利用非穩(wěn)態(tài)泊松模型對(duì)云南地區(qū)地震危險(xiǎn)性進(jìn)行概率預(yù)測(cè)*

錢曉東，彭關(guān)靈，賀素歌

(云南省地震局，云南 昆明 650224)

0 引言

在地震發(fā)生隨時(shí)間變化的統(tǒng)計(jì)模型中，穩(wěn)態(tài)泊松過(guò)程在中長(zhǎng)期地震預(yù)測(cè)和地震危險(xiǎn)性分析中得到廣泛應(yīng)用(Cornell，1968；Der，Ang，1977；張永慶等，2007；蘇有錦，李忠華，2011)。在穩(wěn)態(tài)的泊松過(guò)程中，地震事件的平均發(fā)生率λ是一個(gè)常數(shù)，實(shí)際上地震的發(fā)生在時(shí)間分布上極不均勻，往往表現(xiàn)出間歇-成簇狀發(fā)生，具有平靜-活躍特征，λ會(huì)出現(xiàn)較大的變化。有的學(xué)者提出雙泊松模型(Bender，1984)，分別計(jì)算地震平靜期和活躍期平均發(fā)生率λ來(lái)模擬地震發(fā)生過(guò)程，這種方法仍然未能解決地震發(fā)生率λ是一個(gè)隨時(shí)間而變化的量的事實(shí)，因?yàn)榈卣鸬陌l(fā)生具有自相似性，即使在活躍期或平靜期中，地震的發(fā)生仍然具有與整個(gè)序列相似的平靜-活躍特征。

為了更加真實(shí)地描述區(qū)域地震活動(dòng)，Hong和Guo(1995)提出一種非穩(wěn)態(tài)泊松過(guò)程，當(dāng)?shù)卣鹗录苑欠€(wěn)態(tài)泊松過(guò)程發(fā)生時(shí)，事件的發(fā)生率是一個(gè)隨時(shí)間而變化的函數(shù)λ(t)，他們采用U形函數(shù)的發(fā)生率來(lái)模擬強(qiáng)震或強(qiáng)震群后的地震活動(dòng)減弱—平靜—增強(qiáng)過(guò)程。國(guó)內(nèi)一些學(xué)者也采用指數(shù)函數(shù)的發(fā)生率來(lái)模擬強(qiáng)震活動(dòng)過(guò)程(傅征祥等，1998；劉杰等，1998；李冬梅，2000；劉英等，2003)，由于不同區(qū)域強(qiáng)震活動(dòng)不同，他們使用的指數(shù)函數(shù)具體形式存在差異，如單指數(shù)、雙指數(shù)形式等。在目前地震預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)從經(jīng)驗(yàn)向定量化發(fā)展的過(guò)程中，用定量的方法衡量一個(gè)地區(qū)地震活動(dòng)的強(qiáng)弱已越來(lái)越引起廣大學(xué)者的重視，本文對(duì)比穩(wěn)態(tài)與非穩(wěn)態(tài)泊松模型的差異，尋找并建立適合云南地區(qū)強(qiáng)震活動(dòng)的地震發(fā)生率函數(shù)λ(t)，并對(duì)云南不同地震帶進(jìn)行定量化強(qiáng)震概率預(yù)測(cè)。

1 穩(wěn)態(tài)和非穩(wěn)態(tài)泊松過(guò)程

在隨機(jī)過(guò)程理論中將隨機(jī)過(guò)程劃分為平穩(wěn)(穩(wěn)態(tài))隨機(jī)過(guò)程和非平穩(wěn)(非穩(wěn)態(tài))隨機(jī)過(guò)程，如果過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性(均值、方差等)不隨時(shí)間的推移而變化，則為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，平穩(wěn)過(guò)程的所有樣本曲線都會(huì)圍繞一條水平直線上下波動(dòng)，而非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性則隨著時(shí)間的推移而變化(數(shù)學(xué)手冊(cè)編寫組，1979)。在地震領(lǐng)域中，地震概率預(yù)測(cè)模型中比較常用的概率密度函數(shù)有泊松分布模型、對(duì)數(shù)正態(tài)分布模型、韋伯爾分布模型、布朗流逝時(shí)間分布模型、伽瑪分布模型等，其中泊松分布模型在實(shí)際工作中應(yīng)用最廣泛(Kagan，Jackcon，1999；Matthewsetal，2002)。

泊松過(guò)程模型分為穩(wěn)態(tài)和非穩(wěn)態(tài)模型。非穩(wěn)態(tài)泊松過(guò)程是一個(gè)獨(dú)立增量假定的計(jì)數(shù)過(guò)程，在時(shí)間間隔[t1，t2]內(nèi)，泊松事件發(fā)生的數(shù)目是n=N(t2)-N(t1)的概率為(Hong，Guo，1995)：

(1)

式中：n=0，1，2，…；v(τ)是瞬時(shí)平均發(fā)生率；τ是距離最后一次地震的逝去(經(jīng)歷)時(shí)間。當(dāng)事件以非穩(wěn)態(tài)泊松過(guò)程發(fā)生時(shí)，事件重復(fù)發(fā)生的時(shí)間(復(fù)發(fā)時(shí)間)T也是一個(gè)隨機(jī)變量，與該隨機(jī)變量有關(guān)的概率，可由累積分布函數(shù)描述，非穩(wěn)態(tài)泊松過(guò)程復(fù)發(fā)時(shí)間T的累積分布函數(shù)為(Hong，Guo，1995)：

(2)

當(dāng)瞬時(shí)平均發(fā)生率為常數(shù)，即v(τ)=v時(shí)，稱為穩(wěn)態(tài)泊松過(guò)程，從式(1)可得穩(wěn)態(tài)泊松過(guò)程在時(shí)間t內(nèi)發(fā)生n次地震的概率為：

(3)

從式(2)可得穩(wěn)態(tài)泊松過(guò)程累積分布函數(shù)為：

FT(t)=1-exp(-vt)

(4)

式(4)也可理解為在時(shí)間t內(nèi)至少發(fā)生一次地震的概率。對(duì)于穩(wěn)態(tài)泊松過(guò)程恒定平均發(fā)生率vc，可由下式求出：

(5)

式中：T為研究時(shí)間段的長(zhǎng)度；N為在T內(nèi)的地震總數(shù)。

2 穩(wěn)態(tài)和非穩(wěn)態(tài)的平均發(fā)生率

2.1 模型選擇

許多學(xué)者利用不同模型對(duì)強(qiáng)震的平均發(fā)生率進(jìn)行了有益的研究和探索，研究主要集中在強(qiáng)震的累積地震次數(shù)隨時(shí)間變化模型的探討上，張國(guó)民和傅征祥(1985)通過(guò)對(duì)華北強(qiáng)震時(shí)間分布特征研究，認(rèn)為大地震的累積頻度曲線隨時(shí)間的變化呈指數(shù)函數(shù)形式；秦嘉政等(2009)對(duì)云南強(qiáng)震活動(dòng)時(shí)間間隔研究認(rèn)為，地震的累積頻次隨發(fā)震時(shí)間呈冪函數(shù)變化；傅征祥等(1998)和劉杰等(1998)利用一個(gè)假想的泊松分布時(shí)間序列，分別采用雙指數(shù)和指數(shù)模型對(duì)強(qiáng)震發(fā)生率進(jìn)行了研究，本文將采用相同的時(shí)間序列系統(tǒng)地對(duì)事件累積次數(shù)隨時(shí)間的變化規(guī)律進(jìn)行研究。

假設(shè)地震事件序列相鄰地震間隔時(shí)間為：1，3，4，5，10，30，40，50。考慮3種典型排列方式：時(shí)間間隔遞減、時(shí)間間隔遞增和時(shí)間間隔不規(guī)則，分別表示地震活動(dòng)的加速、減速和線性變化。采用Matlab語(yǔ)言非線性回歸模型方法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)(陳桂明等，2002)，對(duì)3種排列方式下冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和雙指數(shù)函數(shù)模型進(jìn)行非線性擬合參數(shù)計(jì)算，結(jié)果表明冪函數(shù)方法直接擬合效果最佳。圖1作為例子給出冪函數(shù)模型非線性擬合曲線，可以看到，累積曲線的變化趨勢(shì)與實(shí)際累積頻次符合程度較好。

2.2 地震發(fā)生率

假設(shè)地震事件為泊松過(guò)程，地震累積頻度N(t)是一種呈冪指數(shù)的增長(zhǎng)過(guò)程：

N(t)=atb+c

(6)

式中：a，b和c是常數(shù)，根據(jù)非線性回歸模型方法可對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。

對(duì)于穩(wěn)態(tài)泊松過(guò)程，地震事件的平均發(fā)生率vc為常數(shù)，由式(5)計(jì)算得到vc=0.06次/年。而對(duì)于非穩(wěn)態(tài)泊松過(guò)程，地震事件的瞬時(shí)發(fā)生率v(t)為：

(a)時(shí)間間隔Δt遞減

(b)時(shí)間間隔Δt遞增

(c)時(shí)間間隔Δt不規(guī)則

(7)

式中：v(t)為包含a，b 2個(gè)參數(shù)的t時(shí)刻的瞬時(shí)發(fā)生率。圖2作為例子給出假想地震事件時(shí)間間隔逐漸減小情況下累積頻度和發(fā)生率。由圖2a可見，對(duì)于穩(wěn)態(tài)泊松過(guò)程，累積頻度N隨時(shí)間t呈線性增長(zhǎng)，發(fā)生率vc為直線的斜率。對(duì)于非穩(wěn)態(tài)泊松過(guò)程，累積頻度N隨時(shí)間t呈非線性增長(zhǎng)，隨著時(shí)間的增長(zhǎng)單位時(shí)間發(fā)生的地震越多。圖2b顯示，對(duì)于穩(wěn)態(tài)泊松過(guò)程，發(fā)生率vc為水平直線，在整個(gè)過(guò)程中恒定不變。對(duì)于非穩(wěn)態(tài)泊松過(guò)程，根據(jù)式(7)計(jì)算的各個(gè)時(shí)刻的瞬時(shí)發(fā)生率v(t)呈非線性變化。

圖2 地震事件時(shí)間間隔逐漸減小情況下累積頻次(a)和地震發(fā)生率(b)Fig.2 Cumulative frequency and earthquake occurrence rate with decreasing time interval of earthquake events

2.3 地震發(fā)生概率

對(duì)于穩(wěn)態(tài)泊松過(guò)程，根據(jù)式(4)和(5)可得(未來(lái))時(shí)間t內(nèi)至少發(fā)生一次地震的概率為：

(8)

式中：T為研究時(shí)間段的長(zhǎng)度；N為在T內(nèi)的地震總數(shù)。

對(duì)于非穩(wěn)態(tài)泊松過(guò)程，根據(jù)式(2)和(7)，假定t0時(shí)刻發(fā)生一次地震，則在[t0，t0+t]時(shí)段內(nèi)至少發(fā)生一次地震的概率為：

(9)

圖3給出假想地震序列時(shí)間間隔逐漸減小情況下累積頻度擬合預(yù)測(cè)及概率，在圖3a中，空心圓表示根據(jù)非線性擬合曲線給出的當(dāng)最后一次地震后t=10 a時(shí)刻的預(yù)測(cè)值。在圖3b中，水平虛線表示不論事件發(fā)生在什么時(shí)間，其后t=10 a的事件發(fā)生的概率都是相同的，為P=0.43。在非穩(wěn)態(tài)泊松過(guò)程中，地震發(fā)生呈非線性加速增加，間隔時(shí)間越來(lái)越短，越到后面越容易發(fā)生地震，如圖3b所示，在最初的時(shí)間間隔Δt較長(zhǎng)的3個(gè)點(diǎn)發(fā)震概率P較低，低于水平直線穩(wěn)態(tài)泊松過(guò)程，從第四個(gè)點(diǎn)開始發(fā)震概率P激劇增加。

穩(wěn)態(tài)泊松過(guò)程模型表示的是地震序列整體的平均狀態(tài)，不考慮序列地震的活躍、平靜過(guò)程，得到的發(fā)震概率P在整個(gè)研究時(shí)間段內(nèi)都是相同的。而在非穩(wěn)態(tài)泊松過(guò)程模型中，隨著地震的活躍、平靜狀態(tài)不同，模型得到的發(fā)震概率P也不相同，更能真實(shí)地反映不同時(shí)間段發(fā)生地震的危險(xiǎn)程度。

圖3 地震事件時(shí)間間隔逐漸減小情況下累積頻次(a)和概率(b)Fig.3 Cumulative frequency and probability with decreasing time interval of earthquake events

3 云南地區(qū)地震發(fā)生概率

3.1 研究資料

云南地區(qū)(20.5°～29.3°N，97.2°～106°E)M≥6.0地震在空間分布上極不均勻，主要沿活動(dòng)斷裂展布，尤其是沿有較強(qiáng)活動(dòng)水平的深大斷裂分布。根據(jù)云南地區(qū)M≥6.0地震的地震活動(dòng)重復(fù)性、地震類型特征與地質(zhì)構(gòu)造關(guān)系，皇甫崗等(2010)將M≥6.0地震劃分為9個(gè)主要地震帶(區(qū))，如圖4所示。1900—2019年，云南地區(qū)共發(fā)生M≥6.0地震95次，9個(gè)地震帶內(nèi)有地震78次，占82%。若按云南省界統(tǒng)計(jì)，云南省內(nèi)共有地震61次，僅有4次地震位于地震帶外，即云南省內(nèi)93%的M≥6.0地震均處于這9個(gè)地震帶內(nèi)。

3.2 地震帶地震危險(xiǎn)性初判

取各個(gè)地震帶M≥6.0地震，若地震帶內(nèi)地震活動(dòng)相對(duì)較弱，可適當(dāng)降低起始震級(jí)，如寧蒗—鹽源地震帶。根據(jù)式(6)，對(duì)各地震帶地震序列進(jìn)行非線性擬合，從擬合方程可以計(jì)算下一次地震應(yīng)該發(fā)生時(shí)間t，如果t小于目前時(shí)間，表明理論計(jì)算的地震在過(guò)去就應(yīng)該發(fā)生，但實(shí)際上卻未發(fā)生，表明地震發(fā)生的危險(xiǎn)性較大。反之，如果計(jì)算得到的t值大于目前時(shí)間，表明理論計(jì)算的地震應(yīng)該在將來(lái)發(fā)生，意味著地震發(fā)生的危險(xiǎn)性相對(duì)較小。因此，通過(guò)計(jì)算一次地震的發(fā)震時(shí)間可以對(duì)地震危險(xiǎn)性進(jìn)行初步判斷。

表1給出云南9個(gè)地震帶參數(shù)及危險(xiǎn)性概率結(jié)果，圖5給出云南各地震帶歷史地震M-t圖和累計(jì)頻度N-t圖及其非線性擬合曲線。假設(shè)截止時(shí)間一律為2019年12月31日，在圖5的M-t圖中用紅色虛豎線表示，在N-t圖中，分別給出了穩(wěn)態(tài)和非穩(wěn)態(tài)計(jì)算結(jié)果，紅色空心圓表示按非線性擬合得到的方程計(jì)算的下一次地震應(yīng)該發(fā)生的時(shí)間，表1給出了具體計(jì)算參數(shù)。

地震帶：1.馬邊—大關(guān)；2.小江；3.通?！?；4.中甸—大理； 5.寧蒗—鹽源；6.南華—楚雄；7.騰沖—龍陵； 8.瀾滄—耿馬；9.思茅—普洱

馬邊—大關(guān)地震帶發(fā)生M≥6.0地震7次，最后一次地震是2014年8月3日魯?shù)镸6.5地震，預(yù)測(cè)的下一次地震應(yīng)該發(fā)生在2039年，目前時(shí)間遠(yuǎn)遠(yuǎn)未到理論應(yīng)發(fā)震時(shí)間，初步判斷該地震帶目前發(fā)生地震的危險(xiǎn)性較小。

小江地震帶發(fā)生M≥6.0地震5次，最后一次地震是1985年4月18日祿勸M6.2地震，預(yù)測(cè)的下一次地震應(yīng)該發(fā)生在2000年，目前時(shí)間遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)理論應(yīng)發(fā)震時(shí)間，初步判斷該地震帶目前發(fā)生地震的危險(xiǎn)性較大。

通海—石屏地震帶發(fā)生M≥6.0地震7次，最后一次地震是1970年1月5日通海M7.8地震，預(yù)測(cè)的下一次地震應(yīng)該發(fā)生在1988年，目前時(shí)間遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)理論應(yīng)發(fā)震時(shí)間，初步判斷該地震帶目前發(fā)生地震的危險(xiǎn)性較大。

中甸—大理地震帶發(fā)生M≥6.0地震9次，最后一次地震是1996年2月3日麗江M7.0地震，預(yù)測(cè)的下一次地震應(yīng)該發(fā)生在2008年，目前時(shí)間超過(guò)理論應(yīng)發(fā)震時(shí)間，初步判斷該地震帶目前發(fā)生地震的危險(xiǎn)性較大。

寧蒗—鹽源地震帶發(fā)生M≥5.5地震8次，其中6.0～6.9級(jí)地震3次，由于該地震帶6級(jí)以上地震較少，因此將該地震帶起始震級(jí)適當(dāng)下降為5.5級(jí)，該地震帶最后一次地震是2012年6月24日寧蒗M5.7地震，預(yù)測(cè)的下一次地震應(yīng)該發(fā)生在2032年，目前時(shí)間遠(yuǎn)遠(yuǎn)未到理論應(yīng)發(fā)震時(shí)間，初步判斷該地震帶目前發(fā)生地震的危險(xiǎn)性較小。

楚雄—南華地震帶發(fā)生M≥6.0地震5次，最后一次地震是2009年7月9日姚安M6.0地震，預(yù)測(cè)的下一次地震應(yīng)該發(fā)生在2014年，目前時(shí)間超過(guò)理論應(yīng)發(fā)震時(shí)間，初步判斷該地震帶目前發(fā)生地震的危險(xiǎn)性較大。

騰沖—龍陵地震帶發(fā)生M≥6.0地震14次，最后一次地震是2014年5月30日盈江M6.1地震，預(yù)測(cè)的下一次地震應(yīng)該發(fā)生在2028年，目前時(shí)間未到理論應(yīng)發(fā)震時(shí)間，初步判斷該地震帶目前發(fā)生地震的危險(xiǎn)性較小。

瀾滄—耿馬地震帶發(fā)生M≥6.0地震17次，其中7級(jí)以上地震多達(dá)8次，是云南地區(qū)7級(jí)以上大地震最容易發(fā)生的地震帶，該地震帶最后一次地震是2011年3月24日中緬交界M7.2地震，預(yù)測(cè)的下一次地震應(yīng)該發(fā)生在2018年，目前時(shí)間略超過(guò)理論應(yīng)發(fā)震時(shí)間，初步判斷該地震帶目前存在發(fā)生地震的危險(xiǎn)性。

思茅—普洱地震帶發(fā)生M≥6.0地震11次，無(wú)7級(jí)以上地震，該地震帶是云南地區(qū)6級(jí)地震最集中的地震帶，最后一次地震是2014年10月7日景谷M6.6地震，預(yù)測(cè)下一次地震應(yīng)該發(fā)生在2022年，目前時(shí)間未達(dá)到理論應(yīng)發(fā)震時(shí)間，初步判斷該地震帶目前發(fā)生地震的危險(xiǎn)性小。

從以上分析可以得知，假定未來(lái)地震的發(fā)展趨勢(shì)遵循歷史演化規(guī)律，則可以用計(jì)算的下一次地震發(fā)生時(shí)間的方法對(duì)未來(lái)地震進(jìn)行定性判定，但無(wú)法進(jìn)行定量描述，只能對(duì)地震危險(xiǎn)性進(jìn)行初步判斷。從表1還可以看到，計(jì)算的下一次地震發(fā)生時(shí)間的誤差還是較大的，誤差最大達(dá)26年，大多數(shù)誤差在8年以內(nèi)，誤差偏大的主要原因是樣本的時(shí)間跨度長(zhǎng)而樣本數(shù)又不多。如果簡(jiǎn)單按照計(jì)算得到的下次地震理論計(jì)算時(shí)間從小到大排序，可初步將云南地震帶地震危險(xiǎn)性的危險(xiǎn)程度從高到低排列如下：通?！恋卣饚?、小江地震帶、中甸—大理地震帶、楚雄—南華地震帶、瀾滄—耿馬地震帶、寧蒗—鹽源地震帶、思茅—普洱地震帶、馬邊—大關(guān)地震帶。

(a)馬邊—大關(guān)地震帶

(c)通?！恋卣饚?/p>

(d)中甸—大理地震帶

(e)寧蒗—鹽源地震帶

(f)楚雄—南華地震帶

(g)騰沖—龍陵地震帶

(h)瀾滄—耿馬地震帶

(i)思茅—普洱地震帶

3.3 地震帶理論概率

利用基于非穩(wěn)態(tài)泊松分布的概率模型來(lái)對(duì)地震帶地震危險(xiǎn)性進(jìn)行定量判定。假定t0時(shí)刻發(fā)生一次地震，則在[t0，t0+t]時(shí)段內(nèi)至少發(fā)生一次地震的概率可以用式(9)計(jì)算，在本文的研究中，統(tǒng)一取2019年12月31日為截止時(shí)間，以式(9)計(jì)算2019年12月31日以后tp=1年各地震帶至少發(fā)生1次地震的概率，tp為預(yù)測(cè)時(shí)間，因此，式(9)中時(shí)間t為最后一次地震到2019年12月31日的時(shí)間與預(yù)測(cè)時(shí)間tp之和，引入截止時(shí)間能使要計(jì)算的地震的時(shí)間概念清楚。對(duì)各個(gè)地震帶的預(yù)測(cè)統(tǒng)一為相同時(shí)間tp=1年，否則若以t0為基準(zhǔn)，由于各地震帶有不同t0，計(jì)算的未來(lái)地震發(fā)生的時(shí)間就不相同。

表1 云南地震帶地震發(fā)生的理論概率Tab.1 Theoretical probability of earthquake occurrence in Yunnan seismic belt

根據(jù)上述規(guī)定，從表1及圖5可見，云南各個(gè)地震帶的強(qiáng)震序列，以時(shí)間間隔逐漸增長(zhǎng)和時(shí)間間隔無(wú)規(guī)律2種過(guò)程居多，未發(fā)現(xiàn)序列時(shí)間間隔逐漸減小過(guò)程，小江地震帶累積頻度隨時(shí)間呈非線性增長(zhǎng)，但增長(zhǎng)幅度不大(圖5b)，在這種情況下非穩(wěn)態(tài)概率大于穩(wěn)態(tài)概率；瀾滄—耿馬地震帶累積頻度隨時(shí)間呈線性增長(zhǎng)(圖5h)，非穩(wěn)態(tài)概率與穩(wěn)態(tài)概率大致相同；大部分地震帶累積頻度隨時(shí)間呈非線性減小，非穩(wěn)態(tài)概率小于穩(wěn)態(tài)概率。從圖5還可以看到，曲線向下彎曲越多非穩(wěn)態(tài)概率和穩(wěn)態(tài)概率相差越大，如寧蒗—鹽源、騰沖—龍陵、思茅—普洱地震帶。

圖6a給出云南各地震帶非穩(wěn)態(tài)泊松分布的概率模型預(yù)測(cè)未來(lái)tp=1年地震發(fā)生理論概率，從圖中可以看到，理論概率最高的地震帶為通?！恋卣饚?、小江地震帶和楚雄—南華地震帶，中甸—大理地震帶和瀾滄—耿馬地震帶次之，其它地震帶理論概率較小，這個(gè)結(jié)果與本文根據(jù)計(jì)算下次地震發(fā)震時(shí)間做出的初步危險(xiǎn)性判定結(jié)果一致。

圖6 云南地震帶理論概率(a)和綜合概率(b)Fig.6 Theoretical probability and synthetical probability of Yunnan seismic belt

3.4 地震帶綜合概率

表1僅給出根據(jù)非穩(wěn)態(tài)泊松分布的概率模型計(jì)算的理論概率值，一些因素對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果存在影響，需要在理論計(jì)算的基礎(chǔ)上進(jìn)行綜合考慮。從表1可以看出，一些地震帶地震的預(yù)測(cè)時(shí)間比目前時(shí)間早，即按理論計(jì)算地震應(yīng)該已經(jīng)發(fā)生，但實(shí)際上還未發(fā)生，表2給出目前至預(yù)測(cè)地震的時(shí)間間隔(Y3)參數(shù)，當(dāng)Y3為正數(shù)時(shí)表示預(yù)測(cè)時(shí)間提前，這種情況涉及到小江地震帶、通海—石屏地震帶、中甸—大理地震帶、楚雄—南華地震帶和瀾滄—耿馬地震帶，其中小江地震帶、通?！恋卣饚Ш椭械椤罄淼卣饚ьA(yù)測(cè)提前的時(shí)間較多。整體來(lái)看，以下一些因素可能對(duì)地震預(yù)測(cè)造成影響：

(1)時(shí)間間隔。這是單純利用平靜時(shí)間來(lái)預(yù)測(cè)地震的危險(xiǎn)程度，平靜時(shí)間越長(zhǎng)發(fā)震的可能性就越大，表2給出目前至預(yù)測(cè)地震的時(shí)間間隔(Y3)參數(shù)，Y3越大平靜時(shí)間越長(zhǎng)，在綜合考慮預(yù)測(cè)結(jié)果時(shí)，對(duì)時(shí)間間隔這一因素，認(rèn)為Y3越大，對(duì)綜合概率P的貢獻(xiàn)越大。

(2)預(yù)測(cè)精度。從圖5看到，實(shí)際值與理論預(yù)測(cè)值的誤差越小，預(yù)測(cè)的信度越高，使用平均絕對(duì)百分比誤差MAPE來(lái)衡量預(yù)測(cè)精度：

(10)

式中：yi，i分別為預(yù)測(cè)對(duì)象的實(shí)際值和預(yù)測(cè)值。表2中給出了各地震帶的MAPE值(Y2)，絕大多數(shù)在15%以內(nèi)，馬邊—大關(guān)地震帶、小江地震帶和思茅—普洱地震帶誤差偏大。因此，在綜合考慮預(yù)測(cè)結(jié)果時(shí)，對(duì)預(yù)測(cè)精度這一因素，認(rèn)為MAPE值越小，對(duì)綜合概率P的貢獻(xiàn)越大。

(3)最后地震的震級(jí)。某地區(qū)發(fā)生較大地震后再次發(fā)生地震的時(shí)間一般比相對(duì)較小地震后平靜的時(shí)間要長(zhǎng)，即大地震后能量釋放較為徹底，需要更長(zhǎng)的時(shí)間來(lái)進(jìn)行能量積累。上文提到一些地震帶理論計(jì)算的地震早應(yīng)該發(fā)生，但實(shí)際卻沒(méi)有發(fā)生，從這些地震帶的最后地震震級(jí)來(lái)看，目前至預(yù)測(cè)地震的時(shí)間間隔(Y3)較長(zhǎng)的地震帶為小江地震帶、通海—石屏地震帶和中甸—大理地震帶，后2個(gè)地震帶最后地震震級(jí)均大于等于7級(jí)，地震后實(shí)際平靜時(shí)間超出理論值可以用能量積累需要更長(zhǎng)時(shí)間來(lái)解釋。表2給出各地震帶最后地震震級(jí)(Y4)，在綜合考慮預(yù)測(cè)結(jié)果時(shí)，對(duì)最后地震震級(jí)這一因素，認(rèn)為震級(jí)M越小，對(duì)綜合概率P的貢獻(xiàn)越大。

(4)資料長(zhǎng)度。從圖5可以看到，由于各地震帶地震活動(dòng)水平和歷史地震記錄完整性不同，資料的使用時(shí)間長(zhǎng)度是不同的，資料的時(shí)間越長(zhǎng)越能較全面反映該地區(qū)地震活動(dòng)狀態(tài)，預(yù)測(cè)信度也越高，表2給出各地震帶資料長(zhǎng)度(Y5)，在綜合考慮預(yù)測(cè)結(jié)果時(shí)，對(duì)資料長(zhǎng)度這一因素，認(rèn)為資料越長(zhǎng)，對(duì)綜合概率P的貢獻(xiàn)越大。

表2 云南地震帶綜合概率Tab.2 Synthetical probability of earthquake occurrence in Yunnan seismic belt

由于目標(biāo)是考慮諸多因素對(duì)理論計(jì)算概率值的影響，假設(shè)各個(gè)因素(或單項(xiàng))對(duì)綜合概率P的總貢獻(xiàn)(或權(quán)重ω)為1，則理論概率(Y1)的權(quán)重ω1應(yīng)大于Y2～Y5各單項(xiàng)權(quán)重，Y2～Y5各項(xiàng)取等權(quán)重。因此，各權(quán)重可取為：

ωi=(ω1,ω2,ω3,ω4,ω5)=(0.3,0.15,0.15,0.15,0.15)

(11)

對(duì)表2中Y1～Y5各列進(jìn)行歸一化處理(其中Y2，Y4先取倒數(shù))，利用權(quán)重集成法計(jì)算綜合概率P(陳立德，1993)：

(12)

從表2的理論概率與綜合概率的變化可以看到，小江地震帶、通?！恋卣饚Ш统邸先A地震帶理論概率較高，計(jì)算后綜合概率均出現(xiàn)一定減小，小江地震帶是由于誤差(MAPE)較大，通?！恋卣饚怯捎谧詈蟮卣鹫鸺?jí)達(dá)7.8級(jí)，楚雄—南華地震帶是由于資料時(shí)間較短。馬邊—大關(guān)地震帶綜合概率出現(xiàn)一定增大，是由于Y3，Y5貢獻(xiàn)較多。從圖6b可以看到，小江地震帶和通海—石屏地震帶綜合概率相對(duì)較高，范圍為0.60～0.69，中甸—大理地震帶、楚雄—南華地震帶和瀾滄—耿馬地震帶綜合概率次之，范圍為0.50～0.59，其它地震帶綜合概率相對(duì)較小。

4 結(jié)論和討論

針對(duì)強(qiáng)震危險(xiǎn)性概率預(yù)測(cè)問(wèn)題，提出基于非穩(wěn)態(tài)泊松過(guò)程的概率計(jì)算方法，通過(guò)穩(wěn)態(tài)與非穩(wěn)態(tài)模型對(duì)比研究發(fā)現(xiàn)，非穩(wěn)態(tài)泊松模型隨時(shí)間而變化的地震發(fā)生率能更好地描述強(qiáng)震發(fā)生規(guī)律，利用非穩(wěn)態(tài)泊松模型計(jì)算了地震發(fā)生的理論概率，發(fā)現(xiàn)理論概率受到預(yù)測(cè)精度、平靜時(shí)間、最近地震大小等諸多因素影響，利用權(quán)重集成法計(jì)算了強(qiáng)震發(fā)生的綜合概率。結(jié)果表明：①地震發(fā)生的累積頻度隨時(shí)間的非線性變化能用冪指數(shù)函數(shù)模型來(lái)描述；②基于非穩(wěn)態(tài)泊松模型的地震發(fā)生率隨時(shí)間而變化，與地震發(fā)生率恒定不變的穩(wěn)態(tài)模型相比，前者對(duì)地震活躍-平靜韻律狀態(tài)更加敏感；③對(duì)云南地區(qū)9個(gè)地震帶強(qiáng)震發(fā)生的綜合概率計(jì)算結(jié)果顯示，若以2019年12月31日為截止時(shí)間，小江地震帶和通?！恋卣饚ЬC合概率較高大于0.6，其次為中甸—大理地震帶、楚雄—南華地震帶和瀾滄—耿馬地震帶，綜合概率范圍為0.5～0.59，其它地震帶綜合概率均小于0.5。

(1)假設(shè)本輪回的地震活動(dòng)可能重演上一輪回的活動(dòng)，這是利用非穩(wěn)態(tài)泊松模型進(jìn)行預(yù)測(cè)的基礎(chǔ)。如果一次地震發(fā)生后，無(wú)法判定地震活動(dòng)輪回是否結(jié)束，則認(rèn)為地震活動(dòng)將延續(xù)之前活動(dòng)過(guò)程。如果一次地震發(fā)生后能確定是輪回的結(jié)束，新的一個(gè)輪回即將開始，則將上一次輪回過(guò)程結(jié)束的時(shí)間作為下一次輪回的開始，因此作為輪回開始和輪回進(jìn)行中得到的概率是不同的，在計(jì)算概率之前需要先對(duì)輪回過(guò)程進(jìn)行判定。

(2)當(dāng)?shù)卣鹦蛄谐尸F(xiàn)加速增長(zhǎng)時(shí)，非穩(wěn)態(tài)泊松過(guò)程序列初期的地震發(fā)生率要低于整個(gè)全過(guò)程平均發(fā)生率(即穩(wěn)態(tài)泊松過(guò)程發(fā)生率)，之后非穩(wěn)態(tài)發(fā)生率將隨時(shí)間增大，尤其是到后期增加較快。當(dāng)?shù)卣鹦蛄须S時(shí)間呈現(xiàn)大幅減小時(shí)，地震活動(dòng)加速增長(zhǎng)。反之，當(dāng)?shù)卣鹦蛄袝r(shí)間間隔逐漸增加時(shí)，初期發(fā)震率較高，越到后期發(fā)震率越小。當(dāng)?shù)卣鹦蛄谐示€性均勻增長(zhǎng)時(shí)，序列各個(gè)時(shí)期的地震發(fā)生率與整個(gè)全過(guò)程平均發(fā)生率相當(dāng)。

(3)本文認(rèn)為地震事件累積頻度N隨時(shí)間t呈冪指數(shù)增長(zhǎng)，這種冪指數(shù)增長(zhǎng)模式大量存在于自然現(xiàn)象中，蔣海昆等(2009)進(jìn)行巖石破裂聲發(fā)射實(shí)驗(yàn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)巖石材料在受壓破壞之前聲發(fā)射的強(qiáng)度隨時(shí)間呈冪指數(shù)增長(zhǎng)(或減小)模式；秦嘉政和錢曉東(2004)研究了云南地區(qū)30次中強(qiáng)地震震前應(yīng)變釋放現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)地震應(yīng)變能隨時(shí)間呈冪指數(shù)增長(zhǎng)(或減小)模式變化；蔣長(zhǎng)勝和吳忠良(2009)對(duì)中國(guó)大陸109例M≥5.7地震進(jìn)行地震矩研究，也發(fā)現(xiàn)地震矩釋放隨時(shí)間呈冪指數(shù)增長(zhǎng)(或減小)變化；本文得到的地震事件累積頻次隨時(shí)間呈冪指數(shù)增長(zhǎng)現(xiàn)象，可能反映了地震現(xiàn)象的某種規(guī)律。

(4)式(6)中常數(shù)b是重要參數(shù)，它是地震發(fā)生快慢程度的反映，當(dāng)b＞1時(shí)，累積頻度隨時(shí)間曲線為加速形態(tài)，表示事件時(shí)間間隔Δt遞減，隨時(shí)間的增長(zhǎng)地震事件發(fā)生愈多，發(fā)生率增大，事件發(fā)生概率增大。當(dāng)b＞1時(shí)，曲線為減速形態(tài)，表示事件的時(shí)間間隔Δt遞增，隨時(shí)間的增長(zhǎng)地震事件發(fā)生愈少，事件發(fā)生率減小，發(fā)生概率減小，上述2種情況為非穩(wěn)態(tài)泊松分布，適用于大量地震活動(dòng)具有非均勻分布的地區(qū)。當(dāng)b=1時(shí)，曲線為直線形態(tài)，表示事件時(shí)間間隔Δt呈無(wú)規(guī)則分布，隨時(shí)間增長(zhǎng)地震事件發(fā)生的數(shù)目不變，同時(shí)事件發(fā)生率和發(fā)震概率也不變，這種情況為穩(wěn)態(tài)泊松分布，適用于一些地震活動(dòng)相對(duì)均勻的地區(qū)。

(5)統(tǒng)計(jì)結(jié)果與樣本、區(qū)域、時(shí)段、方法密切相關(guān)，不同的統(tǒng)計(jì)對(duì)象會(huì)給出不同結(jié)果，尤其在做長(zhǎng)時(shí)間歷史地震統(tǒng)計(jì)分析時(shí)，一定要考慮歷史地震可能存在的遺漏現(xiàn)象，尤其是7級(jí)以下地震，因此在具體分析預(yù)測(cè)中應(yīng)注意到這些情況。