Carathéodory方程解的變差穩(wěn)定性

李寶麟,王 寧

(西北師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,甘肅 蘭州 730070)

考察常微分方程

x=(x1,x2,…,xn)T,

考慮Carathéodory方程

(1)

成立。

‖f(x,s)-f(y,s)‖≤l(s)ω(‖x-y‖)

成立。

Carathéodory方程是一類不連續(xù)系統(tǒng),在適當?shù)臈l件下等價于廣義常微分方程。文獻[2]利用李雅普諾夫函數(shù)討論了廣義常微分方程的穩(wěn)定性理論。

1 預備知識

研究介紹Kurzweil積分與廣義常微分方程的概念以及研究要用到的一些已有結果。

定義1函數(shù)U:[a,b]×[a,b]→Rn在區(qū)間[a,b]稱為Kurzweil可積的,如果存在向量I∈Rn,使得對任意的ε>0,存在正值函數(shù)δ(t):[a,b]→(0,+∞),使得對區(qū)間[a,b]的任何δ-精細分劃D:a=α0<α1<…<αk=b有[2]

定義2如果函數(shù)F:G→Rn∈F(G,h,ω),G=Bc×[0,+∞)。對任意的t1,t2∈[0,+∞)有

F(0,t2)-F(0,t1)=0,

即對任意的s1,s2∈[0,+∞)有[2]

(2)

定義5若Carathéodory方程(1)的平凡解y≡0既是變差穩(wěn)定的又是變差吸引的,則稱Carathéodory方程(1)的平凡解y≡0是漸近變差穩(wěn)定的。

當‖x(t0)‖<δ,

2 主要結論

研究主要討論了Carathéodory方程(1)的變差穩(wěn)定性和漸近變差穩(wěn)定性。

(ⅰ) 存在一個連續(xù)遞增實函數(shù)b:[0,+∞)→R,使得b(ρ)=0當且僅ρ=0。

V(x,t)≥b(‖x‖),

(3)

V(0,t)=0,

(4)

并且(ⅲ)成立。

|V(x,t)-V(y,t)|≤K‖x-y‖。

(5)

如果函數(shù)V(x(t),t)對Carathéodory方程(1)的任何一個解y(t)是非增函數(shù),則方程(1)的平凡解y≡0是變差穩(wěn)定的。

證明令

‖F(xiàn)(x,r2)-F(x,r1)‖=

‖F(xiàn)(x,r2)-F(x,r1)-F(z,r2)+F(z,r1)‖=

ω(‖x-z‖)|h2(r2)-h2(r1)|,

再證Carathéodory方程(1)的平凡解x≡0是變差穩(wěn)定的。

由于假設函數(shù)V(x(t),t)對Carathéodory方程(1)的任何一個解x:[α,β]→Rn是非增函數(shù),即對廣義常微分方程(2)的任何一個解x:[α,β]→Rn也成立,所以對t∈[α,β]有

下述證明在這種假設下定義3的條件是滿足的。給定ε>0,令y:[t0,t1]→Rn是區(qū)間[t0,t1]上的有界變差函數(shù),且在(t0,t1]上左連續(xù)。由于函數(shù)V滿足文獻[2]中引理10.12的(10.16)和(10.17)式,其中:取Φ≡0。結合式(4)和式(5)可知,|V(0,t0)-V(y(t0),t0)|≤K‖y(t0)‖,所以對任意的r∈[t0,t1]有

(6)

則由式(6)可得

V(y(r),r)≤K‖y(t0)‖+Kδ(ε)≤2Kδ(ε)<α(ε),r∈[t0,t1]

(7)

如果存在一個ξ∈[t0,t1],使得‖y(ξ)‖≥ε,則由式(3)可得

這與式(7)矛盾。因此對所有的t∈[t0,t1],‖y(t)‖<ε成立,即證得Carathéodory方程(1)的平凡解x≡0是變差穩(wěn)定的。

-Φ(x(t))

(8)

成立,其中Φ:Rn→R是連續(xù)的,且Φ(0)=0,當x≠0時,Φ(x)>0。則Carathéodory方程(1)的平凡解x≡0是漸近變差穩(wěn)定的。

證明由式(8)可得,函數(shù)V(x(t),t)對Carathéodory方程(1)的任何一個解x:[α,β]→Rn是非增函數(shù)。因此,由定理1可得Carathéodory方程(1)的平凡解x≡0是變差穩(wěn)定的。根據(jù)定義5,以下只需證明其解是變差吸引的即可。

由Carathéodory方程(1)的平凡解x≡0是變差穩(wěn)定的可知,存在一個δ0∈(0,a),如果y:[t0,t1]→Rn,0≤t0

對任意的ε>0,由Carathéodory方程(1)的平凡解x≡0的穩(wěn)定性可知,存在一個δ(ε)>0,使得對任意的y:[t0,t1]→Rn,0≤t0

則對t∈[t0,t1]有

‖y(t)‖<ε。

(9)

M=sup{-Φ(x):γ(ε)≤‖x‖<ε}=

-inf{Φ(x):γ(ε)≤‖x‖<ε}<0。

假設y:[t0,t1]→Rn在區(qū)間[t0,t1]上是有界變差函數(shù),且在(t0,t1]上是左連續(xù)的,使得‖y(t0)‖<δ0,且

令T(ε)

V(y(t0+T(ε),t0+T(ε)))-V(y(t0),t0)≤

因此

V(y(t0+T(ε),t0+T(ε)))≤V(y(t0),t0)-Kδ0≤

K‖y(t0)‖-Kδ0

這與不等式

V(y(t0+T(ε),t0+T(ε)))≥b(‖y(t0+

T(ε))‖)≥b(γ(ε))>0

矛盾。所以一定存在一個t*∈[t0,t0+T(ε)],使得‖y(t*)‖<γ(ε)。又結合式(9),對所有的t∈[t*,t1],有‖y(t)‖<ε。因此對t>t0+T(ε)也有‖y(t)‖<ε,所以Carathéodory方程(1)的解x≡0是變差吸引的,即證得Carathéodory方程(1)的解x≡0是漸近變差穩(wěn)定的。

定理3設函數(shù)V:Ω×[0,+∞)→R,使得對任意x∈Ω,函數(shù)V(x,·)左連續(xù),假設V(x,·)是正定的,既滿足以下條件(ⅰ)(ⅱ):

(ⅰ) 存在一個連續(xù)遞增的實函數(shù)φ:[0,+∞)→R,使得φ(ρ)=0當且僅ρ=0。

(10)

V(0,t)=0,

(11)

并且(ⅲ)成立。

(ⅲ) 對任意的x,x′∈Ω,常數(shù)K>0有

|V(x,t)-V(x′,t)|≤K‖x-x′‖。

(12)

由于假設函數(shù)V(x(t),t)對Carathéodory方程(1)的任何一個解x:[α,β]→Rn是非增函數(shù),即對廣義常微分方程(4)的任意一個解x:[α,β]→Rn也成立,所以對t∈[α,β]有

對[t0,t1]上的任何一個分劃D:t0=α1<α2<…<αk=t1,有

(13)

V(x(r),r)≤V(x(t0),t0)+

(14)

因此,當

‖x(t0)‖<δ(ε),

則由式(14)可得

V(x(r),r)≤K‖x(t0)‖+Kδ(ε)≤2Kδ(ε)<

β(ε)，r∈[t0,t1]

(15)

定理4設函數(shù)V:Ω×[0,+∞)→R,滿足和定理3一樣的性質,如果對Carathéodory方程(1)的任何一個解x:[t0,t1]→Ω,當t∈[t0,t1]時,

-Φ(x(t))

(16)

對任意的ε>0,由 Carathéodory方程(1)的平凡解x≡0的變差穩(wěn)定性可知,存在一個δ(ε)>0,使得對任意的y:[t2,t3]→Rm,0≤t2

則對所有t∈[t2,t3],有‖y(t)‖<ε。

M=sup{-Φ(x):γ(ε)≤‖x‖<ε}=

-inf{Φ(x):γ(ε)≤‖x‖<ε}<0。

(17)

V(x(t0+T(ε),t0+T(ε)))-V(x(t0),t0)≤

MT(ε)

因此

V(x(t0+T(ε),t0+T(ε)))≤V(x(t0),t0)-Kδ0≤

K‖x(t0)‖-Kδ0

這與不等式

T(ε))‖)≥φ(γ(ε))>0