待定系數(shù)法求圓錐曲線方程

鄭鵬

求圓錐曲線方程的常用方法主要有兩種：一是定義法;二是待定系數(shù)法。待定系數(shù)法的實(shí)質(zhì)是方程思想的體現(xiàn)，即在確定了圓錐曲線類型的前提下設(shè)出方程，利用題中的條件將待定量與已知量統(tǒng)一在方程關(guān)系中求解。其整個(gè)思維過程可概括為三步（1）先定性（何種圓錐曲線）;（2）后定形（哪種形式的方程）;（3）再定參（建立方程解）。下面就如何用待定系數(shù)法求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及求解過程中需注意的有關(guān)問題，通過例題加以分析。

類型一 圓錐曲線類型、方程形式確定，參數(shù)待定型

例1.設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦

點(diǎn)相同，離心率為，則橢圓的方程為（? ?）

（A）（B）（C）（D）

解析：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是，即橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)是，即半焦距為2，

又離心率為，所以，得，而，故答案選B。

點(diǎn)評(píng)：以上例題是已知圓錐曲線的類型和方程的形式，只需通過題設(shè)條件構(gòu)造關(guān)系式，待定參數(shù)即可。

類型二 圓錐曲線類型確定、方程形式待定型

例2.已知中心在原點(diǎn)的雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)是，一條漸近線的方程是.求雙曲線的方程。

解：設(shè)雙曲線的方程為，由題設(shè)得

所以雙曲線的方程為.

例3.求以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，并且經(jīng)過點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

解析：由已知所求的拋物線開口向左或向下.

若拋物線開口向左，設(shè)拋物線方程為，將的坐標(biāo)代入得，此時(shí)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為;

若拋物線開口向下，設(shè)拋物線方程為，將點(diǎn)

的坐標(biāo)代入得，此時(shí)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

所以滿足條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.

點(diǎn)評(píng)：本題常犯的錯(cuò)誤是忽視標(biāo)準(zhǔn)方程的種類致誤，導(dǎo)致漏掉其中的某種情況，如中要么認(rèn)定所求的拋物線開口向左，要么認(rèn)定開口向下.我們?cè)诮鉀Q這類問題時(shí)應(yīng)該結(jié)合圖形分析判斷所求圓錐曲線的所有可能情況.

類型三 圓錐曲線類型、方程形式均待定型

例4.如圖，直線是兩條互相垂直的直線，垂足為M，點(diǎn)N在直線上.以A、B為端點(diǎn)的曲線段C上的任意一點(diǎn)到的距離與到點(diǎn)N的距離相等.若為銳角三角形，，，且.建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線段C的方程.

解析：由于曲線段上的任一點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)的距離與到一條定直線的距離相等，故這一曲線段是一拋物線段，且以N點(diǎn)為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線.

建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，其中原點(diǎn)O為MN的中點(diǎn).設(shè)曲線段的方程為.由于

，且，.所以，且

，解得.

∵是銳角三角形，，再由點(diǎn)B在拋物線上，∴，

∴所求曲線段的方程是.

點(diǎn)評(píng)：為使得到的方程形式最簡(jiǎn)單，同時(shí)也使自己解題最簡(jiǎn)捷，應(yīng)根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程特征去建立相應(yīng)的直角坐標(biāo)系.本題求的是曲線段的方程，其中就有相應(yīng)的范圍，在解題中不要忽略了這一點(diǎn).

通過以上的分析我們不難得出，待定系數(shù)法求曲線方程可總結(jié)如下四步：（1）弄清題中出現(xiàn)的圓錐曲線的基本量（如半長(zhǎng)軸，半焦距、離心率等）;（2）根據(jù)條件確定需待定的系數(shù)并設(shè)出方程;（3）列方程（或方程組）并解之;（4）檢驗(yàn)方程可能存在的不同形式。