基于PCA-改進(jìn)TOPSIS的鐵路橋梁加固改造方案決策

裴興旺，李慧民，李軒，李文龍，黃俊杰

基于PCA-改進(jìn)TOPSIS的鐵路橋梁加固改造方案決策

裴興旺1，李慧民1，李軒2，李文龍1，黃俊杰3

(1. 西安建筑科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，陜西 西安 710055；2. 陜西通宇公路研究所有限公司，陜西 西安 710118；3. 中冶建筑研究總院有限公司，北京 100088)

為降低我國鐵路橋梁加固改造過程中存在的潛在風(fēng)險，并考慮現(xiàn)有決策方法存在的不足，依據(jù)問題特點建立科學(xué)的決策指標(biāo)體系，提出一種基于主成分分析法(PCA)和加權(quán)廣義馬氏距離改進(jìn)TOPSIS的決策模型。首先，利用三角模糊數(shù)等方法對指標(biāo)進(jìn)行量化與熵權(quán)賦值，采用主成分分析法按累計方差貢獻(xiàn)率實現(xiàn)指標(biāo)的降維處理；其次，依據(jù)加權(quán)廣義馬氏距離改進(jìn)TOPSIS方法計算各指標(biāo)方案與正負(fù)理想解的距離并進(jìn)行方案排序；最后，以5例工程實例驗證本文方法的可信性和優(yōu)越性，所選方案能最大限度地實現(xiàn)性能提升、經(jīng)濟合理等要求。

鐵路橋梁；加固改造；方案決策；主成分分析；改進(jìn)TOPSIS

我國鐵路橋梁加固改造是社會化進(jìn)程中的重要策略，是可持續(xù)發(fā)展戰(zhàn)略在交通運輸領(lǐng)域的體現(xiàn)和升華。鐵路橋梁加固改造有別于新建項目[1]，加固改造設(shè)計方案需要最大程度地發(fā)揮原結(jié)構(gòu)的利用價值，實現(xiàn)性能提升、經(jīng)濟合理和技術(shù)可行等要求。加固改造方案涉及加固改造方法的選擇、新舊結(jié)構(gòu)體系協(xié)同工作和承載能力驗算等關(guān)鍵環(huán)節(jié)，并存在因設(shè)計人員對原結(jié)構(gòu)體系理解失誤、相關(guān)工程經(jīng)驗不足和計算模型可信度低等原因?qū)е碌臐撛陲L(fēng)險。此外，橋梁多位于自然環(huán)境宜人的大江大河和自然保護區(qū)，這需要對受損構(gòu)件進(jìn)行加固設(shè)計和利用原橋梁結(jié)構(gòu)體系進(jìn)行改造設(shè)計的同時，妥善處理諸如加固改造材料盲目選擇造成的環(huán)境破壞、野蠻施工超挖超建導(dǎo)致的植被覆蓋及水土流失等諸多不確定環(huán)境因素。近年來，國內(nèi)外相關(guān)學(xué)者在橋梁加固改造方案決策方面進(jìn)行了諸多研究，Ellakwa等[2]對纖維增強復(fù)合材料不同布置方法及位置對橋梁加固效果的影響進(jìn)行了分析。Hassan等[3]對碳纖維布(CFRP)整體加固和玻璃纖維布(GFRP)鋼筋復(fù)合加固兩種不同加固方案的性能進(jìn)行了對比分析。張鵬[4]采用層次分析法對橋梁加固方案開展了優(yōu)選研究；楊雅勛等[5]采用基于改進(jìn)AHP法和熵值法的組合權(quán)值法結(jié)合灰關(guān)聯(lián)法展開對舊橋加固方案的評價研究；邊晶梅等[6]建立了服役橋梁加固方案優(yōu)選決策支持系統(tǒng)，姜禹等[7]基于熵值-關(guān)聯(lián)度法展開橋梁加固方案優(yōu)選模型的研究。周長東等[8]基于層次分析法的模糊決策理論展開對震后橋梁結(jié)構(gòu)應(yīng)急加固方案優(yōu)選模型的研究。常見的決策方法有灰色支持向量機法(SVM)、證據(jù)推理法(D-S)和逼近理想解法(TOPSIS)等，這其中因TOPSIS理論成熟，計算方法簡單，應(yīng)用過程直觀而被學(xué)者們廣泛應(yīng)用[9?10]。過往研究取得了一定成果但仍存在如下不足：1) 指標(biāo)體系建立未考慮各指標(biāo)之間的內(nèi)部聯(lián)系，且指標(biāo)數(shù)據(jù)樣本過大，相互之間存在較強的關(guān)聯(lián)性，直接分析易導(dǎo)致數(shù)據(jù)失真；2) 研究方法比較單一，容易產(chǎn)生同時逼近正負(fù)理想解、無法同時解決協(xié)方差矩陣為0或不可逆時計算不能進(jìn)行、數(shù)據(jù)量過大導(dǎo)致數(shù)據(jù)災(zāi)難等缺陷。3) 研究內(nèi)容主要集中在單一橋梁構(gòu)件加固等方面，涉及到鐵路橋梁整體加固改造的研究不充分。鑒于此，本文擬利用三角模糊數(shù)等方法對指標(biāo)進(jìn)行量化及熵權(quán)賦值，采用主成分分析法按方差貢獻(xiàn)率實現(xiàn)數(shù)據(jù)降維，待數(shù)據(jù)處理后引入加權(quán)廣式馬氏距離改進(jìn)TOPSIS法，計算方案的相對貼近度，結(jié)合實例對備選方案進(jìn)行優(yōu)劣排序，加以驗證。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 主成分分析法

主成分分析(Principal Component Analysis)[11]是一種建立在統(tǒng)計最優(yōu)原則基礎(chǔ)上的特征選取分析方法，最早由Pearson于1901年首次提出；基本理念是在盡可能多地保留數(shù)據(jù)集中方差的同時，減少該數(shù)據(jù)集的維度，計算特點是內(nèi)部模型為線性的，完全不受參數(shù)限制，具體步驟如下。

Step 1：首先對方案決策指標(biāo)進(jìn)行篩選，對于個樣本維特征變量構(gòu)建指標(biāo)體系數(shù)據(jù)矩陣，對矩陣中各指標(biāo)元素進(jìn)行規(guī)范化處理。

Step 2：求規(guī)范化后矩陣*的樣本相關(guān)系數(shù)矩陣：

其中：=1, 2, …,,=1, 2, …,，為指標(biāo)與指標(biāo)的相關(guān)系數(shù)。

即可得綜合評價函數(shù)：

Step 5：基于主成分分析，根據(jù)綜合評價函數(shù)值對各方案進(jìn)行排序。

1.2 加權(quán)廣義馬氏距離法

1.2.1 廣義馬氏距離

馬氏距離是由印度學(xué)者M(jìn)ahalanobis于1936年提出的一種統(tǒng)計距離。將馬氏距離代替歐氏距離應(yīng)用于TOPSIS方法中能有效解決指標(biāo)間的相關(guān)性問題，計算公式如下：

1.2.2 加權(quán)廣義馬氏距離

廣義馬氏距離考慮了指標(biāo)之間的相關(guān)性，消除了指標(biāo)量綱的影響，解決了協(xié)方差矩陣不可逆的問題，但沒有考慮到指標(biāo)間的重要性差異，而用加權(quán)廣義馬氏距離代替歐氏距離應(yīng)用于TOPSIS方法中將有效解決指標(biāo)間的重要性差異、不同量綱和相關(guān)性對決策結(jié)果的影響以及協(xié)方差矩陣不可逆的問題[12]，計算公式如下：

1.2.3 基于加權(quán)廣義馬氏距離改進(jìn)TOPSIS法

改進(jìn)TOPSIS法有效解決了指標(biāo)間的重要性差異、不同量綱和相關(guān)性對決策結(jié)果的影響以及協(xié)方差矩陣不可逆的問題，具體步驟如下。

Step 1：構(gòu)造包含個備選方案個指標(biāo)的原始決策矩陣。

Step 2：確定正負(fù)理想解+和?。

Step 4：計算各方案相對理想解的貼近度。

Step 5：各方案排序，貼近度越大方案越優(yōu)。

2 鐵路橋梁加固改造方案決策模型構(gòu)建

2.1 決策指標(biāo)體系構(gòu)建

本文鐵路橋梁加固改造方案決策指標(biāo)體系的構(gòu)建，依據(jù)指標(biāo)構(gòu)建的基本原則，在多次調(diào)研和查閱相關(guān)文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上[2?3, 8]，對影響方案決策的相關(guān)因素進(jìn)行總結(jié)，實現(xiàn)指標(biāo)體系的階梯層次性，最終建立了鐵路橋梁加固改造方案決策指標(biāo)體系，如圖1所示。

1) 性能提升Q1：性能提升是鐵路橋梁加固改造項目的初衷，橋梁技術(shù)狀況等級、橋梁承載能力和橋梁耐久性能這3項指標(biāo)是性能提升的關(guān)鍵，直接決定著鐵路橋梁加固改造項目的成敗。

2) 經(jīng)濟合理Q2：經(jīng)濟合理是方案選擇的關(guān)鍵因素，對于鐵路橋梁加固改造項目來說，不僅要需要考慮工期、造價及原結(jié)構(gòu)利用率等直接因素，同時需考慮中斷交通損失及后續(xù)使用年限和后續(xù)維護成本等間接因素。

3) 技術(shù)可行Q3：技術(shù)可行是保障鐵路橋梁加固改造項目順利進(jìn)行的關(guān)鍵。首先要考慮加固改造技術(shù)的成熟度、大型機械的依賴程度及構(gòu)造措施的合理程度；其次要考慮加固材料的供應(yīng)難度和現(xiàn)場環(huán)境的制約情況；最后要考慮新舊結(jié)構(gòu)的協(xié)同工作及現(xiàn)有方案對原橋梁的擾動程度。

4) 社會影響Q4：社會影響是評判基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)項目成功與否的重要指標(biāo)。鐵路橋梁為區(qū)域經(jīng)濟和社會發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)，是經(jīng)濟實力和文化自信的重要體現(xiàn)。加固改造方案的選擇要綜合考慮鐵路橋梁加固改造后對交通功能、社會輿論、使用功能及橋梁外觀等方面的影響。

5) 生態(tài)安全Q5：樹立和踐行綠水青山就是金山銀山的理念，是指引建設(shè)美麗中國的理論明燈，建設(shè)生態(tài)文明是中華民族永續(xù)發(fā)展的千年大計，鐵路橋梁多位于自然環(huán)境宜人的大江大河和自然保護區(qū)，因此，進(jìn)行方案決策時需考慮到加固改造方案對區(qū)域生態(tài)環(huán)境的不良影響。

圖1 鐵路橋梁加固改造方案決策指標(biāo)體系

2.2 決策模型計算過程

Step 1：在鐵路橋梁加固改造方案決策問題中，假定有個備選方案，由專家組對個方案中的個指標(biāo)數(shù)據(jù)進(jìn)行提取(定量指標(biāo)數(shù)據(jù)從方案中直接提取，定性指標(biāo)數(shù)據(jù)采用語言模糊數(shù)法進(jìn)行提取)，核定后得數(shù)據(jù)矩陣。

Step 2：對個備選方案首先進(jìn)行“加固改造價值”評價，當(dāng)鐵路橋梁加固改造成本比拆除新建節(jié)省費用 60%以上認(rèn)為是有價值的，符合要求則進(jìn)行下一步計算，不符合則判為最差方案。

Step 3：本文所建立的鐵路橋梁加固改造方案決策指標(biāo)體系由定量和定性指標(biāo)組成，且分為效益型指標(biāo)1和成本型指標(biāo)22種，計算之前需先進(jìn)行規(guī)范化處理[13]。數(shù)據(jù)矩陣采用三角模糊數(shù)等方法進(jìn)行規(guī)范化處理，得規(guī)范化矩陣*，結(jié)合熵權(quán) 法[14]計算各指標(biāo)權(quán)重。

1) 定性指標(biāo)按下式計算：

定性指標(biāo)采用三角模糊數(shù)[15]進(jìn)行量化。記為語義狀態(tài)集，{,,,,,,}，依次對應(yīng)著7個狀態(tài)“特別差~特別好”。將轉(zhuǎn)換為三角模糊數(shù)，見表1。

表1 語言類模糊數(shù)與三角模糊數(shù)的相互轉(zhuǎn)換

效益型和成本型指標(biāo)規(guī)范化計算公式如下：

為簡便運算，將三角模糊數(shù)轉(zhuǎn)化為精確數(shù)，計算公式如下：

2) 定量指標(biāo)按下式計算：

待定量、定性指標(biāo)經(jīng)規(guī)范化處理后進(jìn)行歸一化處理，計算公式如下：

Step 5：經(jīng)主成分分析后，得旋轉(zhuǎn)矩陣T，將T按式(2)~(3)計算得到矩陣，即降維后的基于主成分分析的各方案決策矩陣。

Step 6：將矩陣結(jié)合加權(quán)廣義馬氏距離改進(jìn)的TOPSIS方法進(jìn)行鐵路橋梁加固改造方案排序。

3 實例分析

3.1 項目概況

從作者實際參與的諸多橋梁加固改造項目中選取5個具有代表性的項目為研究樣本：XPT橋、WF橋、TFG橋、UW橋和HDH橋，檢驗所建模型的可信性與有效性，部分案例匯總于專著《土木工程安全檢測、鑒定、加固修復(fù)案例分析》中，這里以XPT橋為例詳細(xì)闡述計算過程。該橋建于1997年，全長3 245 m，預(yù)應(yīng)力混凝土簡支箱梁。經(jīng)檢測，該橋承載能力嚴(yán)重不足，考慮到該橋區(qū)域位置的重要性，特進(jìn)行加固改造。

3.2 計算過程

XPT鐵路橋梁加固改造項目由2家甲級設(shè)計院合計提出了5種加固改造設(shè)計方案，即方案A1~A5。在方案決策之初，首先對提出的5種方案進(jìn)行“改造價值評價”，所有方案均通過專家組論證，隨即從方案A1~A5中按三角模糊數(shù)轉(zhuǎn)化得到各指標(biāo)的量化值，見表2。

3.2.1 指標(biāo)權(quán)重計算

按式(11)~(16)對表2中的數(shù)據(jù)進(jìn)行規(guī)范化處理，得規(guī)范化矩陣*，見矩陣(18)。

熵權(quán)法計算各指標(biāo)權(quán)重，得=(0.010 4，0.003 2，0.007 4，0.057 0，0.170 3，0.015 8，0.000 4，0.005 0，0.010 7，0.033 2，0.065 7，0.068 7，0.010 4，0.006 1，0.018 0，0.018 0，0.068 7，0.068 7，0.065 7，0.011 2，0.043 9，0.033 2，0.086 8，0.086 8，0.013 7)。

表2 初始決策指標(biāo)量化值

3.2.2 主成分分析降維

采用spss24.0軟件對25個指標(biāo)進(jìn)行主成分分析，得到各項指標(biāo)的相關(guān)系數(shù)矩陣(篇幅有限，不再給出)，從中可知，11，26，31和34等指標(biāo)具有較高的正負(fù)相關(guān)性。計算各指標(biāo)的初始特征值及累計方差百分比，前3個主成分1，2和3的累計方差百分比大于85%，主成分碎石圖如圖2所示，特征值和方差貢獻(xiàn)率見表3。

表3 特征值和方差貢獻(xiàn)率

圖2 主成分碎石圖

表4 旋轉(zhuǎn)矩陣(XT)

由spss24.0軟件提取主成分初始負(fù)載矩陣，旋轉(zhuǎn)得矩陣T，見表4。從旋轉(zhuǎn)矩陣T可以看出，主成分1與指標(biāo)13，23，25，31，34，35，36，51，52，53，54和55；主成分2與指標(biāo)21，24和26；主成分3與指標(biāo)12和44，關(guān)聯(lián)性較大，由此可得主成分1，2和3的權(quán)重分別為：0.830，0.099和0.071。從圖2及表3中可以看出，主成分中前3項因子成分的特征根的累計方差貢獻(xiàn)率達(dá)到94.276%，因此，從圖2中選取前3個因子作為主成分因子，進(jìn)行數(shù)據(jù)分析。

根據(jù)上述矩陣所列的主成分指標(biāo)權(quán)重，按照式(3)，即可得到3個主成分表達(dá)式：

計算各方案主成分得分，將方案得分代入上面3個表達(dá)式，得到5個方案的相應(yīng)主成分得分，并乘以各主成分指標(biāo)對應(yīng)的權(quán)重，結(jié)果見表5。

表5 基于主成分各方案決策得分Fi

3.2.3 加權(quán)廣義馬氏距離求解

表6 加權(quán)廣義馬氏距離、貼近度

3.3 結(jié)果分析

主成分分析按累計方差貢獻(xiàn)率實現(xiàn)了指標(biāo)的降維處理，避免因樣本過大、關(guān)聯(lián)性較強導(dǎo)致的數(shù)據(jù)失真、排序不可信的問題，體現(xiàn)了主成分分析法在方案決策過程中的優(yōu)越性。為了便于比較，將本文提出的方法與PCA+其他TOPSIS方法對比分析(歐式距離P1，馬式距離P2，廣義馬式距離P3和本文方法P4)，得貼進(jìn)度及排序結(jié)果，見表7。結(jié)果表明，傳統(tǒng)方法與本文方法的排序在最優(yōu)方案上保持一致，均為3，驗證了本文方法的可信性。但其他方案排序不盡相同，其中，本文提出的方法(P4)與方法(P3)存在方案A2，A4和A5排序不一致的情況；與方法(P2和P1)存在方案A1和A2排序不一致的情況，這是因為本文所提出的方法在計算過程中考慮了指標(biāo)之間的重要性關(guān)系，解決了指標(biāo)之間因重要性差異導(dǎo)致計算結(jié)果不科學(xué)的問題；此外，本文提出的方法可以同時解決當(dāng)協(xié)方差矩陣為0或不可逆時計算無法進(jìn)行的問題，使得分析結(jié)果更加可信。

表7 不同方法計算結(jié)果：貼進(jìn)度、排序

同理，對WF橋、TFG橋、UW橋和HDH橋加固改造項目的決策過程按本文提出的方法進(jìn)行計算，結(jié)果見表8。

表8 其余項目計算結(jié)果：貼進(jìn)度、實際情況對比

從表8中可知，WF鐵路橋最優(yōu)方案為A2，TFG鐵路橋最優(yōu)方案為A4，UW鐵路橋最優(yōu)方案為A4，UW鐵路橋最優(yōu)方案為A3。通過對項目實地情況的調(diào)查情況可知，實際情況與模型決策的排序結(jié)果均保持一致，相比于傳統(tǒng)決策方法，本文所建立的方法降低了決策過程的復(fù)雜性，提高了決策過程的可靠性，所選方案能夠最大限度的實現(xiàn)性能提升、經(jīng)濟合理、技術(shù)可行、社會影響、生態(tài)安全的要求，對類似項目決策具有良好的指導(dǎo)作用。從而驗證了所建模型的可信性和有效性。

4 結(jié)論

1) 通過實例調(diào)研和文獻(xiàn)分析，對鐵路橋梁加固改造項目決策影響因素進(jìn)行分析識別，建立包括性能提升、經(jīng)濟合理、技術(shù)可行、社會影響和生態(tài)安全5個方面在內(nèi)的鐵路橋梁加固改造項目決策指標(biāo)體系。

2) 運用三角模糊數(shù)對指標(biāo)進(jìn)行量化與熵權(quán)賦值，降低了人為因素的主觀性；采用主成分分析法按累計方差貢獻(xiàn)率實現(xiàn)指標(biāo)的降維處理，降低決策過程的復(fù)雜性，提高鐵路橋梁加固改造方案決策的可靠性。

3) 構(gòu)建基于PCA改進(jìn)TOPSIS的鐵路橋梁加固改造方案決策模型，并運用于工程實例中。結(jié)果表明，決策過程清晰，決策結(jié)果可靠，同時解決了當(dāng)協(xié)方差矩陣為0或不可逆時計算無法進(jìn)行、指標(biāo)之間存在重要性差異致使計算結(jié)果不科學(xué)、數(shù)據(jù)量過大導(dǎo)致數(shù)據(jù)災(zāi)難這3點缺陷，使得改進(jìn)后的方法更加全面合理，為類似項目決策提供指導(dǎo)。

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Decision-making of railway bridge reinforcement and reconstruction scheme based on PCA and improved TOPSIS

PEI Xingwang1, LI Huimin1, LI Xuan2, LI Wenlong1, HUANG Junjie3

(1. College of Civil Engineering, Xi’an University of Architecture & Technology, Xi’an 710055, China;2. Shaanxi Tongyu Highway Research Institute Ltd, Xi’an 710118, China;3. Central Research Institute of Building and Construction Co., Ltd, Beijing 100088, China)

In order to reduce the potential risks in the reinforcement and reconstruction process of railway bridges in China, and considering the shortcomings of the existing decision-making methods, this paper established a scientific decision index system according to the characteristics of the problem, and proposed a decision-making model based on principal component analysis (PCA) and improved TOPSIS method of weighted generalized Mahalanobis distance. Firstly, the triangular fuzzy function is used to quantify the qualitative indexes, then the weight of each index is calculated by the entropy weight method. And using the PCA method to reduce the index dimension according to the contribution rate of the cumulative variance of the index. Secondly, using the improved TOPSIS method of weighted generalized Mahalanobis distance to calculate the distance between each index scheme and the positive and negative ideal solutions. Finally, five engineering examples are given to verify the credibility and superiority of this method. The selected scheme can meet the requirements of performance improvement and economic rationality to the greatest extent.

railway bridge; reinforcement and reconstruction; scheme decision-making; principal component analysis; improved TOPSIS

U24

A

1672 ? 7029(2020)04 ? 0823 ? 09

10.19713/j.cnki.43?1423/u.T20190495

2019?06?04

國家自然科學(xué)基金資助項目(51478384，51808424)；住建部科技資助項目(2018-R1-009)

裴興旺(1988?)，男，河南漯河人，博士研究生，從事土木工程結(jié)構(gòu)安全檢測、鑒定、加固修復(fù)，土木工程建造與管理研究；E?mail：knowledge1020@126.com

(編輯 陽麗霞)