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    非對(duì)稱異型沉箱浮游穩(wěn)定計(jì)算

    2020-04-28 13:52:24楊彥豪姜淞云張志斌
    水運(yùn)工程 2020年4期
    關(guān)鍵詞:形心慣性矩沉箱

    楊彥豪,姜淞云,張志斌

    (1.中國(guó)港灣工程有限公司,北京 100027;2.中交四航工程研究院有限公司,廣東 廣州 510230)

    在港口碼頭工程中,由于混凝土沉箱具有耐久性高、整體性好、造價(jià)較低和運(yùn)輸安裝方便等特點(diǎn),應(yīng)用越來(lái)越廣泛。對(duì)于常規(guī)對(duì)稱式沉箱的浮游穩(wěn)定計(jì)算,規(guī)范[1]中已給出明確的計(jì)算方法。多數(shù)工程中所用的沉箱均為規(guī)則對(duì)稱式矩形結(jié)構(gòu)[2-3],部分工程中出現(xiàn)了圓形[4]或橢圓形[5]沉箱,但均為對(duì)稱結(jié)構(gòu)。因此都可以采用規(guī)范方法直接進(jìn)行計(jì)算。

    然而,對(duì)于非對(duì)稱異型沉箱的浮游穩(wěn)定計(jì)算,由于其結(jié)構(gòu)形式不滿足規(guī)范中所要求的前提條件,因此該方法已不再適用。必須根據(jù)異型沉箱的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),重新推導(dǎo)并給出浮游穩(wěn)定計(jì)算方法,以確保其施工過(guò)程中的穩(wěn)定和安全。

    1 概況

    阿比讓港口擴(kuò)建項(xiàng)目是科特迪瓦近年來(lái)最大的項(xiàng)目,也是中國(guó)港灣在該國(guó)乃至西部非洲地區(qū)非常重要的項(xiàng)目,具有重大的政治、經(jīng)濟(jì)和社會(huì)影響力。本項(xiàng)目中新建碼頭為重力式沉箱結(jié)構(gòu),碼頭岸線如圖1所示,其中一個(gè)拐角的角度為124°,為保證岸線平順銜接,設(shè)計(jì)布置兩個(gè)互為鏡像的異型非對(duì)稱沉箱,沉箱位置見圖1。

    圖1 碼頭岸線及異型沉箱

    沉箱預(yù)制安裝前需要進(jìn)行浮游穩(wěn)定計(jì)算,以確保安裝過(guò)程中沉箱的穩(wěn)定與安全,避免發(fā)生傾覆。鑒于兩個(gè)異型沉箱的非對(duì)稱性,無(wú)法利用現(xiàn)有規(guī)范方法進(jìn)行計(jì)算,因此需要從浮游穩(wěn)定的理論出發(fā),推導(dǎo)任意物體的浮游穩(wěn)定計(jì)算公式。

    2 計(jì)算公式推導(dǎo)

    2.1 歐拉傾斜軸定理

    圖2為任意懸浮于水中的物體,其靜止時(shí)的初始浸水面為W0L0。當(dāng)該物體受到擾動(dòng)發(fā)生擺動(dòng)時(shí),產(chǎn)生一個(gè)小傾角θ,此時(shí)其浸水面為WθLθ。如果傾角θ足夠小,平面W0L0和WθLθ的交線為直線,稱該直線為傾斜軸。由于物體僅做小角度擺動(dòng),浸沒(méi)的體積不變,則傾斜軸兩邊的體積應(yīng)相等[6]。

    圖2 任意懸浮于水中的物體

    如圖2所示,以傾斜軸為X軸,以豎直方向?yàn)閆軸,以物體內(nèi)部X軸上任意一點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系,作出平面W0L0和WθLθ在YOZ平面的投影圖3a),作出W0L0在XOY平面上的投影圖3b)。

    圖3a)中右側(cè)出水的微體積為V1、面積為S1,左側(cè)浸入水面的微體積為V2、面積為S2,則有:

    V1=?s1ytanθds

    (1)

    V2=-?s2ytanθds

    (2)

    由于傾斜角θ很小,認(rèn)為V1和V2相等。

    ?s1ytanθds=-?s2ytanθds

    (3)

    又因?yàn)椋?/p>

    S=S1+S2

    (4)

    所以有:

    ?syds=0

    (5)

    即傾斜軸通過(guò)浸水面的形心。

    圖3 浸水面在YOZ和XOY平面上的投影

    2.2 定傾半徑

    文獻(xiàn)[6]給出體積移動(dòng)定理,即:

    (6)

    式中:xG為原始坐標(biāo);x′G為移動(dòng)后坐標(biāo);xd為對(duì)應(yīng)物體中移動(dòng)部分在x方向移動(dòng)的距離;V′為物體中移動(dòng)部分的體積;V為物體總體積。

    根據(jù)體積移動(dòng)定理不難發(fā)現(xiàn),懸浮物體的擺動(dòng)導(dǎo)致其中一部分浸入、另一部分浮出水面,這引起了物體的浮心變化。由2.1節(jié)可知,微體積的底為dxdy,高為ytanθ。則變化的微體積為V′=ytanθdxdy。

    按前述方法建立的坐標(biāo)系,浮心點(diǎn)初始坐標(biāo)為B0(0,0,0),則可以得到Bθ(xB,yB,zB):

    (7)

    (8)

    (9)

    式中:V為物體體積;S為浸水面面積;Ixy為浸水面W0L0關(guān)于X、Y軸的慣性積;Ixx為浸水面W0L0關(guān)于X軸的慣性矩。

    可以看出,zB為θ的高階無(wú)窮小,所以zB相對(duì)于xB和yB可以忽略不計(jì)。

    對(duì)于xB而言,如果Ixy不為0,則xB也不為0。此時(shí),變化后的浮心Bθ將不與W0L0共面,沉箱小角度擺動(dòng)就變成了三維運(yùn)動(dòng);但是如果Ixy為0,那么xB也等于0,此時(shí),沉箱僅做二維擺動(dòng)。

    由傾斜軸定理可知,傾斜軸(X軸)通過(guò)浸水面的形心。如果要確定Ixy還必須知道Y軸的位置。

    對(duì)于對(duì)稱結(jié)構(gòu),如果能夠平穩(wěn)懸浮在水中,其浮心在浸水面上的豎向投影必定與浸水面的形心重合。此時(shí),Y軸通過(guò)形心,Ixy=0。

    對(duì)于非對(duì)稱結(jié)構(gòu),又可以分為兩種情況:

    1)非對(duì)稱結(jié)構(gòu)做三維運(yùn)動(dòng)。浮心在浸水面W0L0上的投影不與浸水面的形心重合,可知傾斜軸過(guò)浸水面的形心,此時(shí)物體只能繞通過(guò)W0L0的形心與浮心在W0L0上投影點(diǎn)這兩點(diǎn)所在的直線運(yùn)動(dòng)。但是一經(jīng)擾動(dòng),由于此時(shí)Ixy并不為0,浮心沿X和Y軸兩個(gè)方向均有位移。因此微擾動(dòng)為復(fù)雜的三維運(yùn)動(dòng)。

    2)非對(duì)稱結(jié)構(gòu)做二維擺動(dòng)。如果物體穩(wěn)定時(shí),浮心在浸水面W0L0上的投影與浸水面的形心重合,則以浸水面的形心為坐標(biāo)原點(diǎn)、以傾斜軸為X軸、豎向?yàn)閆軸建立坐標(biāo)系。此時(shí),需要尋找傾斜軸相對(duì)于物體的位置,在此位置物體發(fā)生擺動(dòng)時(shí)受到的阻力最小。由對(duì)稱結(jié)構(gòu)的浮游穩(wěn)定計(jì)算可知,因?yàn)檠啬硞€(gè)對(duì)稱軸的慣性矩最小,物體最易發(fā)生傾覆,因此只須計(jì)算沿該對(duì)稱軸的擺動(dòng)即可,此時(shí)X軸和Y軸與對(duì)稱結(jié)構(gòu)的兩條對(duì)稱軸重合。與其類似,在該問(wèn)題中尋找通過(guò)浸水面W0L0的形心并且慣性矩最小的軸。由平面圖形幾何性質(zhì)可知,過(guò)W0L0形心的主慣性軸即為所尋找的傾斜軸,與其垂直并且通過(guò)形心的坐標(biāo)軸為所尋找的Y軸。此時(shí),浸水面W0L0對(duì)主慣性軸的慣性積Ixy為0。繞此軸做小角度運(yùn)動(dòng)時(shí),xB為0、zB為高階無(wú)窮小,僅yB不為0,物體做穩(wěn)定的二維擺動(dòng)。

    對(duì)于沿豎直方向尺寸基本不發(fā)生變化的異型結(jié)構(gòu),如本項(xiàng)目中的異型沉箱,當(dāng)其豎直平穩(wěn)懸浮于水中時(shí),任意橫斷面形狀和面積均不發(fā)生變化,由浮心的求解公式可知:

    習(xí)近平生態(tài)文明建設(shè)重要論述的科學(xué)內(nèi)涵主要包括以下六個(gè)方面:人與自然、社會(huì)、自身三維和諧的生態(tài)價(jià)值觀,綠水青山就是金山銀山的綠色發(fā)展觀,良好的生態(tài)環(huán)境就是最普惠的民生福祉的生態(tài)民生觀,以最嚴(yán)格的制度保護(hù)生態(tài)環(huán)境的生態(tài)法治觀,以生態(tài)紅線為生態(tài)環(huán)境保護(hù)生命線的生態(tài)安全觀和保護(hù)人類共同家園的生態(tài)全球觀,這些思想觀點(diǎn)相互聯(lián)系、互為補(bǔ)充,共同形成了一個(gè)有機(jī)、統(tǒng)一的新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義生態(tài)文明建設(shè)體系。

    (10)

    (11)

    (12)

    式中:Vi為浸入水中的體積;S為浸水面的面積;h為浸入水中的物體高度。

    從式(10)和式(11)可知,X和Y坐標(biāo)即為浸水面的形心。從而得出:浮心在浸水面W0L0的投影必與浸水面形心重合,這滿足了第2種情況中二維擺動(dòng)的條件。此時(shí),在浸水面W0L0中尋找過(guò)形心的主慣性軸,并分別定義為X軸和Y軸,那么在該坐標(biāo)系中同樣可以得出式(7)~(9)。由于主慣性軸中有Ixy=0。因此,式(7)~(9)中xB為0、zB為高階無(wú)窮小,僅yB不為0。

    (13)

    (14)

    通過(guò)以上假設(shè)及推導(dǎo),將非對(duì)稱結(jié)構(gòu)的定傾半徑計(jì)算公式化歸為與對(duì)稱結(jié)構(gòu)一致。但是值得注意的是,本式成立的前提是浮心在浸水面上的投影與浸水面的形心重合。并且考慮到物體在水中穩(wěn)定時(shí),質(zhì)心與浮心必在同一豎直線上。因此對(duì)于非對(duì)稱異型沉箱,公式(14)成立的前提條件為:沉箱豎直平穩(wěn)懸浮于水中時(shí),任意橫斷面的形狀和面積均不發(fā)生變化。并且通過(guò)壓載等方式,使異型沉箱穩(wěn)定懸浮于水中時(shí),其質(zhì)心、浮心和浸水面的形心在同一條豎直線上。這對(duì)于本式至關(guān)重要。

    因此,對(duì)于非對(duì)稱異型沉箱,其定傾高度m的定義與規(guī)范的表達(dá)式一致:

    m=ρ-a

    (15)

    (16)

    綜合前面可知,計(jì)算異型沉箱浮游穩(wěn)定的步驟如下:1)求出沉箱穩(wěn)定時(shí)浸水面的形心(x,y),則浮心的X、Y坐標(biāo)與之相同;2)假定滿足浮游穩(wěn)定條件的加水重力Q,此時(shí)質(zhì)心的X、Y坐標(biāo)與形心和浮心的相同,據(jù)此計(jì)算出不同倉(cāng)格加水量;3)根據(jù)不同倉(cāng)格加水量,計(jì)算出質(zhì)心的Z坐標(biāo)、吃水深度以及浮心坐標(biāo);4)計(jì)算出質(zhì)心與浮心距離a;5)根據(jù)式(16)計(jì)算出最小的定傾半徑,計(jì)算定傾高度并判定浮游穩(wěn)定情況。其中步驟5)須計(jì)算最小的定傾半徑,以確保沉箱在任意方向均可保持穩(wěn)定。

    3 非對(duì)稱直角梯形異型沉箱的穩(wěn)定計(jì)算

    本文所研究的異型沉箱如圖5、6所示,沉箱高19.5 m、底板高0.75 m、標(biāo)準(zhǔn)層高18.75 m。標(biāo)準(zhǔn)層的橫斷面為直角梯形,并且斷面尺寸沿豎向不發(fā)生變化。其他尺寸見圖5。

    圖5 直角梯形異型沉箱平面(單位:mm)

    圖6 直角梯形異型沉箱三維圖

    雖然在底部的前趾和左右側(cè)壁出現(xiàn)了截面變化,但是底部以上在豎直方向上截面形式不變。如果沉箱保持水平,則浮心在浸水面上的投影與浸水面的形心基本重合。為了方便計(jì)算,認(rèn)為本文研究的直角梯形異型沉箱滿足2.2節(jié)第2類情況。此時(shí),需要尋找X軸(傾斜軸)的位置,使其位于形心主慣性軸處,從而使得慣性積Ixy為0,并且Ixx最小,從而確保沉箱在該位置的最小定傾高度滿足要求。

    3.1 傾斜軸位置確定

    如圖7所示,以通過(guò)浸水面形心為坐標(biāo)原點(diǎn),垂直于直角梯形的直角邊為X軸,平行于直角邊為Y軸,建立坐標(biāo)系XOY。不難求出該坐標(biāo)系下的慣性矩Ixx、Iyy和慣性積Ixy。由平面圖形幾何性質(zhì)及轉(zhuǎn)軸公式可以求出過(guò)形心O的主慣性軸及主慣性矩Ix和Iy。

    圖7 浸水面

    假設(shè)主慣性軸與X軸夾角為θ,則有:

    (17)

    (18)

    (19)

    從上式可以求出兩軸相差90°的角度,分別對(duì)應(yīng)最大和最小的主慣性軸Ix和Iy,圖7中X、Y軸即為主慣性軸。其中最大形心主慣性矩為Ix=3 645.426 8 m4;最小形心主慣性矩為Iy=1 412.515 4 m4。

    不難發(fā)現(xiàn),當(dāng)異型沉箱繞Y軸擺動(dòng)時(shí)更容易發(fā)生傾覆,因此采用式(16)進(jìn)行驗(yàn)算沉箱穩(wěn)定時(shí)只須計(jì)算繞Y軸擺動(dòng)的情形。

    3.2 穩(wěn)定驗(yàn)算

    建立圖 8所示坐標(biāo)系,其中坐標(biāo)原點(diǎn)位于沉箱底部,Z軸向上為正。異型沉箱的格倉(cāng)編碼如圖8所示,假定總壓載量為400 t,各格倉(cāng)的壓載水高度以及某格倉(cāng)內(nèi)壓載水面對(duì)于該水面傾斜軸的慣性矩見表1,總排水量為2 372 m3。

    圖8 計(jì)算及格倉(cāng)編號(hào)

    表1 各格倉(cāng)壓載水高度及對(duì)傾斜軸的慣性矩

    通過(guò)計(jì)算求得壓載后的質(zhì)心(m)為(7.85,5.61,7.369),浮心(m)為(7.86,5.61,7.26),浸水面的形心(m)為(7.88,5.60,7.80)??梢钥闯鲑|(zhì)心、浮心在浸水面的投影和浸水面的形心基本重合(X和Y坐標(biāo)基本一致),因此滿足前述2.2節(jié)公式(16)應(yīng)用的前提條件。質(zhì)心到形心的距離a=0.11 m。求解各格倉(cāng)的慣性矩時(shí),應(yīng)求解該格倉(cāng)壓載水面對(duì)于自身傾斜軸的慣性矩。

    通過(guò)求解得出定傾半徑為0.578 m,此時(shí)定傾高度為0.468 m。根據(jù)規(guī)范本項(xiàng)目沉箱的定傾高度不小于0.2 m時(shí)即為穩(wěn)定,因此前述壓載方案可以滿足浮游穩(wěn)定。

    本項(xiàng)目中兩個(gè)異型沉箱按照前述壓載方案進(jìn)行施工,結(jié)果表明沉箱在這種壓載條件下,可以很好地保持浮游穩(wěn)定,理論計(jì)算和現(xiàn)場(chǎng)實(shí)施結(jié)果基本一致,兩個(gè)沉箱均順利完成了安裝。

    4 結(jié)論

    1)異型沉箱浮游穩(wěn)定計(jì)算無(wú)法直接按照規(guī)范,通過(guò)計(jì)算縱向中心軸的慣性矩從而求出定傾半徑。通過(guò)對(duì)任意形狀懸浮體的浮游穩(wěn)定計(jì)算公式推導(dǎo),并結(jié)合異型沉箱的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),將規(guī)范中矩形和無(wú)隔墻圓形沉箱的定傾半徑計(jì)算公式推廣至異型沉箱。

    2)本文給出的計(jì)算方法主要針對(duì)豎直方向上截面形式不變的異型沉箱,通過(guò)壓載等方式,使沉箱豎直平穩(wěn)懸浮于水中時(shí),任意橫斷面形狀和面積均不發(fā)生變化。其質(zhì)心、浮心和浸水面的形心在同一條豎直線上。受到輕微擾動(dòng)時(shí),將沿著過(guò)浸水面形心的主慣性軸做二維擺動(dòng),而非復(fù)雜的三維運(yùn)動(dòng)。

    3)由于異型沉箱的浸水面并非對(duì)稱圖形,無(wú)法直接找到其形心主慣性軸,因此通過(guò)平面圖形幾何性質(zhì)求解主慣性軸,然后再進(jìn)行定傾半徑的求解。

    4)通過(guò)本項(xiàng)目?jī)蓚€(gè)異型沉箱的計(jì)算以及現(xiàn)場(chǎng)實(shí)施,證明了這種計(jì)算方法安全可靠,可以為異型沉箱的浮游穩(wěn)定計(jì)算提供參考。

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