耦合相振子系統(tǒng)同步的序參量理論*

鄭志剛 翟云 王學(xué)彬 陳宏斌 徐燦?

1)(華僑大學(xué)系統(tǒng)科學(xué)研究所,廈門 361021)

2)(華僑大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院,廈門 361021)

3)(北京郵電大學(xué)理學(xué)院,北京 100876)

節(jié)律行為,即系統(tǒng)行為呈現(xiàn)隨時(shí)間的周期變化,在我們的周圍隨處可見(jiàn).不同節(jié)律之間可以通過(guò)相互影響、相互作用產(chǎn)生自組織,其中同步是最典型、最直接的有序行為,它也是非線性波、斑圖、集群行為等的物理內(nèi)在機(jī)制.不同的節(jié)律可以用具有不同頻率的振子(極限環(huán))來(lái)刻畫,它們之間的同步可以用耦合極限環(huán)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)來(lái)加以研究.微觀動(dòng)力學(xué)表明,隨著耦合強(qiáng)度增強(qiáng),振子同步伴隨著動(dòng)力學(xué)狀態(tài)空間降維到一個(gè)低維子空間,該空間由序參量來(lái)描述.序參量的涌現(xiàn)及其所描述的宏觀動(dòng)力學(xué)行為可借助于協(xié)同學(xué)與流形理論等降維思想來(lái)進(jìn)行.本文從統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的角度討論了耦合振子系統(tǒng)序參量涌現(xiàn)的幾種降維方案,并對(duì)它們進(jìn)行了對(duì)比分析.序參量理論可有效應(yīng)用于耦合振子系統(tǒng)的同步自組織與相變現(xiàn)象的分析,通過(guò)進(jìn)一步研究序參量的動(dòng)力學(xué)及其分岔行為,可以對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)的涌現(xiàn)動(dòng)力學(xué)有更為深刻的理解.

1 引 言

節(jié)律,即系統(tǒng)呈現(xiàn)的隨時(shí)間周期變化,廣泛存在于我們生活的世界,從鐘擺、星體運(yùn)動(dòng)到生物鐘,都是不同系統(tǒng)典型的動(dòng)力學(xué)行為.復(fù)雜與非線性系統(tǒng)會(huì)表現(xiàn)出多種多樣的自組織與群體性行為[1-3],而不同的節(jié)律之間也可以通過(guò)相互作用涌現(xiàn)出各種集體的自組織現(xiàn)象,其中同步是最典型、最直接的有序行為,它也是諸如非線性波、時(shí)空斑圖乃至各種生物集群行為(例如鳥(niǎo)群、魚群、蜂群、蟻群、人類社會(huì)等)的內(nèi)在物理機(jī)制[4,5].

作為一種最基本的協(xié)同現(xiàn)象,同步研究可以追溯到1673年Huygens發(fā)現(xiàn)的關(guān)于兩個(gè)相鄰鐘擺同步的討論.在后來(lái)的很多不同物理問(wèn)題中,人們都發(fā)現(xiàn)了同步現(xiàn)象.電子與無(wú)線電工程的發(fā)展很大程度上促進(jìn)了關(guān)于同步的研究.相比于現(xiàn)象觀察及實(shí)驗(yàn)研究,同步的理論研究相對(duì)要滯后得多,直到20世紀(jì)初關(guān)于極限環(huán)的研究才得到了突破.極限環(huán)是非線性耗散系統(tǒng)的一類典型時(shí)間振蕩解和吸引子,不同時(shí)間振蕩之間可以通過(guò)相互作用產(chǎn)生新的協(xié)同.由于大量看似不同的系統(tǒng)都具有可以用極限環(huán)描述的時(shí)間振蕩,人們逐漸認(rèn)識(shí)到,在各種不同同步行為的背后應(yīng)該具有共同的物理機(jī)理[5].Wiener[6]在其專著中關(guān)于“腦電波與自組織系統(tǒng)”一章指出,腦電波的出現(xiàn)是來(lái)自于不同頻率的鎖定(pulling together of frequencies),而且這種行為與其他諸如螢火蟲(chóng)同步閃光、蟋蟀同聲鳴唱等現(xiàn)象有著共同的機(jī)制.而如何在極限環(huán)基礎(chǔ)上來(lái)研究驅(qū)動(dòng)或相互作用的振子間的同步在理論上就成為重要課題.

Winfree[7]于1967年提出了全局耦合振子模型.他認(rèn)識(shí)到,在同步問(wèn)題上,極限環(huán)之間相互作用起作用的關(guān)鍵自由度是其相位,因此只需要考慮耦合的相位振子模型即可揭示同步的動(dòng)力學(xué)實(shí)質(zhì).Winfree模型的動(dòng)力學(xué)方程可寫為

這里用 i =1,2,··,N 來(lái)標(biāo)記不同振子,{θi}代表振子的相位,{ωi}為振子的自然頻率,它們各不相同,設(shè)符合某個(gè)統(tǒng)計(jì)分布函數(shù)g(ω).Winfree發(fā)現(xiàn),自然頻率分布較窄時(shí)振子之間會(huì)相互同步[7].這樣,在眾多不同物理背景下出現(xiàn)于不同體系中的很多現(xiàn)象就都可以利用耦合相振子系統(tǒng)的同步動(dòng)力學(xué)來(lái)得到非常好的解釋.大量相互作用振子出現(xiàn)的整體同步行為是一種典型的集體涌現(xiàn),如何解析刻畫同步涌現(xiàn)是一個(gè)挑戰(zhàn)性課題.

Kuramoto[8-10]考慮振子數(shù)目 N → ∞(熱力學(xué)極限),自然頻率 { ωi} 為單峰分布g(ω),振子間相互作用是耦合強(qiáng)度為K的全局性平均場(chǎng)形式,并取最簡(jiǎn)單的相位差的正弦函數(shù)sin(Δθ)來(lái)描述相互作用.平均場(chǎng)耦合相振子模型可寫為

該模型被后來(lái)研究者稱為Kuramoto模型[11].我們還引入振子的集體自然頻率一般情況下自然頻率分布函數(shù)設(shè)為關(guān)于的對(duì)稱分布.為討論方便,通常設(shè)分布對(duì)稱性滿足

盡管振子的自然頻率各不相同,有相互作用時(shí)(K≠0)各振子的實(shí)際振動(dòng)頻率都會(huì)相應(yīng)地從K=0時(shí)的自然頻率{ωi}處發(fā)生偏離,并隨耦合強(qiáng)度變化而變化.可定義振子的平均頻率Ωi為

為描述振子的整體同步情況(相干程度),Kuramoto引入如下的序參量,將其定義為所有振子相位復(fù)函數(shù)的平均場(chǎng):

其中復(fù)序參量的模R=|z|描述振子的相干性強(qiáng)弱,Θ為一任意相位.

在耦合強(qiáng)度很弱時(shí),只有自然頻率極其靠近的振子才會(huì)同步,但它們所占的比例幾乎可以忽略,大量振子的Ωi都不等,它們?cè)谌我粫r(shí)刻的相位都均勻分布于0— 2π之間,如圖1(a)所示,此時(shí)R=0.隨著耦合強(qiáng)度的增加,越來(lái)越多的振子會(huì)同步,平均頻率Ωi相等,這些同步的振子相位之間會(huì)靠近并保持固定相位關(guān)系,振子不再均勻分布,如圖1(b)所示.當(dāng)所有Ωi都相等時(shí),R就不為零,表明此時(shí)振子之間可保持固定的相位關(guān)系.存在一個(gè)臨界的耦合強(qiáng)度 Kc,當(dāng) K ≤ Kc時(shí) R=0;當(dāng) K ≥ Kc時(shí),R≠0.在很強(qiáng)的耦合下,振子相位會(huì)靠得很近,形成整體的同步大集團(tuán),如圖1(c)所示.大量耦合振子可以通過(guò)相互作用克服自然頻率不同帶來(lái)的無(wú)序而涌現(xiàn)出同步態(tài)實(shí)質(zhì)上就是一種典型的非平衡相變.在臨界Kc處發(fā)生的相變?cè)诶碚撋峡梢蕴幚?Kuramoto利用統(tǒng)計(jì)物理學(xué)方法和自洽方程成功求解[9,10],理論上得到了臨界耦合強(qiáng)度Kc,并得到在Kc附近序參量R的臨界行為.

圖1 耦合振子同步示意圖(a)在耦合強(qiáng)度-很弱時(shí),大量振子不同步,任一時(shí)刻相位均勻分布于02π之間;(b)隨著耦合強(qiáng)度的增加,越來(lái)越多的振子會(huì)同步,振子不再均勻分布;(c)在很強(qiáng)的耦合下,振子相位會(huì)靠得很近,形成整體的同步大集團(tuán);(d)序參量隨耦合強(qiáng)度的變化Fig.1.A schematic diagram of synchronization of coupled oscillators:(a)Most of the oscillators are asynchronous and evenly distributed along the circle;(b)with increasing the coupling,more and more oscillators are synchronized and are no longer evenly distributed;(c)under a strong coupling,oscillators form a single synchronous cluster,and the phases of oscillators are close to each other;(d)dependence of the order parameter on the coupling strength.

結(jié)合具體的物理背景,Kuramoto模型的應(yīng)用范圍和領(lǐng)域大大拓展[11-17].人們研究了不同耦合函數(shù)[18,19]、不同耦合網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)[14,15,20-25]、脈沖耦合[26]等情況下的同步,探討了同步涌現(xiàn)的玻璃態(tài)[27]、非對(duì)稱耦合及其行波和駐波波態(tài)[28,29]、慣性效應(yīng)[30,31]、阻挫效應(yīng)[32-35]、時(shí)間延遲效應(yīng)[36]、外場(chǎng)驅(qū)動(dòng)效應(yīng)[37]、時(shí)變耦合[38]等與實(shí)際物理背景密切相關(guān)的問(wèn)題.以Kuramoto模型為代表的耦合振子系統(tǒng)集體動(dòng)力學(xué)問(wèn)題時(shí)至今日一直是重要的研究熱點(diǎn).

對(duì)于大量振子同步的研究有幾種不同層次和方法.利用非線性動(dòng)力學(xué)[39-41]和同步分岔樹(shù)方法[42-44]可以對(duì)耦合振子的微觀動(dòng)力學(xué)進(jìn)行研究.當(dāng)振子數(shù)目 N ?1 時(shí),微觀動(dòng)力學(xué)分析會(huì)變得很繁雜,可以利用統(tǒng)計(jì)物理和宏觀方法開(kāi)展研究.早期Kuramoto基于統(tǒng)計(jì)物理學(xué)方法和自洽方程理論成功地對(duì)同步相變進(jìn)行了解析研究[9].但自洽方程方法建立在同步態(tài)為定態(tài)的前提下,近年來(lái)人們發(fā)現(xiàn)了大量非定態(tài)集體動(dòng)力學(xué)行為,因此有必要建立一套反映集體動(dòng)態(tài)行為的統(tǒng)計(jì)與宏觀理論[45].20世紀(jì)90年代初,Watanabe與Strogatz發(fā)現(xiàn)[46],一類具有對(duì)稱性的耦合振子系統(tǒng)的高維動(dòng)力學(xué)可以通過(guò)引入M?bius變換(后稱為Watanabe-Strogatz變換,簡(jiǎn)稱WS變換)精確降維到三維空間,這意味著系統(tǒng)的部分可積性.Ott與Antonsen[47,48]提出了序參量擬設(shè)理論,將高維微觀動(dòng)力學(xué)研究降維到二維序參量空間加以研究.人們隨后意識(shí)到,OA擬設(shè)下的二維動(dòng)力學(xué)實(shí)際上是WS變換下的三維動(dòng)力學(xué)的進(jìn)一步降維[49,50].

耦合振子系統(tǒng)同步的序參量動(dòng)力學(xué)研究大致包括如下幾個(gè)重要和基礎(chǔ)問(wèn)題.第一,序參量是表征整體行為的特征量,那么對(duì)于大自由度的耦合振子系統(tǒng),序參量是如何涌現(xiàn)的？第二,序參量及其涌現(xiàn)的物理意義是什么？第三,如何用序參量刻畫不同的同步或有序狀態(tài)及其轉(zhuǎn)變？第四,如果有不止一個(gè)序參量共存,這些序參量之間如何競(jìng)爭(zhēng)？第五,對(duì)于實(shí)際系統(tǒng),如何引入恰當(dāng)?shù)谋碚骷w行為的序參量來(lái)刻畫有序行為？如何從復(fù)雜系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)大數(shù)據(jù)中重構(gòu)序參量動(dòng)力學(xué)？本文將集中于上述的前三個(gè)基本問(wèn)題,對(duì)大量振子組成的系統(tǒng)產(chǎn)生同步作為一種典型的涌現(xiàn)行為開(kāi)展宏觀和統(tǒng)計(jì)層面的研究,總結(jié)、回顧并對(duì)比幾種不同的序參量理論框架[51].

2 Kuramoto自洽方程理論

首先來(lái)看Kuramoto如何通過(guò)引入序參量并利用求解自洽方程來(lái)解析處理同步問(wèn)題.自洽方法的基礎(chǔ)是通過(guò)假設(shè)系統(tǒng)存在一個(gè)不隨時(shí)間改變的定態(tài),在此狀態(tài)下序參量為一個(gè)待定的定值,通過(guò)序參量的定義和系統(tǒng)定態(tài)的運(yùn)動(dòng)方程,得到待定的序參量的值,并在分析的過(guò)程中得到此序參量與相應(yīng)定態(tài)的存在條件.自洽方法從其方法本身便限定了其適用范圍,雖然只能用于對(duì)定態(tài)的分析,卻可以不受具體動(dòng)力學(xué)的限制,是振子系統(tǒng)分析中廣泛使用的方法之一.

首先,假定振子數(shù)N足夠多情況下,序參量(4)式與N無(wú)關(guān)且不隨時(shí)間變化.考慮到Kuramoto模型(2)式相互作用的平均場(chǎng)形式,很容易可以將方程(2)重新寫為

如果能定出R,則方程(5)完全可以求解,但這不是一件簡(jiǎn)單的事.一個(gè)可行的辦法是帶著未知R繼續(xù)討論,建立一個(gè)關(guān)于R的方程來(lái)將其求解.該方程即為自洽方程(self-consistent equation)[8,51].下面的討論即是圍繞這一主題展開(kāi).

顯然R=0對(duì)應(yīng)于無(wú)相互作用的情形(均勻分布解),這個(gè)非相干態(tài)總是系統(tǒng)的一個(gè)解,但不總是穩(wěn)定.當(dāng) K ＞Kc時(shí)均勻分布解失穩(wěn).另外一個(gè)解是Ωi都相等時(shí)的解,此時(shí)振子之間可以保持固定的相位,R≠0,所有振子都以集體頻率轉(zhuǎn)動(dòng),此解在 K ≤Kc時(shí)不穩(wěn)定.只要有 Ωi不相等,θi就總是均勻分布于0—2π 之間.

此方程正是過(guò)阻尼情形下的單擺方程.它有兩個(gè)解.1)同步解.當(dāng)方程(6)描述的第i個(gè)振子滿足時(shí),該振子的相位φ就會(huì)保持定值這意味著所有滿足該條件的振子都會(huì)以頻率運(yùn)動(dòng),它們處于同步狀態(tài).2)非同步解.當(dāng)方程(6)描述的振子 i滿足時(shí),則該振子的相位φ就會(huì)隨時(shí)間變化,且凡是自然頻率滿足該條件的振子都處于非同步狀態(tài).

振子數(shù)N→∞時(shí),φi在0—2π之間會(huì)形成分布.設(shè)分布函數(shù)為 P(φ,ω,t),它不僅依賴于 φ,還依賴于振子自然頻率ω.平均場(chǎng)由分布函數(shù)可表為

單振子分布函數(shù)滿足連續(xù)性方程:

考慮到振子具有自然頻率分布,如果只考察φ的統(tǒng)計(jì)分布,則需要進(jìn)一步對(duì)頻率做積分P(φ,t)=這些振子相位的分布直接決定了相關(guān)的平均量,例如序參量,因而很重要的一點(diǎn)就是如何確定分布函數(shù).根據(jù)上面討論的兩類定態(tài)解,可把分布P(φ)分解為同步與非同步兩部分:

同步振子的相位φ趨于不動(dòng)點(diǎn),與時(shí)間無(wú)關(guān),因此Ps(φ)可由自然頻率分布得到:

非同步振子的相位φi則隨時(shí)間變化,因?yàn)棣読隨時(shí)間變化是非均勻的,單位時(shí)間內(nèi)探測(cè)到φ在φ→φ + dφ之間的概率反比于相速度 |把運(yùn)動(dòng)方程(6)式代入并歸一化可得到

因此

將前面引入的平均場(chǎng)用分布寫出來(lái),并利用(9)式可得

當(dāng) K →Kc時(shí),由于R2項(xiàng)為高階小量,R→0,由此得到同步臨界耦合強(qiáng)度為

將(19)式代回(18)式可以確定在臨界點(diǎn)Kc附近R的行為:

3 序參量及其涌現(xiàn)的自組織原理

耦合振子同步微觀動(dòng)力學(xué)的研究表明,大量耦合振子隨著耦合強(qiáng)度的增加會(huì)經(jīng)歷由部分同步到整體同步的過(guò)渡,相空間維數(shù)隨同步進(jìn)程而逐漸降低,整體同步時(shí),系統(tǒng)在相空間的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)會(huì)落到一個(gè)極低維的空間[42-44].降維意味著系統(tǒng)發(fā)生同步的時(shí)候,只需要少數(shù)變量即可刻畫耦合振子系統(tǒng)的同步.該結(jié)果為多振子體系同步的宏觀及序參量描述提供了事實(shí)基礎(chǔ).

統(tǒng)計(jì)物理學(xué)建立了從微觀到宏觀之間的聯(lián)系,進(jìn)一步通過(guò)統(tǒng)計(jì)定律來(lái)計(jì)算微觀量的統(tǒng)計(jì)平均來(lái)得到宏觀熱力學(xué)量[27].熱力學(xué)和統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的思想和方法為處理耦合振子同步轉(zhuǎn)變問(wèn)題提供了思路.由大量相互作用振子組成的系統(tǒng)通常是非平衡系統(tǒng),同步是大量振子整體動(dòng)力學(xué)從無(wú)序向有序的非平衡相變.非平衡行為研究自20世紀(jì)中期發(fā)展起來(lái)的以耗散結(jié)構(gòu)理論[52,53]、協(xié)同學(xué)[54,55]以及多學(xué)科分支形成的自組織理論等為描述眾多的非平衡相變現(xiàn)象的共同本質(zhì)提供了重要依據(jù).

耗散結(jié)構(gòu)理論認(rèn)為,處于非平衡狀態(tài)的系統(tǒng)會(huì)在一定范圍內(nèi)維持原有熱力學(xué)狀態(tài),一直到遠(yuǎn)離平衡到一定臨界值,熱力學(xué)分支失穩(wěn)使系統(tǒng)進(jìn)入到有序的結(jié)構(gòu)分支.非平衡相變現(xiàn)象在自然界各個(gè)領(lǐng)域有形形色色的表現(xiàn),物理表現(xiàn)十分不同,而內(nèi)含的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)是有明顯的規(guī)律,由此形成了以反映擴(kuò)散方程等為核心的刻畫宏觀自組織過(guò)程的耗散結(jié)構(gòu)理論[53].

Haken的協(xié)同學(xué)則關(guān)注于由大量自由度構(gòu)成的復(fù)雜系統(tǒng)在外參量的驅(qū)動(dòng)下和在子系統(tǒng)之間的相互作用下如何以自組織的方式在宏觀尺度上形成空間、時(shí)間或功能有序結(jié)構(gòu)的條件、特點(diǎn)及其演化規(guī)律[54].協(xié)同學(xué)的基本原理是支配原理(slaving principle),它認(rèn)為,協(xié)同系統(tǒng)的狀態(tài)由一組狀態(tài)參量來(lái)描述,這些狀態(tài)參量弛豫時(shí)間尺度是不相同的,慢變的線性不穩(wěn)定模稱為慢變量(slow variable),而快變的線性穩(wěn)定模稱為快變量(fast variable).當(dāng)系統(tǒng)接近于發(fā)生顯著質(zhì)變的臨界點(diǎn)時(shí),慢模數(shù)目會(huì)減少為只有一個(gè)或少數(shù)幾個(gè),這些慢變量可以完全確定系統(tǒng)的宏觀行為并表征系統(tǒng)的有序化程度,故而稱為序參量.而為數(shù)眾多的快模則由慢模/序參量所支配,并可將其絕熱消去,由此可以建立少自由度的協(xié)同學(xué)基本方程.在序參量方程基礎(chǔ)上,我們就可來(lái)研究協(xié)同系統(tǒng)的各種非平衡定態(tài)/非定態(tài)、穩(wěn)定性及其非平衡相變[55].

支配原理在數(shù)學(xué)上即絕熱消去,即可以對(duì)快速變化的變量進(jìn)行平均加以消去,只保留變化慢(絕熱)的變量.該方法在物理上有著深刻含義.下面以如下的n維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)為例來(lái)簡(jiǎn)單介紹一下支配原理:

其中x(t)=(x1(t),x2(t),···,xn(t))T為n維狀態(tài)矢量,A為 n ×n 常數(shù)矩陣,B(x)包含x的二次以上代數(shù)式矢量.設(shè)x=0為方程的解.設(shè)矩陣A的本征值為 { λi,i=1,2,···,n},其中本征值按照其實(shí)部由大到小排列.如果所有本征值實(shí)部均為負(fù),即 { Reλi＜ 0,i=1,2,···,n},那么x=0為穩(wěn)定解.改變參數(shù)使A的m個(gè)模失穩(wěn),而其他模仍然保持穩(wěn)定,即假設(shè)該模對(duì)應(yīng)的本征值且通過(guò)引入一個(gè)T矩陣進(jìn)行如下的線性變換

將A對(duì)角化

這里 λu,s分別為 m × m與(n — m)×(n — m)對(duì)角子矩陣.則(21)式可改寫為

這里x(t)=(u(t),s(t))T,其中u(t)=(u1(t),u2(t),··,um(t))T,s(t)=(s1(t),s2(t),··,sn-m(t))T,s(t)為滿足(24b)式的快變量,而 u(t)為滿足(24a)式的慢變量.按照支配原理絕熱消去,令(24b)式左邊=0,由此n — 1個(gè)方程可將n - m維矢量s作為u的函數(shù)解出,并代入(24a)式可得到m維的非線性方程

一般實(shí)際問(wèn)題中首先失穩(wěn)的模往往很少,常常是一兩個(gè),從(24)式到(25)式,在理論上可以看作是從多變量方程到少數(shù)序參量方程的約化,在動(dòng)力學(xué)上也產(chǎn)生了極大簡(jiǎn)化,這是支配原則在討論相變點(diǎn)附近行為時(shí)給出的有益結(jié)果.

需要注意的是,變量的快慢不能理解為其他諸如振蕩的快慢,而是弛豫的快慢,因此嚴(yán)格來(lái)說(shuō)應(yīng)該稱為快/慢弛豫變量.慢變模式有時(shí)可能本身就是高頻振蕩,該模對(duì)于擾動(dòng)響應(yīng)的弛豫時(shí)間長(zhǎng)短才是判斷該模為快或慢的標(biāo)準(zhǔn).

序參量有著幾何上的意義,支配原理也密切聯(lián)系著中心流形定理.中心流形定理是一種常用的幾何降維方法,它利用流形與對(duì)應(yīng)子空間相切的特性,求出系統(tǒng)在中心流形上的約化方程.對(duì)于高維動(dòng)力系統(tǒng)來(lái)說(shuō),通過(guò)傳統(tǒng)的分岔行為很難直接研究其動(dòng)力系統(tǒng).為了更好地抓住所要研究問(wèn)題的本質(zhì),一般采取中心流形定理等降維措施將其化為低維方程再進(jìn)行研究.

4 序參量動(dòng)力學(xué)理論

下面將從耦合振子微觀動(dòng)力學(xué)方程出發(fā),利用統(tǒng)計(jì)力學(xué)方法建立分布函數(shù)方程,并通過(guò)統(tǒng)計(jì)平均引入各階序參量,建立相應(yīng)的序參量方程,并進(jìn)一步討論對(duì)方程的降維.

4.1 廣義序參量

從一般形式的全局耦合振子系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程出發(fā):

其中 j=1,2,··,N,ξj(t)為作用于第 j個(gè)振子上的隨機(jī)噪聲,設(shè)為振子間無(wú)關(guān)聯(lián)的高斯白噪聲,滿為一組均勻控制參量,這些參量對(duì)所有振子均相同,如通?？紤]振子間相互作用強(qiáng)度相同.γ ={γ1,γ2,···,γN} 為一組非均勻控制參量,它們對(duì)不同振子不一樣.例如振子的自然頻率通常各不相同,此時(shí){γi=ωi}.

定義一組廣義序參量α={αn},其分量為如下的n階序參量:

當(dāng)n=1時(shí),α1即是Kuramoto引入的相干因子.n ＞ 1時(shí) αn為高階序參量[56].在熱力學(xué)極限N→∞下,可以引入振子相位的密度分布函數(shù)ρ(γ,θ,t),ρ(γ,θ,t)dθ為一個(gè)振子在時(shí)刻 t相位處于θ→θ + dθ的概率或時(shí)刻t相位處于θ→θ + dθ內(nèi)的振子數(shù)密度.它滿足(12)式對(duì)應(yīng)的Fokker-Planck方程:

其中速度場(chǎng) v=F(α,θ,β,γ).在沒(méi)有外加噪聲(D=0)時(shí),分布函數(shù)方程退化為如下的連續(xù)性方程

在一般情況下振子是非全同的,即分布函數(shù)ρ(γ,θ,t)與γ有關(guān),系統(tǒng)總的分布函數(shù)需要對(duì)所有非均勻參量求和,例如,如果 { γi=ωi},則分布函數(shù)為

其中 g(ω)為自然頻率分布.ρ(θ,t)包含了振子系統(tǒng)集體行為的所有信息.在同步問(wèn)題宏觀層面,我們最為關(guān)注序參量α={αn}.對(duì)于均勻系統(tǒng)即沒(méi)有非均勻參量γ,利用分布函數(shù),序參量可表為如下積分:

如果系統(tǒng)有非均勻性,則需要同時(shí)對(duì)非均勻參量γ求和.例如,如果非均勻參量是振子自然頻率,則有

可以看到,n階序參量αn實(shí)際上就是exp(inθ)的統(tǒng)計(jì)平均,或稱為exp(iθ)的n階矩.由于宏觀量的各階矩描述與分布函數(shù)描述等價(jià),可由一方信息推知另外一方的信息.還可以看到,廣義序參量實(shí)際上就是分布函數(shù)ρ(θ,t)的傅里葉變換系數(shù).

4.2 Ott-Antonsen擬設(shè)

下面先考慮全同振子系統(tǒng)的序參量運(yùn)動(dòng)方程.利用序參量的定義(27)式,對(duì)其進(jìn)行時(shí)間求導(dǎo),并利用振子運(yùn)動(dòng)方程(26)式可以得到

由于函數(shù) F(α,θ,β)是循環(huán)變量相位 θ 的 2π 周期函數(shù),因此可做傅里葉展開(kāi):

將展開(kāi)式代入運(yùn)動(dòng)方程(33)中可得序參量運(yùn)動(dòng)方程為

考慮最簡(jiǎn)單的耦合形式,即(34)式的傅里葉分解中只需包含最低階項(xiàng):

則序參量運(yùn)動(dòng)方程(35)簡(jiǎn)化為

廣義序參量可看成是相位振子的集體坐標(biāo)變量,這意味著相位運(yùn)動(dòng)方程(26)通過(guò)上述變換可以化為運(yùn)動(dòng)方程(35)和(37),它們都是一組耦合的序參量方程,處理該序參量方程組的難度等價(jià)于相位運(yùn)動(dòng)方程(26),對(duì)其的簡(jiǎn)化需要新的條件.

方程(37)顯然存在一個(gè)平庸的非相干解αn≡ 0,對(duì)應(yīng)于耦合振子的非同步態(tài).隨著耦合強(qiáng)度的增加,耦合振子會(huì)產(chǎn)生同步,整體運(yùn)動(dòng)在相空間也會(huì)塌縮到一個(gè)低維空間中.在廣義序參量空間來(lái)看,系統(tǒng)也必然會(huì)在低維空間運(yùn)動(dòng).根據(jù)協(xié)同學(xué)原理,這些廣義序參量中可能只有少數(shù)為慢變量,其余為快變量,其中慢變的廣義序參量會(huì)成為系統(tǒng)狀態(tài)的真正序參量.由于快變量的變化都依賴于慢變量,因此在發(fā)生同步轉(zhuǎn)變的區(qū)域附近,各階序參量之間應(yīng)存在一定的關(guān)系,它們均依賴于慢變的序參量.一種最簡(jiǎn)單的可能情形是所有的各階序參量αn都依賴于α1,不妨設(shè)為αn=G(α1,n).將其代入運(yùn)動(dòng)方程(37)中并比較每一階函數(shù)的傅里葉展開(kāi)系數(shù)可以得到[56]

則(37)式的多個(gè)運(yùn)動(dòng)方程可簡(jiǎn)并為單一方程,

(38)式正是Ott-Antonsen(OA)擬設(shè)(ansatz)[47,48].

4.3 Poisson和不變子流形

OA擬設(shè)有什么物理意義呢？下面通過(guò)討論分布函數(shù)來(lái)進(jìn)行分析.

由于分布函數(shù)是2π循環(huán)變量相位的函數(shù),可將其進(jìn)行傅里葉展開(kāi),而展開(kāi)系數(shù)即為廣義序參量αn:

一般來(lái)說(shuō),知道了各階傅里葉系數(shù)即廣義序參量αn,就可以利用上述求和來(lái)得到分布函數(shù),通常這需要無(wú)窮階的傅里葉系數(shù).

OA擬設(shè)認(rèn)為相位分布函數(shù)ρ的傅里葉展開(kāi)系數(shù)即廣義序參量αn相互之間并不獨(dú)立,且滿足冪函數(shù)關(guān)系:

將其代入(40)式可以得到

(42)式右邊的求和為冪級(jí)數(shù),可以得到振子分布為泊松和形式

其中r為序參量α1(t)的幅度,Θ為集體相位.因而分布ρ(θ,t)完全由α1(t)決定.

由于具有關(guān)系(38)式的解滿足簡(jiǎn)并的運(yùn)動(dòng)方程(39),則在動(dòng)力學(xué)演化過(guò)程中形式(38)一直得到滿足.振子的分布雖然隨著系統(tǒng)的演化而改變,但將始終具有泊松和分布的形式.如果系統(tǒng)的初始相密度分布滿足泊松分布,那么不管在任何時(shí)刻系統(tǒng)的相密度分布將始終保持著這一性質(zhì).序參量關(guān)系式(38)式及簡(jiǎn)并運(yùn)動(dòng)方程(39)被稱為動(dòng)力系統(tǒng)的Poisson和不變子流形.這個(gè)不變子流形一個(gè)很重要的特點(diǎn)是雖然α1(t)可以不含時(shí),也可以含時(shí),但分布形式隨時(shí)間演化保持不變.這一結(jié)果將Kuramoto自洽理論僅僅討論定態(tài)的結(jié)果拓展至一般情形.

4.4 非全同振子系統(tǒng)的OA擬設(shè)

對(duì)于振子非全同的情形,若振子自然頻率各不相同,即{γi=ωi},設(shè)它們滿足分布 g(ω).那么當(dāng)N → ∞時(shí),引入密度分布函數(shù) ρ(ω,θ,t),廣義序參量相應(yīng)寫為(32)式,其中 αn(ω,t)為 ρ(ω,θ,t)的n階傅里葉展開(kāi)式,也可以理解為自然頻率在ω → ω + dω之間的局域序參量.利用連續(xù)性方程可以得到如下遞歸方程:

同樣如果耦合函數(shù)只包含一階傅里葉系數(shù),則可以引入如下局域序參量的Ott-Antonsen擬設(shè):

是方程(44)的一組特解.一階序參量為

當(dāng)分布函數(shù)g(ω)的形式為ω的有理分式時(shí),可將ω從實(shí)軸延拓到復(fù)ω平面中去,在不引起發(fā)散的情形下(|α1(t)| ≤ 1)直接得到α1(t)的演化方程.

5 微觀動(dòng)力學(xué)對(duì)稱性與Watanabe-Strogatz變換

耦合相振子系統(tǒng)在振子數(shù) N ?1 時(shí)的微觀動(dòng)力學(xué)研究會(huì)變得很困難.OA方法給出了一種有效的將高維耦合振子動(dòng)力學(xué)降維的方案,但高維系統(tǒng)降維到二維的序參量空間來(lái)研究是有前提和成立條件的.

OA方法之所以成功,其關(guān)鍵在于Kuramoto系統(tǒng)本身的微觀動(dòng)力學(xué)具有部分可積性.這要從1994年Watanabe和Strogatz的工作談起.他們研究了全局耦合約瑟夫森結(jié)方程(與Kuramoto模型系統(tǒng)同類).研究發(fā)現(xiàn),N維方程中的每一條軌跡只能局限在一個(gè)三維子空間中,這意味著原始的高維微觀態(tài)可以通過(guò)一定方法降維至低維的宏觀態(tài)[46],這就需要他們提出的后來(lái)被稱為Watanabe-Strogatz(WS)變換的方法來(lái)實(shí)現(xiàn).WS變換的提出在一定程度上為人們尋求高維動(dòng)力系統(tǒng)的低維解提供了方向,但早期沒(méi)有引起人們足夠重視,且數(shù)學(xué)與物理意義均不明確.2009年,受Ott與Antonsen工作的啟發(fā),Marvel等[49,50]成功將這類問(wèn)題的解推廣到一般形式,給出了WS變換的數(shù)學(xué)意義,并清晰地給出OA擬設(shè)的數(shù)學(xué)依據(jù).

5.1 WS變換

WS變換實(shí)際上來(lái)自于復(fù)數(shù)M?bius變換[57].定義復(fù)分?jǐn)?shù)的M?bius變換 F :C→C 為

M?bius變換有很多很好的性質(zhì),其中之一就是存在且保持從直線到直線、從圓到圓的映射.由所有滿足上述條件的變換函數(shù)可以構(gòu)成一個(gè)群,稱為M?bius變換群,

考慮一個(gè)子群,該子群包含了那些將單位開(kāi)圓盤上的復(fù)數(shù)一對(duì)一地映射到自身的所有分?jǐn)?shù)線性變換.

將耦合函數(shù)(36)式對(duì)應(yīng)的動(dòng)力學(xué)方程重新寫為如下形式:

其中 j=1,2,··,N,f=f1(α)為光滑復(fù)函數(shù),是其復(fù)共軛,g=f0(α)為實(shí)函數(shù),它們均不依賴于指標(biāo) j.方程(49)定義了一個(gè) N 維動(dòng)力系統(tǒng).Marvel和Strogatz[49]指出,方程(49)的解滿足如下 M?bius群在復(fù)空間內(nèi)單位圓上的含時(shí)M?bius變換Mt:

其中含時(shí)M?bius變換表達(dá)為

這里{φj,j=1,2,··,N}是系統(tǒng)的一組運(yùn)動(dòng)常數(shù),ψ(t)是實(shí)參量函數(shù),α(t)是復(fù)函數(shù),| α(t)|≤ 1,ā(t)是α(t)的復(fù)共軛.(50)式和(51)式的變換就被稱為WS變換.對(duì)任意時(shí)刻t都對(duì)應(yīng)一個(gè)變換Mt,這些變換構(gòu)成的集合滿足群的性質(zhì),全體變換的集合{Mt}構(gòu)成一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)即M?bius變換群.系統(tǒng)(49)式的演化完全被變換(50)式和(51)式所支配.

5.2 三維動(dòng)力學(xué)

方程(49)滿足變換(50)式和(51)式,說(shuō)明了系統(tǒng)任一時(shí)刻的狀態(tài){θj(t)}可由一組運(yùn)動(dòng)不變量{φj}在 WS 變換{α(t),ψ(t)}的作用下完全確定.而運(yùn)動(dòng)常數(shù)或不變積分{φj}的存在則反映了WS變換下系統(tǒng)的可積性.M?bius群本質(zhì)上是一個(gè)三參量(ψ(t),Reα(t),Imα(t))的李群,相軌跡{θj(t)}被{ψ(t),α(t)}以及{φj}唯一地確定.

下面從代數(shù)方程出發(fā)去推導(dǎo)ψ(t),α(t)的運(yùn)動(dòng)方程.根據(jù)方程(50)有

則對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為

其中

與(49)式對(duì)比可得

因此通過(guò)WS變換,可以將原始的N維相振子方程約化為三維的閉合方程,而振子數(shù)目N可以是有限的,也可以是無(wú)限大.

5.3 從WS變換到OA擬設(shè)

WS變換是一個(gè)從N維相空間向三維相空間的嚴(yán)格動(dòng)力學(xué)變換.不同于統(tǒng)計(jì)方法例如基于序參量的OA擬設(shè),WS方法并不依賴于任何近似條件或者特定狀態(tài),而是將整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)完整而嚴(yán)格地投影到低維系統(tǒng)中[56].當(dāng)振子數(shù)N → ∞時(shí),OA擬設(shè)下單一復(fù)序參量α1滿足的方程為(39)式,這是一個(gè)二維的閉合實(shí)方程.可以看到,WS變換下的三維方程(56)式中第一式即復(fù)序參量方程(39),因此一個(gè)自然的問(wèn)題是,這兩者之間是否存在某種聯(lián)系？在什么情況下WS變換可以退化到OA擬設(shè)？下面來(lái)分析一下WS變換和OA擬設(shè)這兩種降維方案之間的區(qū)別和聯(lián)系.

對(duì)于N振子系統(tǒng)(49)式,通過(guò)WS變換可以將序參量α1(t)重新表示為

從一組不變量{φj}出發(fā),若初始狀態(tài)已知,則系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)情況可以由三維方程(56)描述.取特定均勻分布{φj=2π(j — 1)/N},則序參量(57)式可簡(jiǎn)化為

方程中

其中“—”對(duì)應(yīng)于N為偶數(shù)的情況,“+”對(duì)應(yīng)于N為奇數(shù)的情況.當(dāng) N ?1,I ?1,序參量就可以取近似 α1(t)≈ α(t).因而,當(dāng)運(yùn)動(dòng)常數(shù){φj}取均勻測(cè)度時(shí),α1(t)與α(t)的方程完全一致,方程(56)中α(t)和ψ(t)的演化解耦,WS變換的三維方程流形退化到二維OA流形(39)式.

需要指出的是,當(dāng)運(yùn)動(dòng)常數(shù){φj}不取均勻測(cè)度時(shí),α(t)和ψ(t)的時(shí)間演化就會(huì)相互耦合而無(wú)法簡(jiǎn)單解耦,α(t)的動(dòng)力學(xué)行為將會(huì)受到ψ(t)的影響,此時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)在三維空間中進(jìn)行,α(t)和ψ(t)的運(yùn)動(dòng)會(huì)變得非常復(fù)雜[50,58].采用直角坐標(biāo),設(shè)α=x+iy,f=Ref+iImf,則三維方程(40)化為

圖2給出了方程(60)的運(yùn)動(dòng)軌道在α平面的Poincare截面落點(diǎn)分布.可以很清楚看到在|α|比較小的區(qū)域均為環(huán)面,α的演化為定態(tài)或周期振蕩.但在|α|較大的范圍,運(yùn)動(dòng)軌道是不規(guī)則、混沌的[58].在環(huán)面區(qū)域,類似于哈密頓系統(tǒng),環(huán)面對(duì)應(yīng)于低維的運(yùn)動(dòng),OA擬設(shè)可以成立.在混沌區(qū)域,α(t)和ψ(t)的演化相互耦合,OA擬設(shè)不適用.

圖2 序參量α相空間的Poincare截面落點(diǎn)分布,可以看到閉合環(huán)面和混沌散點(diǎn)Fig.2.The Poincare section of the order parameter α in phase space,where one can find the closed tori and chaotic scattered points.

6 序參量理論在幾個(gè)同步問(wèn)題研究中的應(yīng)用

6.1 經(jīng)典Kuramoto模型的同步相變

對(duì)于經(jīng)典Kuramoto模型,即平均場(chǎng)耦合振子系統(tǒng),Kuramoto已成功地通過(guò)自洽方程理論得到了臨界點(diǎn)及其臨界行為.下面利用OA擬設(shè)來(lái)研究該同步轉(zhuǎn)變問(wèn)題.由于自然頻率非均勻,因此需用非均勻參數(shù)情況下的擬設(shè).利用序參量

定義式可知,耦合函數(shù)中的分量分別為

即Kuramoto模型耦合函數(shù)只包含到一階傅里葉分量.由(39)式可以得到

如果 g(ω)為 Lorentz 分布

由(63)式有

(64)式的積分可以將ω延拓到復(fù)平面的上半平面進(jìn)行,利用留數(shù)定理可以得到 z(t)=α1(ω=i,t),將其代入到(63)式和(64)式中有

此即序參量滿足的動(dòng)力學(xué)方程.這個(gè)復(fù)方程可以寫成振幅和幅角兩個(gè)實(shí)方程.可以看到,該動(dòng)力系統(tǒng)存在臨界點(diǎn)Kc=2,當(dāng)K ≤ Kc時(shí),系統(tǒng)有唯一不動(dòng)點(diǎn) z ≡ 0,此即非相干態(tài);當(dāng) K ≥ Kc時(shí),z ≡ 0解失穩(wěn),系統(tǒng)分岔到新解

該解即同步解.對(duì)比Kuramoto自洽方程得到的結(jié)果可見(jiàn),二者完全一致.

6.2 奇異態(tài)研究

奇異態(tài)(chimera state)是近年來(lái)發(fā)現(xiàn)的一類對(duì)稱性破缺導(dǎo)致的時(shí)空斑圖涌現(xiàn)行為,它描述了結(jié)構(gòu)全同的單元(如相振子,其振子的自然頻率以及耦合方式都相同)在非局域耦合下會(huì)產(chǎn)生相干(coherence)和非相干(incoherence)共存的態(tài)[59,60].這種對(duì)稱性自發(fā)破缺的現(xiàn)象在很多生物系統(tǒng)中可以看到,例如海豚與其他海洋哺乳動(dòng)物、遷徙的候鳥(niǎo)等都具有一類有趣的半腦睡眠現(xiàn)象[61],即它們可以在左(右)腦休息的時(shí)候讓右(左)腦保持清醒的狀態(tài).人們?cè)贙uramoto模型以及其他很多振子系統(tǒng)特別是神經(jīng)系統(tǒng)中均發(fā)現(xiàn)了奇異態(tài)[62-67],并在光學(xué)混沌實(shí)驗(yàn)[68]和化學(xué)Belousov-Zhabotinsky(BZ)反應(yīng)實(shí)驗(yàn)[69]實(shí)現(xiàn).

結(jié)合相振子系統(tǒng),我們考慮如下的空間一維Ginzburg-Landau方程

這里φ(x,t)為t時(shí)刻位于空間x處振子的相位,ω為振子自然頻率,設(shè)為空間均勻且ω=0.積分代 表 空間不 同 位置振 子 間的耦 合,Δ x=x-x′,Δφ=φ(x,t)-φ(x′,t).α為振子間的相移(阻挫),設(shè) 0 ＜ α ＜ π/2.非負(fù)耦合核函數(shù) G(x)≥ 0 反映空間不同位置振子之間的非局域相互作用,通常設(shè)為歸一化且隨|x|增加而衰減的偶函數(shù):

下面用OA擬設(shè)方法來(lái)研究系統(tǒng)(67)式的奇異態(tài)動(dòng)力學(xué)[62,70,71].設(shè)振子分布函數(shù)為f(x,φ,t),它滿足連續(xù)性方程

其中相速度為

復(fù)序參量 Z(x,t)可表示為

利用序參量表達(dá)式(70)式,(69)式的相速度v(x,t)可表示為

考慮到相位φ的2π周期性,可將分布函數(shù)表為相位φ的傅里葉級(jí)數(shù)形式:

利用OA擬設(shè)[47],系數(shù)hn相互之間不獨(dú)立,它們滿足冪律關(guān)系:

將(74)式代入連續(xù)性方程(68)式,并比較兩邊exp(iφ)的不同階系數(shù)可得

利用(74)式也可將序參量重新表達(dá)為

利用(75)式和(76)式可得到序參量的演化動(dòng)力學(xué)行為.位于x處振子的相位長(zhǎng)時(shí)分布函數(shù)為

此處arg代表復(fù)函數(shù)h的幅角.上述分布函數(shù)為與(43)式形式相同的Poisson核函數(shù),其中心位于argh處,|h|刻畫分布的非均勻性.當(dāng)|h|=0時(shí),f(φ)為均勻分布;當(dāng)0 ＜ |h| ＜ 1 時(shí),f(φ)為單峰分布;當(dāng)|h|=1時(shí),由于分布(78)式分子分母均趨于零,可求極限得 f(φ)簡(jiǎn)并為 δ函數(shù) f(φ)=δ(φ — argh),它代表所有振子的鎖相.

系數(shù)h(x,t)也可以看作是在空間x處exp(iφ)的統(tǒng)計(jì)平均,即

與(70)式定義的序參量Z(x,t)相比較,h(x,t)沒(méi)有對(duì)空間的積分,即沒(méi)有考慮非局域效應(yīng).因此h(x,t)量度的是空間x處附近的同步相干性,是一種局域序參量.若對(duì)某一x處有|h(x,t)|=1,則在(x- ε,x+ ε)(ε? 1)范圍內(nèi)的振子會(huì)處于鎖相(相干態(tài)),而當(dāng)|h(x,t)| ＜ 1 時(shí),則在(x- ε,x+ ε)范圍內(nèi)的振子處于非相干態(tài),以此可以給出兩種態(tài)共存的奇異態(tài).

在定態(tài)情況下,進(jìn)一步利用(76)式可以得到序參量R(x)的自洽方程,進(jìn)一步可以確定其空間分布.當(dāng)然,也可用Kuramoto自洽方程理論來(lái)進(jìn)行討論,可以得到與上述OA方法在定態(tài)時(shí)一致的結(jié)果.進(jìn)一步的計(jì)算需要借助于數(shù)值方法,詳細(xì)討論可見(jiàn)我們的專著[51]與綜述文章[59,60].

6.3 高階序參量及其動(dòng)力學(xué)

很長(zhǎng)時(shí)間以來(lái),人們聚焦于Kuramoto模型中的簡(jiǎn)單耦合函數(shù)情形開(kāi)展研究.在多數(shù)情況下,振子間相互作用并不是簡(jiǎn)單的一階正弦耦合函數(shù).對(duì)于一般的耦合函數(shù),在第4節(jié)中已經(jīng)看到,不同階序參量之間是復(fù)雜的相互依賴關(guān)系.Daido[72]早在20世紀(jì)90年代初就通過(guò)對(duì)一般耦合函數(shù)的Fourier展開(kāi)提出了廣義序參量,但沒(méi)有進(jìn)一步討論不同序參量之間的關(guān)系,而是使用傳統(tǒng)的Kuramoto自洽方程方法進(jìn)一步討論.Pikovsky和Rosenblum[73]討論了如下具有相同自然頻率耦合振子的Kuramoto-Daido模型:

并引入了高階序參量{αn}.Pikovsky在該工作中早于Ott等[47]提出了序參量之間的依賴關(guān)系(擬設(shè)條件),即高階序參量{αn,|n| ≥ 2}均依賴于α±1.把(79)式中的耦合函數(shù)寫為Fourier級(jí)數(shù)形式,則動(dòng)力學(xué)方程可寫為

其中{αn}為(27)式定義的廣義序參量.考慮只有其中第l階Fourier分量耦合的情形,則動(dòng)力學(xué)方程可寫為

其中H(t)依賴于序參量αl.

下面討論利用WS變換來(lái)進(jìn)行理論分析[74].動(dòng)力學(xué)方程(81)可以重新寫為

注意到M?bius變換不唯一,而其逆變換唯一,則利用M?bius逆變換

(83)式可變換為{φk},α及其時(shí)間導(dǎo)數(shù)

可以看到{φk}的方程右邊不依賴于k,說(shuō)明變換后的相角{φk}均以相同角速度運(yùn)動(dòng),因此可引入新變量為一組運(yùn)動(dòng)常數(shù).顯然說(shuō)明M?bius變換映射可寫為

與一階耦合函數(shù)相比,這里形式上只是多出了l因子.

很多具體問(wèn)題可以應(yīng)用上述結(jié)果加以討論.例如近年來(lái)得到關(guān)注的三體相互作用平均場(chǎng)振子系統(tǒng)[75,76]

該系統(tǒng)對(duì)應(yīng)于方程(81)中l(wèi)=2,H(t)=α12的情形,因而可利用序參量方程(84)進(jìn)行討論.

再例如具有阻挫的二階簡(jiǎn)諧耦合振子系統(tǒng)[58]

7 結(jié) 論

綜上所述,大自由度復(fù)雜系統(tǒng)的同步是一類典型、基本的涌現(xiàn)行為.這種涌現(xiàn)行為的出現(xiàn)是大量個(gè)體或自由度共同參與、通過(guò)相互作用自組織形成的整體有序.有序意味著復(fù)雜系統(tǒng)低維宏觀行為的出現(xiàn),它往往是以序參量的出現(xiàn)作為標(biāo)志的,可借助于統(tǒng)計(jì)物理學(xué)思想和方法來(lái)加以研究.就序參量的涌現(xiàn)機(jī)制來(lái)看,協(xié)同學(xué)的理論與方法揭示了大量自由度的復(fù)雜系統(tǒng)如何通過(guò)內(nèi)部自組織與競(jìng)爭(zhēng)產(chǎn)生出有序,其中非常重要的理論任務(wù)就是對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)通過(guò)集體變量的分析來(lái)甄別快慢變量,并利用支配原理來(lái)進(jìn)行降維,得到序參量的動(dòng)力學(xué).降維方法的精髓在于尺度的可分離性,特別是時(shí)間尺度的快慢可區(qū)分性,這種特性可以其他形式體現(xiàn)出來(lái),如拓?fù)淞餍沃兄行牧餍蔚某霈F(xiàn)、變量中守恒律的存在等等.

在復(fù)雜系統(tǒng)同步的序參量動(dòng)力學(xué)理論方面,除了Kuramoto的建立和求解序參量滿足的自洽方程方法以外,Ott和Antonsen提出的擬設(shè)是近年來(lái)應(yīng)用較為廣泛的方案,該方案首先引入集體坐標(biāo)即各階廣義序參量,然后通過(guò)各階量之間的非獨(dú)立性來(lái)達(dá)到降維的目標(biāo).這里面就隱含了絕熱消去快變量的思想.需要指出的是,OA擬設(shè)在很多情況下是一種推測(cè),且在很多情況下不只是一階序參量是慢變量,另外的高階序參量也可能是慢變量,這需要從原始的各階序參量方程出發(fā),利用協(xié)同學(xué)基本原理來(lái)進(jìn)行分析.

下面討論一下對(duì)于實(shí)際系統(tǒng)同步作為整體動(dòng)力學(xué)的研究分析.利用序參量動(dòng)力學(xué)對(duì)同步的研究既可以是理論建立模型的研究,也可以是對(duì)實(shí)際問(wèn)題利用的降維方法進(jìn)行研究.相比于基于模型的理論研究,對(duì)于實(shí)際復(fù)雜系統(tǒng)有序行為的序參量動(dòng)力學(xué)重構(gòu)和研究顯然有著更為重大的意義和價(jià)值.對(duì)于很多實(shí)際中的復(fù)雜動(dòng)態(tài)系統(tǒng),在宏觀層面構(gòu)建其序參量動(dòng)力學(xué)是可能的,但也富于挑戰(zhàn)性.序參量動(dòng)力學(xué)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的研究是通過(guò)采集微觀數(shù)據(jù),然后在此基礎(chǔ)上進(jìn)行宏觀動(dòng)力學(xué)重構(gòu),因而是一個(gè)跨尺度動(dòng)力學(xué)重構(gòu)問(wèn)題,迄今為止這仍然是一個(gè)開(kāi)放的領(lǐng)域,與復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)重構(gòu)研究具有同樣重大的價(jià)值,是對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方面的重要探索范式,值得大力開(kāi)展研究.就本文討論的相位動(dòng)力學(xué)及其同步而言,其目前在應(yīng)用方面的主戰(zhàn)場(chǎng)之一是神經(jīng)與腦科學(xué)[84].我們不妨以此為例進(jìn)行說(shuō)明.神經(jīng)元的主體微觀動(dòng)力學(xué)是電信號(hào)的積累發(fā)放,目前實(shí)驗(yàn)方面已經(jīng)可以采集大量實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)并進(jìn)行分析整合.對(duì)于腦電波及其各種動(dòng)力學(xué)協(xié)同行為的研究,可以先抽取不同部位采樣的脈沖時(shí)間序列,再定義對(duì)應(yīng)的相位,就可以建立相位的時(shí)間序列信息,據(jù)此計(jì)算不同序參量,通過(guò)分析序參量的低維行為進(jìn)行討論.就目前的研究來(lái)看,很重要的一個(gè)課題是序參量動(dòng)力學(xué)模型的重構(gòu),這一問(wèn)題至今無(wú)論在神經(jīng)科學(xué)還是其他領(lǐng)域都還沒(méi)有很大的突破,但已有一些具有啟發(fā)性的研究思路.例如,Zhang等[85]和Chen等[86]近幾年提出了主超前相位方法、動(dòng)力學(xué)權(quán)重因子方法以及網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力學(xué)重構(gòu)方法,以此可以分析復(fù)雜系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)并結(jié)合序參量層次的動(dòng)力學(xué)描述,完全有可能提供一個(gè)可行的圖景.這些工作還需要大力推進(jìn).