借助幾何直觀，理解概念本質(zhì)

邱蓮

【教學(xué)目標(biāo)】

1. 經(jīng)歷從“想象”圖形拼擺到“算式”多元表征，初步認(rèn)識因數(shù)和倍數(shù)含義。

2. 通過討論、交流、比較等探索一個數(shù)因數(shù)或倍數(shù)的求法，進(jìn)一步體會數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)的有序性和一一對應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法。

3. 進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)和運(yùn)算的學(xué)習(xí)興趣，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。

【教學(xué)重點(diǎn)】理解因數(shù)和倍數(shù)的含義，掌握有序列舉一個數(shù)的因數(shù)及倍數(shù)的方法，了解一個數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)的特點(diǎn)。

【教學(xué)難點(diǎn)】能有序列舉出一個數(shù)的所有因數(shù)。

一、 想象操作，初識概念

1. 尋求模型

師：用12個大小相同的小正方形拼成一個長方形，可以怎么拼？

學(xué)生獨(dú)立思考、記錄，教師巡視并收集典型作業(yè)，組織學(xué)生進(jìn)行有序反饋。

2. 建構(gòu)模型

課件呈現(xiàn)三種擺法：每排擺3個，擺4排；每排擺2個，擺6排；每排擺12個，擺1排。

3. 揭示概念

師：用12個大小相同的小正方形拼一個長方形，每排擺4個，正好擺3排，我們就說3是12的因數(shù)，4也是12的因數(shù)；反過來，12是3的倍數(shù)，12也是4的倍數(shù)。

揭題：今天這節(jié)課，我們就一起學(xué)習(xí)“因數(shù)和倍數(shù)”。（板書課題：因數(shù)和倍數(shù)）

【設(shè)計(jì)意圖】用12個同樣大小的正方形拼成一個長方形，學(xué)生經(jīng)歷了“由形到數(shù)，再由數(shù)到形”的過程，初步感知因數(shù)和倍數(shù)的關(guān)系，為因數(shù)和倍數(shù)概念的建立和理解提供形象的支撐。

二、 交流辨析，意義建構(gòu)

1. 交流中理解

師：根據(jù)算式2×6=12、1×12=12，你能說說哪個數(shù)是哪個數(shù)的因數(shù)，哪個數(shù)是哪個數(shù)的倍數(shù)嗎？

生：1是12的因數(shù)，12是12的因數(shù)，12是1的倍數(shù)，12是12的倍數(shù)。

設(shè)疑：想一想，我們可以直接說“1是因數(shù)，12是倍數(shù)”嗎？

明確：因數(shù)和倍數(shù)是指兩個數(shù)之間的關(guān)系。在表達(dá)時(shí)一定要說清“哪個數(shù)是哪個數(shù)的因數(shù)，哪個數(shù)是哪個數(shù)的倍數(shù)”。

2. 辨析中明確

師：5是12的因數(shù)嗎？

生：12個小正方形擺長方形，每排擺5個，擺2排，余2個，所以5不是12的因數(shù)。

小結(jié)：回顧一下，剛才我們是怎樣認(rèn)識“因數(shù)和倍數(shù)”的？明確，12的因數(shù)有1、2、3、4、6、12。

【設(shè)計(jì)意圖】教師從直觀圖上揭示因數(shù)和倍數(shù)的概念，使概念的揭示直觀化，突破從抽象到抽象的固有模式，讓學(xué)生真正理解因數(shù)和倍數(shù)這對概念的內(nèi)涵。

三、 應(yīng)用概念，探索方法

（一） 尋找因數(shù)，歸納特征

1. 出示要求

提問：找出36的所有因數(shù)，并說說自己是怎樣找到的？

2. 提煉方法

提問：找36的因數(shù)時(shí)，怎樣才能做到不重復(fù)、不遺漏地找出所有因數(shù)？

小結(jié)：利用乘法或除法算式，一對一對地找，重復(fù)的因數(shù)只寫一個。

3. 觀察比較，歸納特征

師：觀察12、36、20三數(shù)的因數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：每個數(shù)最小的因數(shù)都是1，最大的因數(shù)是它本身。

師：這些數(shù)的因數(shù)有沒有可能是0？還有不同的發(fā)現(xiàn)嗎？

生：每個非0自然數(shù)都等于1和它本身相乘，所以它的因數(shù)中，最小的一定是1，最大的一定是它本身，而且因數(shù)的個數(shù)是有限的。

【設(shè)計(jì)意圖】在找36的因數(shù)時(shí)，教師給予學(xué)生充足的自主探究時(shí)間，引導(dǎo)學(xué)生比較不同的方法，體會一一對應(yīng)的數(shù)學(xué)思想。

（二） 尋找倍數(shù)，歸納特征

1. 出示小組學(xué)習(xí)要求

（1） 小組交流：嘗試用列舉的方法找出3的倍數(shù)。能找出多少個？是怎樣找的？在找的過程中遇到什么困惑？通過交流，進(jìn)一步調(diào)整、優(yōu)化方法。（2） 全班交流：再用列舉的方法找出2和5的倍數(shù)。思考：一個數(shù)的倍數(shù)有什么共同特點(diǎn)？

發(fā)現(xiàn)：一個數(shù)的倍數(shù)中最小的是它本身；一個數(shù)的倍數(shù)沒有最大的，因?yàn)橐粋€數(shù)的倍數(shù)有無數(shù)個。

2. 對比提升

思考：找一個數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？

全班交流：相同之處是因數(shù)和倍數(shù)都是從算式中有序地找；因數(shù)、倍數(shù)都有它本身；不同之處是一個數(shù)的因數(shù)是有限的，一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的。

呈現(xiàn)數(shù)軸：以6為例，6的因數(shù)有1、2、3、6（邊說邊圈），6的倍數(shù)有6、12、18……（邊說邊圈），仔細(xì)觀察，你有什么發(fā)現(xiàn)？

預(yù)設(shè)：6的最大因數(shù)、最小倍數(shù)都是它本身；6的因數(shù)從它的本身向內(nèi)找，倍數(shù)從它的本身向外找，一個數(shù)的最大因數(shù)和最小倍數(shù)都是它本身……

小結(jié)：從數(shù)軸上我們看到一個數(shù)的因數(shù)是有限的，一個數(shù)倍數(shù)是無限的。

【設(shè)計(jì)意圖】在找一個數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)的相同與不同點(diǎn)時(shí)，數(shù)軸很好地實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，幫助學(xué)生厘清知識背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

四、 拓寬視野，思維延伸

介紹尋求完美數(shù)的艱苦歷程。設(shè)疑：究竟還有沒有其他的完美數(shù)呢？

【設(shè)計(jì)意圖】提出問題，激發(fā)學(xué)生探索的興趣，讓思維向深處延伸。

（作者單位：睢寧縣實(shí)驗(yàn)小學(xué)）