值有關(guān)，為此，取不同的地基系數(shù)計(jì)算鋼彈簧剛度和間距對軌道脫空的影響。值增大，表明鋼彈簧的間距減小，或者剛度增大；值減小，表明鋼彈簧的間距增大，或者剛度減小。圖7為隧道底板沉降時(shí)采用不同地基系數(shù)計(jì)算得到的恰好產(chǎn)生脫空時(shí)的0?曲線。圖8為軌道與隧道底板脫空范圍隨值的變化關(guān)系，其中0=40 mm，=3m。

圖6 S0和i對軌道與隧道底板脫空的影響

圖7 不同地基系數(shù)對應(yīng)的S0?i曲線

由圖7及圖8可見，值越大，相同沉降槽寬度對應(yīng)的隧道最大變形0越小，且脫空范圍隨的增大而增大，說明值越大，軌道與隧道脫空越容易，且脫空范圍更大。這是因?yàn)殇搹椈韶Q向剛度增大或者間距減小使得地基系數(shù)增大，軌道自重引起的鋼彈簧初始?jí)嚎s量減小，軌道與隧道底板越容易產(chǎn)生脫空，也將產(chǎn)生更大的脫空范圍。

圖8 地基系數(shù)對脫空范圍的影響

5 結(jié)論

1) 浮置板道床自身有較大抗彎剛度且與基底不是一體，因而變形與基底不同步，當(dāng)基底變形過大時(shí)可與基底產(chǎn)生脫空?？杉俣ǜ≈冒宓来仓胁课挥谒淼赖装遄冃巫畲筇?，以得到脫空范圍及脫空量的保守值。

2) 隨著隧道底板最大變形0的增大，軌道結(jié)構(gòu)變形和脫空范圍均增大；隨著沉降槽寬度的增大，軌道結(jié)構(gòu)變形與隧道底板逐漸趨近，脫空范圍呈先增大后減小的趨勢。

3) 軌道與隧道底板產(chǎn)生脫空是0和2個(gè)參數(shù)共同影響的結(jié)果。隨著值的增大，軌道與隧道底板越不容易產(chǎn)生脫空；值相同的情況下，隧道底板沉降比隆起更容易引起軌道與隧道產(chǎn)生脫空。

4) 鋼彈簧的豎向剛度和間距影響軌道與隧道底板脫空的難易程度。鋼彈簧剛度越大，間距越小，軌道與隧道底板越容易產(chǎn)生脫空，脫空范圍越大。

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Analysis on deformation and detachment of the steel spring floating slab track induced by tunnel deformation

CHENG Lin1, YANG Chengyong1, MA Wenhui1, CHE Jingke2

(1. School of Civil Engineering, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China; 2. Beijing General Municipal Engineering Design & Research Institute Co., Ltd, Beijing 100082, China)

Traversing construction induces deformation of the existing tunnel and track structures within, which has side-effects on operation safety of trains. The steel spring floating slab track was simplified as a beam on elastic foundation. A governing differential equation for deformation of track structures was established and solved by Fourier series method. A set of linear equations for determining unknown series coefficients was obtained. An iterative method to solve the set of equations was given. Based on the method presented in this paper, interaction between steel spring floating slab track and tunnel floor was analyzed. Results show that, the flexural stiffness of floating slab causes differential deformation, or further detachment, between track slabs and the tunnel floor. The deformation of track structures and the detachment range increase with the increase of tunnel floor deformation. With the increase of width of settlement trough, the deformation of track and tunnel floor approaches gradually, and the detachment range first increases and then decreases. The greater the stiffness of steel springs or the smaller the spacing between two adjacent springs, the more likely the track separates from the tunnel floor, and the wider the detachment range will be. The research results provide theoretical guidance for safety evaluation of the existing track structures during traversing construction.

traversing construction; steel spring floating slab track; deformation; detachment; Fourier series solution

TU91

A

1672 ? 7029(2020)04 ? 0849 ? 09

10.19713/j.cnki.43?1423/u.T20190616

2019?07?09

中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(2018YJS119)；國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51478032)

程霖(1992?)，男，山東聊城人，博士研究生，從事隧道與地下工程研究；E?mail：bjd_chenglin@163.com

(編輯 涂鵬)