基于初始缺陷的混凝土銹裂模型時變可靠度

張 強，盧朝輝，趙 然，倫培元

(1. 北京工業(yè)大學 建筑工程學院， 北京 100124； 2. 中南大學 土木工程學院， 長沙 410075)

鋼筋銹蝕是引起混凝土結構耐久性不足的最主要原因，而耐久性不足導致結構發(fā)生破壞的事故時有發(fā)生，造成了大量的經濟損失和人員傷亡.改革開放以來，我國的城市化進程不斷加快，但城市基礎化建設已經由大規(guī)模建造逐步進入長期安全運營管理與高效維護階段，確保作為社會生產和生活運轉載體的基礎設施工程結構全壽命服役可靠性，鋼筋銹蝕導致的結構耐久性損傷是現(xiàn)階段亟需解決的重大課題[1].

經過近半個世紀對鋼筋銹蝕問題的研究，取得了大量的研究成果.如Jin等[2]考慮細觀裂縫擴展過程，建立了臨界銹脹力預測模型； Wong等[3]采用細觀圖像分析方法，揭示了鋼筋銹蝕產物發(fā)展及致使混凝土保護層開裂的過程.邵偉等[4]推導了氯離子對鋼筋的銹蝕過程，并分段建立了氯離子侵蝕混凝土管柱的壽命預測模型；文獻[5-6]采用擴展有限元法和過盈裝配的方式，建立了混凝土保護層非均勻銹脹開裂有限元模型；Andrade等[7-8]試驗研究了混凝土保護層開裂時刻均勻鋼筋銹蝕率的變化規(guī)律，并建立了混凝土銹蝕脹裂數值分析模型； 文獻[9-10]在此基礎上引入非均勻銹脹壓力模型等，為進一步揭示鋼筋銹蝕與混凝土服役壽命的規(guī)律提供了基礎.但是，現(xiàn)有模型均忽視了材料初始缺陷下對銹脹力和開裂時間造成的影響，不能細觀地把握裂縫擴展過程.

事實上，由鋼筋銹蝕引起的混凝土結構耐久性下降過程包括諸多不確定因素，如采用確定化的理論模型來預測結構開裂時變損傷過程，恐與實際情況有較大出入.為研究混凝土結構因鋼筋銹蝕造成的耐久性不足所致的可靠度衰減過程，研究者進行了諸多嘗試.樊玲等[11]基于彈性斷裂力學和坑蝕模型，建立坑蝕銹脹裂縫時變可靠度模型，并采用Monte-Carlo方法求得鋼筋混凝土銹脹時變可靠度；周敏[12]考慮鋼筋腐蝕對橋梁結構的影響，基于改進的一次二階矩法建立了3種橋梁結構耐久性極限狀態(tài)壽命及其壽命終止目標.但是一次二階矩法和Monte-Carlo法分別存在求導迭代效率差、抽樣計算量大等不足，因此選擇一種求解思路清楚、計算效率相對較高、計算精度滿足要求的保護層銹脹開裂的可靠度方法顯得尤為重要.

鑒于此，本文基于斷裂力學理論構建了考慮材料初始缺陷的鋼筋銹蝕混凝土保護層開裂時間預測模型，在該確定化預測模型的基礎上，發(fā)展了混凝土結構時變可靠度分析的三階矩法，應用于混凝土保護層銹脹開裂失效概率分析中.

1 基于材料初始損傷的開裂時間預測模型

1.1 初始缺陷的定義

在實際銹蝕過程中，將材料初始缺陷形狀簡化為半橢圓形，如圖1所示.圖中：點A、點B代表半橢形裂縫尖端；a為徑向長度；β為缺陷角度(0≤β≤π)；q為均勻徑向壓力；基于文獻[13]提出的開裂三階段模型，混凝土構件內初始缺陷裂縫尖端點A、B的應力強度因子可以表示為

(1)

(2)

式中：p為銹蝕產物膨脹產生的內部壓力；FA、FB為形狀系數，

系數Gi(i=0,1,…,6)、MjA、MjB(j=1,2,3)主要由裂縫以及鋼筋混凝土幾何尺寸決定；Q為橢圓形狀系數.以上系數均可參照文獻[14-15]進行計算.

圖1 初始裂縫示意圖Fig.1 Initial crack schematic diagram

1.2 斷裂準則的確定

基于斷裂力學理論，采用雙K斷裂參數[16]對混凝土銹脹開裂過程進行表述，其表達式如下：

(5)

由于雙K斷裂參數均由試驗測得，同時因混凝土結構服役環(huán)境、材性及初始缺陷的差異性，難以應用已有的試驗數據.本文在文獻[17]的基礎上對應力強度因子進行修正，表達式如下：

(6)

式中：h、V、KIc分別為標準模型的高、體積和斷裂韌度；C為混凝土保護層厚度；R為鋼筋直徑；α′為威布爾參數，可按照文獻[12]進行定義.

1.3 臨界銹脹力和保護層開裂時間的定義

臨界銹脹力計算方面，假定材料初始缺陷下鋼筋銹脹裂縫動態(tài)擴展過程中具有兩個重要臨界點，即初始階段和失穩(wěn)擴展階段.在裂縫擴展臨界狀態(tài)下的裂縫應力強度因子與雙K斷裂參數相等，將其代入應力強度因子公式中即可以得到初始缺陷點A、點B的初始開裂銹脹力和保護層完全開裂時的銹脹力，根據文獻成果以初始缺陷點A的開裂狀態(tài)作為判斷標準[18]，故可得到臨界銹脹力計算公式.

初始缺陷開始開裂時的銹脹力：

(7)

混凝土保護層完全開裂時的銹脹力：

(8)

式中：Δa*表示裂縫擴散區(qū)域長度，可按照文獻[15]進行計算.

保護層開裂時間方面，根據前期的研究成果，鋼筋混凝土構件保護層開裂時間可以表示為[15,19]

(9)

式中：N為離子價；F為法拉第常數；w/c為水灰比；M表示銹蝕產物的分子量；ρcr為保護層銹脹開裂時的銹蝕率，可按照文獻[15]進行計算.

2 鋼筋銹蝕作用下保護層開裂破壞極限狀態(tài)函數建立

根據文獻[20]，考慮初始缺陷的工程結構銹脹開裂可靠度分析的極限狀態(tài)函數可以表述為

G(L,S,t)=L(t)-S(t)

(10)

式中：S(t)表示荷載效應在t時刻對結構的影響；L(t)表示在t時刻結構其自身的抗力.由于銹脹抗力難以隨時間變化進行監(jiān)測計算，按照可靠度評估標準，可以將上述算式轉換為時間的工程函數：

Pf(t)=P[G(L,S,t)≤0]=

P[S(t)≥L(t)]

(11)

隨著鋼筋銹蝕產物逐漸膨脹，當混凝土應力強度因子KI超過斷裂韌度KIc時，導致混凝土保護層開裂.如果采用tcr(由斷裂韌度KIc確定，計算參照式(9))表示裂縫擴展到混凝土表面的臨界時間，那么上式可以轉換為

Pf,c(t)=P[tj≥tcr]

(12)

式中：tj代表混凝土服役時間；tcr代表混凝土開裂時刻臨界時間.

對于功能函數Z=G(X)，其各階矩可以表示為以下形式：

(13)

(14)

(15)

表1 隨機變量匯總Tab.1 Summary of random variables

當存在n個基本隨機變量時，必須針對函數計算mn次才能確定函數的前三階矩.為降低計算量，采用文獻[23]提出的一維減維積分方法，將多變量的功能函數簡化成一系列單個隨機變量功能函數之和：

式中：μG、σG、α3G分別為功能函數G的均值、標準差、偏度，可以采用標準正態(tài)空間上的點估計來計算求得.

在得到功能函數的前三階矩后，采用下式計算混凝土結構可靠度指標β3M及失效概率Pf[24]：

式中：

3 混凝土保護層銹蝕開裂可靠度分析

3.1 算法驗證

因保護層開裂時間預測模型已在文獻[15]中進行驗證，現(xiàn)需對本文發(fā)展的工程結構銹脹可靠度分析的三階矩方法(TM)進行驗證.采用傳統(tǒng)Monte-Carlo方法(MC)以不同抽樣次數的方式進行對比，參見圖2.圖中：Pf為保護層失效概率；tcr為開裂時間.對比可知當Monte-Carlo方法總抽樣次數小于 10 000 次時，計算得到的失效概率不穩(wěn)定的.當抽樣次數超過 10 000 次后，高階矩法分析結果與Monte-Carlo法計算得到的結果吻合較好.從中可以看出，高階矩法只需計算功能函數的前三階矩即可獲得保護層失效概率，相比而言較大地提高了計算效率，且精確度在接受范圍內.

圖2 TM與MC分析保護層失效概率對比Fig.2 Failure probability of cover thickness by TM and MC

3.2 實際工程驗證

為驗證本文提出的混凝土銹蝕開裂時變可靠度模型在實際工程中的應用，對文獻[13,20]中的4組試件進行保護層失效概率計算，計算數據對比參見圖3.在實際工程中，一般假定當失效概率超過50%時，混凝土保護層已經完全開裂.由圖可知，當失效概率為50%時，S1試件的開裂時間為2.0年左右，S2試件的開裂時間為3.7年，S3試件的開裂時間為0.7年，S4試件的開裂時間約為2.3年，與實際試件混凝土保護層開裂時間基本一致.

圖3 混凝土保護層開裂時間失效概率對比Fig.3 Comparison for failure probabilities of cracking time of concrete covers

3.3 隨機變量均值對失效概率敏感性分析

3.3.1保護層厚度 當混凝土保護層厚度均值為20，40，60 mm時，采用高階矩法與Monte-Carlo方法計算保護層失效概率時變趨勢，具體參見圖4.

圖4 不同保護層厚度對保護層失效概率的影響Fig.4 Influence of the cover thickness on the failure probability of cover cracking

由圖4可知，高階矩法與Monte-Carlo方法變化趨勢基本一致，進一步說明高階矩法在考慮不同均值計算中的準確性.另外，從圖中可以看出，保護層厚度對混凝土保護層失效概率有較大影響.當失效概率為50%時，當保護層厚度從20 mm增加到60 mm時，混凝土保護層開裂時間從大約0.4年增加到大約2.8年，說明增加保護層厚度可有效延長混凝土構件的服役時間.

3.3.2鋼筋半徑 圖5表示鋼筋半徑均值為8，13，18 mm時失效概率時變趨勢.

圖5 不同鋼筋半徑對保護層失效概率的影響Fig.5 Influence of the radius of reinforcing bar on the failure probability of cover cracking

由圖5可知，當保護層失效概率為50%，鋼筋半徑從8 mm增加到18 mm時，混凝土保護層開裂時間從大約1.3年增加到大約2.0年.說明增加混凝土中鋼筋半徑能夠延長混凝土構件的服役時間，但影響較小，不建議作為主要方法.

3.3.3混凝土抗拉強度、彈性模量和失穩(wěn)斷裂韌度 圖6表示混凝土不同抗拉強度均值、彈性模量均值、失穩(wěn)斷裂韌度均值對保護層開裂失效概率時變趨勢.

由圖6可知，當失效概率為50%時，混凝土抗拉強度與失穩(wěn)斷裂韌度對混凝土構件保護層開裂時間的影響趨勢基本相同，并且隨著參數數值增大，開裂時間均相應的延長.與此同時，混凝土彈性模量對開裂時間呈負相關趨勢.

3.3.4銹蝕產物體積膨脹比 圖7示出了η=2，3，4時保護層失效概率時變趨勢.

由圖7可知， 混凝土保護層失效概率對銹蝕產物體積膨脹比較為敏感，當失效概率為定值時，體積膨脹比為4的較之膨脹比較小的構件，其開裂時間急劇縮短.這是因為，基于理論推導的保護層初始開裂所需的銹脹力可視為固定標準值，當體積膨脹比不斷增大，銹蝕所產生的銹脹力越快突破開裂標準值，所以時間也隨之縮短.

圖6 ft、Eef以及對保護層失效概率的影響Fig.6 Influence of ft, Eef and on the failure probability of cover cracking

圖7 不同體積膨脹比對保護層失效概率的影響Fig.7 Influence of the expansion rates of the corrosion products on the failure probability of cover cracking

3.3.5水灰比 圖8示出了水灰比為0.40，0.45，0.50時混凝土保護層銹脹失效概率時變趨勢.由圖8可知，混凝土失效概率對水灰比的均值變化較為敏感.當失效概率為50%時，w/c=0.50時，混凝土構件保護層開裂時間為1.1年左右；當w/c=0.40時，混凝土構件保護層開裂時間為1.7年左右.

圖8 不同水灰比對保護層失效概率的影響Fig.8 Influence of the water cement ratio on the failure probability of cover cracking

圖9 各參數變異系數對保護層失效概率的影響Fig.9 Influence of variation coefficients of each parameter on the failure probability of cover cracking

3.4 隨機變量變異系數對失效概率敏感性分析

在混凝土結構漫長的服役過程中，對保護層失效概率產生影響的重要參數難以確定，且隨著時間推移發(fā)生改變，因而有必要對隨機變量的變異系數(COV)進行考慮.圖9表示混凝土保護層開裂失效過程中不同變異系數對保護層失效概率敏感性分析曲線.

由圖9(a)、(f)、(g)對比可知，盡管不同變異系數對保護層失效概率的影響均交匯在概率為50%處，但是在失效概率敏感性上均表現(xiàn)出明顯的差異.圖9(f)中可以看出，銹蝕產物膨脹比所對應的變異系數敏感性對比中差異性最大，與文獻[25]研究結果基本一致.當開裂時間達到10年時，變異系數為0.6時，其保護層失效概率為0.7左右；而變異系數為0.1時，其保護層失效概率為1.在圖9(b)～(d)中，鋼筋半徑、抗拉強度、彈性模量、失穩(wěn)斷裂韌度等變量在失效概率到達60%前，均表現(xiàn)出一定的平穩(wěn)性.最后，針對差異性較大的膨脹比參數，通過與Monte-Carlo方法進行了對比，結果吻合較好，進一步說明了本文提出的高階矩法計算的精確性.

3.5 概率分布的影響

由于混凝土結構實際服役環(huán)境復雜多變，如采用單一確定的概率分布對隨機變量進行描述恐造成差異，所以考慮采用不同的概率分布對保護層失效概率進行計算.基于以上計算，采用保護層厚度、銹蝕產物膨脹比等差異性較大變量進行分析，計算在對數正態(tài)分布、Gama分布以及標準正態(tài)分布情況下的失效概率時變敏感性.對比結果參見圖10，從中可以看出，3種不同概率分布下的隨機變量變化對保護層失效概率的影響較小，考慮隨機變量分布對計算結果意義不大.

圖10 概率分布對保護層失效概率的影響Fig.10 Influence of probability distributions on the failure probability of cover cracking

4 結論

本文推導了考慮材料初始缺陷的混凝土保護層銹脹時間預測模型，建立了鋼筋混凝土結構服役壽命的極限狀態(tài)函數，并在此基礎上發(fā)展了基于矩法的混凝土結構服役時變可靠度分析方法，采用一維減維方法對極限狀態(tài)函數求前三階矩，進而求得可靠度指標和失效概率.

(1) 與Monte-Carlo方法進行對比說明其在降低了抽樣次數的同時，保證了計算過程的準確有效，滿足使用要求.

(2) 在理論模型中所涉及的混凝土材料參數中，混凝土保護層失效概率對保護層厚度的隨機性和不確定性最為敏感.此外，混凝土保護層失效概率對隨機變量均值變化和變異系數變化較為敏感.

(3) 保護層失效概率對隨機變量概率分布類型敏感性較差.