二、三元函數(shù)條件極值方法再議

張東倉(cāng)

[摘? ? ? ? ? ?要]? 主要針對(duì)目前高等數(shù)學(xué)教材中普遍存在的多元函數(shù)（二元、三元）條件極值問題處理的不夠完整進(jìn)行再次探討，并結(jié)合舉例給出佐證。從而解決了二、三元函數(shù)帶有約束條件時(shí)的極值求解問題。

[關(guān)? ? 鍵? ?詞]? 二元函數(shù);三元函數(shù);條件極值

[中圖分類號(hào)]? G712? ? ? ? ? ? ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]? A? ? ? ? ? [文章編號(hào)]? 2096-0603（2020）19-0228-02

多元函數(shù)條件極值的求解，在多數(shù)高等數(shù)學(xué)教材中均有提及，而且多以二元函數(shù)為例來(lái)進(jìn)行闡述，當(dāng)約束條件比較簡(jiǎn)單，即容易由隱函數(shù)φ（x，y）顯化為y=φ（x）時(shí)，可將其代入目標(biāo)函數(shù)z=f（x，y）中（代入法），將其轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)進(jìn)行極值求解;或者借助構(gòu)造輔助函數(shù)，利用拉格朗日乘數(shù)法來(lái)進(jìn)行求解。但是多數(shù)教材均未涉及拉格朗日乘數(shù)法得到的可能的極值點(diǎn)，到底是否為極值點(diǎn)或者到底為極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)？文[1]中作者提到一個(gè)不錯(cuò)的方法，但是對(duì)其中提到的拉格朗日乘數(shù)法中的參數(shù)的看法，筆者認(rèn)為不妥。本文主要對(duì)此提出自己的看法，另一方面，對(duì)文[1]中的方法進(jìn)行拓展，得到三元函數(shù)條件極值的判別方法。

首先，文[1]中提到在求解目標(biāo)函數(shù)為z=xy，約束條件為x+y=1時(shí)的極值問題時(shí)，解法一（代入法）采用了將約束條件x+y=1變形為y=l-x，即顯化，再代入目標(biāo)函數(shù)z=xy中，從而將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為z=x（1-x），即一元函數(shù)求解極值，此法沒有問題。但是，他在利用拉格朗日乘數(shù)法得到可能的駐點(diǎn)后，利用二元函數(shù)極值存在的充分條件，對(duì)函數(shù)F（x，y）=xy+λ（x+y-1）進(jìn)行驗(yàn)證時(shí)出錯(cuò)，從而認(rèn)為解法二錯(cuò)誤，理由是該法中的參數(shù)λ應(yīng)該為變量，而不是常數(shù).筆者認(rèn)為，在得到可能的駐點(diǎn)x=時(shí)F（x，y）y-1），它的圖象如圖1所示。

而該題目是求解圖2中目標(biāo)函數(shù)z=xy（曲面）與x+y=1（平面）的交線上的極值，由圖1可以看出，函數(shù)F（x，x+y-1）在駐點(diǎn)x處確實(shí)不取得極值，由此得出目標(biāo)函數(shù)z=xy在約束條件x+y=1下無(wú)極值肯定是錯(cuò)誤的，因?yàn)樗鼈兪莾蓚€(gè)不同的極值求解問題。

其次，文[1]解法二驗(yàn)證中提到參數(shù)λ應(yīng)該為變量，筆者認(rèn)為不妥。理由一是：文[2]第69頁(yè)中提到λ為某一常數(shù)、文[3]第115頁(yè)中-λ，可以看出λ為某一常數(shù)且與文[4]第117頁(yè)一致;二是：文[5]中第198頁(yè)函數(shù)L（x，y，u，v）=f（x，y，u，v）+αg（x，y，u，v）+βh（x，y，u，v），而不是L（x，y，u，v，α，β）=f（x，y，u，v）+αg（x，y，u，）+βh（x，y，u，v），可以看出，文[1]中的拉格朗日乘數(shù)λ應(yīng)該為常數(shù);三是：有的資料顯示將拉格朗日乘數(shù)均視為變量，其目的還是得到方程組中的約束條件而已，而約束條件一般都是題目中直接給出的，對(duì)輔助函數(shù)關(guān)于拉格朗日乘數(shù)求偏導(dǎo)意義不大。

文[1]第58頁(yè)在推導(dǎo)zxx"的公式時(shí)，認(rèn)為fxy"（x，y）=fyx"（x，y），應(yīng)注意強(qiáng)調(diào)，一般情況下，只有它們?cè)趨^(qū)域D內(nèi)連續(xù)時(shí)才認(rèn)為是相等的。具體見文[6]第231頁(yè)定理。

對(duì)于三元函數(shù)w=f（x，y，z），在約束條件φ（x，y，z）=0下的極值問題處理，亦可借助文[1]的思想進(jìn)行（文[1]針對(duì)的是二元函數(shù)），即構(gòu)造輔助函數(shù)L（x，y，z）=f（x，y，z）+λφ（x，y，z），對(duì)其關(guān)于x，y，z求偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于零結(jié)合約束條件，可得

fx'（x，y，z）+λφx'（x，y，z）=0fy'（x，y，z）+λφy'（x，y，z）=0fz'（x，y，z）+λφz'（x，y，z）=0φ（x，y，z）=0（*）聯(lián)立解出駐點(diǎn)（x0，y0，z0）

為了進(jìn)一步驗(yàn)證駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)和是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)，可結(jié)合二元函數(shù)取得極值的充要條件.默認(rèn)φ（x，y，z）=0確定了z是變量x，y的函數(shù)，即z=φ（x，y）。為此，進(jìn)行如下計(jì)算：

wx'=fx'（x，y，z）+fz'（x，y，z）·zx'，w'y=fy'（x，y，z）+

fz'（x，y，z）·zy'

wxx"=fxx"（x，y，z）+fxz"（x，y，z）·zx'+[fzx"（x，y，z）+fzz"（x，y，z）·zx']·zx'+fz'（x，y，z）·zxx"

wyy"=fyy"（x，y，z）+fyz"（x，y，z）·zy'+[fzy"（x，y，z）+fzz"（x，y，z）·zy']·zy'+fz'（x，y，z）·zyy"

wxy"=fxy"（x，y，z）+fxz"（x，y，z）·zy'+[fzy"（x，y，z）+fzz"（x，y，z）]·zx'+fz'（x，y，z）·zxy"

這樣，可得A=wxx作答即可。

舉例：求表面積為a2而體積為最大的長(zhǎng)方體的體積。

文[2]在第70頁(yè)對(duì)此題目已經(jīng)有解答，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為x，y，z，構(gòu)造的輔助函數(shù)為F（x，y，z）=xyz+λφ（x，y，z），其中φ（x，y，z）=2xy+2yz+2xz-a2且x>0，y>0，z>0利用（*）可得方程組，并解出駐點(diǎn)為（，文[2]對(duì)此可能的極值點(diǎn)未作出進(jìn)一步的確認(rèn)，只是結(jié)合實(shí)際問題的情形給出了結(jié)論.下面筆者給出詳細(xì)解答.

首先計(jì)算目標(biāo)函數(shù)V=xyz的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)：Vx'=yz+xyzx'，Vy'=yz+xyzy'，其中由約束條件2xy+2yz+2xz-a2=0可得則有：

盡管二、三元函數(shù)條件極值問題的處理方法比較多，但從適合學(xué)生理解的程度來(lái)說(shuō)，該方法思路簡(jiǎn)單，計(jì)算量亦比較小，且不容易受題型中約束條件形式上的限制。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉曉俊.求二元函數(shù)條件極值的方法[J].金融教學(xué)與研究，1994（3）：57-59.

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[3]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）[M].第六版.高等教育出版社，2008.

[4]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）[M].第七版.高等教育出版社，2014.

[5]陳傳璋，金福臨，朱學(xué)炎，等.復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系編數(shù)學(xué)分析[M].第二版，高等教育出版社，1994.

[6]舒底清，張孝理.高等數(shù)學(xué)（工科類）[M].高等教育出版社，2018.

◎編輯 張 慧