一維有限深勢阱中Ehrenfest定理的證明與驗證研究

周啟航，趙曉東，張海豐*

(1.佳木斯大學 理學院，黑龍江 佳木斯 154007；2.延邊大學 護理學院，吉林 延吉 133002)

眾所周知，一維方形勢阱是非相對論量子力學中能夠嚴格求解的基本物理模型之一，在很多方面得到了廣泛的應用和研究，例如：孫康瑤對無限深勢阱中全同粒子本征問題進行了數(shù)值模擬[1]；胡明飛成功的討論了二維無限深圓方勢阱中的定態(tài)幾率分布問題[2]；楊梓騫給出了一維有限深方勢阱中能量算符的數(shù)值解和近似解[3]；柳飛對一維無限深方勢阱中的力算符進行了詳細研究[4-5]；楊紅衛(wèi)對三維無限深勢阱進行了可視化研究[6]；趙文靜研究了半無限深勢阱中自旋相關玻色-愛因斯坦凝聚[7]。另外，Ehrenfest定理作為能量表象中的重要定理之一也被得到了大量的研究和應用，例如：張運海在糾纏態(tài)表象下給出了廣義Ehrenfest定理[8]；Vidal A.研究了一維箱勢阱中的Ehrenfest定理和玻姆量子勢[9]；Lijo T.給出了光得Ehrenfest定理及其非經(jīng)典態(tài)[10]。本文旨在一維有限深方勢阱中證明Ehrenfest定理成立，并利用一維無限深勢阱的基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)波函數(shù)構造出體系任意時刻的波函數(shù)，以此對推導的Ehrenfest定理加以驗證。

1 一維有限深勢阱中Ehrenfest定理的證明

根據(jù)薛定諤方程及其共軛方程

(1)

(2)

(3)

(4)

于是坐標x算符的平均值〈x〉對時間的導數(shù)為

(5)

于是將式(1)和(2)代入上式可知

(6)

對(6)式采用分部積分后得到

(7)

按照極限條件式(3)和(4)可知，式(7)可以變?yōu)?/p>

(8)

對第一分項分部積分得出

(9)

(10)

對ψ(x,t)的導數(shù)中可以交換對時間和空間的求導次序并利用薛定諤方程(1)則上式可以變?yōu)?/p>

(11)

對上式第一項取部分積分可知

(12)

按照極限條件式(3)和(4)可知，式(12)變?yōu)?/p>

(13)

對上式進行分部積分可得

(14)

所以式(11)變?yōu)?/p>

(15)

2 Ehrenfest定理的驗證

設t=0時刻，體系處于上述一維無限深勢阱的基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)波函數(shù)線性組合態(tài)上，即

ψ(x,0)=αψ1(x)+βψ2(x)

(16)

(17)

設一維無限深勢阱的哈密頓算符的含時定態(tài)波函數(shù)為

(18)

按照狀態(tài)疊加原理可知，對于任意時刻

(19)

所以坐標算符平均值〈x〉可以表示為

(20a)

進一步推導可得

(20b)

下邊計算上式的各個積分

(21)

(22)

所以

(23)

同理

(24)

(25)

(26)

所以

(27)

進一步計算可得

(28)

所以

(29)

(30)

對于上式，根據(jù)函數(shù)的奇偶性可得

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

使用上面同樣的定義，我們得到

(36)

所以

(37)

比較式(29)和(37)可知，兩式的結果完全相同，即Ehrenfest定理得以驗證。

3 結論