數(shù)學(xué)華章

范精華

心形線，獻(xiàn)給人類的愛心

誰說數(shù)學(xué)不浪漫？笛卡兒的極坐標(biāo)方程式r=a（1-sinθ），代入不同的數(shù)值，繪成的圖就是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的心形，又稱心形線或愛心函數(shù)，就是我們現(xiàn)在微信上經(jīng)常使用的那個(gè)紅色心形的模樣，這是笛卡兒獻(xiàn)給他愛人的信物，也是他獻(xiàn)給人類的愛！

這個(gè)方程式現(xiàn)在是高二數(shù)學(xué)選學(xué)內(nèi)容，在當(dāng)代的測(cè)量、導(dǎo)航等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。

笛卡兒一五九六出生于法國(guó)，從小體弱多病，有個(gè)好習(xí)慣就是特別喜歡思考，也參過軍，但未曾建立什么功勛，最后卻成為了杰出的數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家。

關(guān)于愛心函數(shù)，至今流傳著一個(gè)凄美動(dòng)人的故事，這故事未必為真，但人們寧愿信其有，而不愿信其無。

歐洲爆發(fā)黑死病期間，笛卡兒流浪到了瑞典首都斯德哥爾摩。天涯孤旅，竟遇知音，五十二歲的笛卡兒在街頭邂逅了美麗的瑞典公主、十八歲的克里斯汀。這不僅僅是數(shù)學(xué)愛好者遇上大數(shù)學(xué)家，還是出身完全不同、年齡相差一代的兩個(gè)人的偶遇，這份新奇感是如此的強(qiáng)烈，讓人欲醉還休。很自然地，笛卡兒成了克里斯汀的數(shù)學(xué)老師，并向她介紹了自己創(chuàng)立的直角坐標(biāo)系，就是我們現(xiàn)在初中階段學(xué)習(xí)的直角坐標(biāo)內(nèi)容，代數(shù)和傳統(tǒng)的幾何學(xué)結(jié)合了起來，這可是從來沒有見過的學(xué)問，克里斯汀表現(xiàn)了極大的興趣，數(shù)學(xué)水平也就如春潮下的約塔河，呼啦啦的猛漲。同時(shí)猛漲的還有兩人之間的那份感情，兩個(gè)高貴的靈魂走到了一起，他們相愛了。數(shù)學(xué)的天空是瑰麗的，那些圓、橢圓、半圓正如圓缺變化的月亮，那些符號(hào)和數(shù)字猶如星星閃耀著寶石般的光芒，那些曲線仿佛形狀千變?nèi)f化的云朵，那些直線、射線就是燦爛的星光。他們?nèi)缤瑑芍幻利惖囊国L，在數(shù)學(xué)王國(guó)的夜空中鳴唱！

可是，高貴的愛情遇到了冰冷的現(xiàn)實(shí)，國(guó)王知道了這事，怒不可遏，豈不是癩蛤蟆想吃天鵝肉么？立即下令要送笛卡兒去見上帝，只因克里斯汀苦苦哀求才饒過一命，但被驅(qū)逐出瑞典，重返法國(guó)。而克里斯汀呢，因?yàn)閴牧送跏业囊?guī)矩也受到了懲罰，被軟禁起來。笛卡兒重返法國(guó)不久就染上了黑死病，即便如此，他還是拖著孱弱的軀體堅(jiān)持給克里斯汀寫信，以訴說無盡的相思，可是連續(xù)十二封信都落到了國(guó)王手里。寫第十三封信時(shí)，笛卡兒已病入膏肓，寄走信后就帶著他那刻骨銘心的愛悄然去世。第十三封信照樣落到了國(guó)王的手上，可是只有一個(gè)數(shù)學(xué)方程式r=a（1-sinθ），國(guó)王莫名其妙，請(qǐng)了好幾位數(shù)學(xué)家研究來研究去也都是一頭霧水，找不著北。這是笛卡兒新發(fā)明的成果，陽春白雪，和者蓋寡，誰可知耶？既然如此，國(guó)王便將信給了克里斯汀。

克里斯汀如獲至寶，明白這方程式就是笛卡兒的心聲。她忙將方程式的圖形繪制了出來，這是一顆心的形狀，是以數(shù)學(xué)為營(yíng)養(yǎng)滋潤(rùn)的愛之果，這是笛卡兒用數(shù)學(xué)公式在向她表達(dá)深深的愛。

幾年后國(guó)王去世，克里斯汀登基成了瑞典國(guó)王，她不忘前情，立即派人尋找笛卡兒，可是斯人已逝，多少愛，那堪言？“一寸相思一寸灰”，留下的只有這個(gè)表達(dá)大愛的方程式！不禁讓人們唏噓之際想起華滋華斯的詩：“在落葉薔薇的灌木叢中，一只被遺棄的鳥巢盛滿了白雪。”

祖沖之的圓周率和“馬拉松”

一九三二年清華大學(xué)的語文考卷中有一道簡(jiǎn)單的題目：“已有上聯(lián)：孫行者；請(qǐng)寫出下聯(lián)?！边@道題難住了許多考生，有的考生甚至怪罪出題老師刁鉆古怪，其實(shí)最佳的下聯(lián)便是“祖沖之”，他是我國(guó)南北朝時(shí)期的大數(shù)學(xué)家。

外圍一定的木頭能鋸多寬（最寬）的板子？這實(shí)際上就是一個(gè)圓周率的問題。木工們很有經(jīng)驗(yàn)，在實(shí)踐中總結(jié)出了一句口訣：“尺木三寸板”，即外圍（圓的周長(zhǎng)）一尺的木頭，能鋸出最大寬度是三寸的板子，這里當(dāng)然不包括加工時(shí)刨掉了板子的少許毛邊。換句話說，就是圓的周長(zhǎng)是直徑的三倍多一點(diǎn)。于是引發(fā)一個(gè)問題，這“多一點(diǎn)”究竟是多多少？這個(gè)問題一直困擾人類幾千年，東漢張衡算出圓周率為3.162，三國(guó)時(shí)王蕃得出3.155，魏晉的大數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)明“割圓術(shù)”，就是不斷倍增圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)求出圓周率的方法，用此法算出為3.14，邁出了重要的一步。難能可貴的是，關(guān)于圓周率，劉徽還有一個(gè)說明：圓周率比3.14還要略為大一點(diǎn)，但是大多少呢？劉徽也無能為力了。

歷史這部大書翻到南北朝，奇跡終于出現(xiàn)了，祖沖之，亦采用“割圓術(shù)”首次將圓周率精確到了小數(shù)點(diǎn)后面第七位，介于3.1415926和3.1415927之間，這可是一個(gè)偉大發(fā)現(xiàn)，直到公元十六世紀(jì)，阿拉伯的數(shù)學(xué)奇才阿爾·卡西才打破這一紀(jì)錄，祖沖之比他早了一千多年！

別小看了這個(gè)結(jié)果，它可是世界數(shù)學(xué)史上的一個(gè)重要節(jié)點(diǎn)。圓周率是人類認(rèn)識(shí)世界、改造世界的一個(gè)強(qiáng)有力的工具，其應(yīng)用非常廣泛，凡是涉及到圓的相關(guān)問題，都要用到圓周率，特別是在天文、歷法等科學(xué)領(lǐng)域有著極為重要的應(yīng)用，用于宏觀的運(yùn)算，其精確度尤為關(guān)鍵。西方數(shù)學(xué)界將其記為π，日本數(shù)學(xué)家為了表達(dá)對(duì)祖沖之的尊重，又將其稱之為“祖率”。

祖率π，它是一個(gè)無理數(shù)，即無限不循環(huán)小數(shù)；又是一個(gè)超越數(shù)，即不是任何代數(shù)方程的根。它既明朗又神秘、既淺顯又深?yuàn)W、既簡(jiǎn)單又無窮，就像一個(gè)永遠(yuǎn)也探不到底的深澗，又像一個(gè)永遠(yuǎn)也望不到盡頭的長(zhǎng)河，然而它又是如此真切地?cái)[在人們面前，真是“神龍見首不見尾”?。』匈忏辟?，其中有象，讓人們神魂顛倒。它撩撥著數(shù)學(xué)家的神經(jīng)，歷代許多數(shù)學(xué)家對(duì)它情有獨(dú)鐘，研究它的人趨之若鶩，正所謂因喜歡而關(guān)注，因熱愛而思考。

祖沖之，無意中推動(dòng)了一場(chǎng)曠日持久的馬拉松大賽：德國(guó)數(shù)學(xué)家魯?shù)婪颉た埔羵愒谝晃寰帕陮⒆媛仕愕搅诵?shù)點(diǎn)后二十位，后來干脆心無旁鶩，專算祖率，花費(fèi)畢生精力將祖率算到小數(shù)點(diǎn)后三十五位，人們稱其為魯?shù)婪驍?shù)；一七○六年，英國(guó)數(shù)學(xué)家梅欽計(jì)算祖率終于突破一百位小數(shù)大關(guān)；一九四八年，英國(guó)的弗格森和美國(guó)的倫奇共同發(fā)布了祖率的八○八位小數(shù)值……

計(jì)算機(jī)出現(xiàn)了，可“祖率”馬拉松的接力賽沒個(gè)完，真?zhèn)€是“路漫漫其修遠(yuǎn)兮，吾將上下而求索”：一九四九年美國(guó)馬里蘭州一個(gè)實(shí)驗(yàn)室用計(jì)算機(jī)算到祖率二○三七位小數(shù)，首次突破千位大關(guān)；一九八九年美國(guó)哥倫比亞大學(xué)研究人員用兩臺(tái)巨型電子計(jì)算機(jī)計(jì)算出小數(shù)點(diǎn)后四點(diǎn)八億位數(shù)；二○一○年八月三十日，日本計(jì)算機(jī)奇才近藤茂利用家用計(jì)算機(jī)和云計(jì)算相結(jié)合，計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后五萬億位；而到了二○一九年的三月十四日，一位日本的女程序員已經(jīng)算到小數(shù)點(diǎn)后三十一點(diǎn)四萬億位！這是一篇永遠(yuǎn)也寫不完的壯麗史詩，續(xù)寫著人類追求圓周率精度的不朽詩行。

如此有什么實(shí)際意義嗎？現(xiàn)在還不太清楚，因?yàn)槿祟惖恼J(rèn)知總是有限的，也許在未來用得上，也許只是源于對(duì)它的好奇和興趣，也許在它身上藏匿著人類尚不可知的奧妙，誰知道呢？不過它的經(jīng)歷形象地說明了一點(diǎn)：人類對(duì)未知世界的探求永無止境。

“糟了，一塊暗礁！”

古印度宰相西薩·班·達(dá)依爾發(fā)明了國(guó)際象棋，這可是一個(gè)好玩的東西，帶給了人們多少樂趣！可達(dá)依爾也是一個(gè)好玩的人，國(guó)王舍罕王因?yàn)樗l(fā)明了國(guó)際象棋要獎(jiǎng)勵(lì)他，問他要什么賞賜。達(dá)依爾作為宰相，什么沒有呢？愛情、榮耀、幸福、權(quán)力、地位等等，應(yīng)該說是應(yīng)有盡有了。也許是貪欲讓他失去了理智，也許是腦瓜子被門夾了，也許是為了開個(gè)玩笑，他說：“陛下您只要在棋盤的第一格放上一粒麥子，第二格放上兩?！瓦@樣，后面一格的麥子數(shù)是前面一格的兩倍，一直放到第六十四格就可以了。”

舍罕王一聽不禁笑了起來，“你這個(gè)要求也太低了吧，無非就是幾粒麥子！”于是立即命人搬來幾袋麥子，按照達(dá)依爾的要求辦理。當(dāng)然，麥子并不一定非要放到棋盤上，只要照此計(jì)數(shù)就行了。舍罕王也許忘了，達(dá)依爾是個(gè)數(shù)學(xué)家。

前面幾格的麥子加起來還不夠塞牙縫，到第十格的時(shí)候，也不過五百一十二粒，第十一格，也只有一○二四粒，雖然超過四位數(shù)，但用雙手捧一捧也就足夠了，于是繼續(xù)……

到二十八格的時(shí)候，已經(jīng)超過億粒，就是以麻袋為計(jì)量單位來搬運(yùn)也滿足不了要求……讓人恐怖的是，后面還有三十六格，那將是怎樣的一種結(jié)果？

有人作過粗略計(jì)算，如果照此擺放到第六十四格，將棋盤上的麥子累加起來，約一○○七億噸。要知道，我國(guó)二○一八年糧食總產(chǎn)量才一萬三千億斤，折合六億五千萬噸，其中還包括了水稻、小麥、玉米等作物的產(chǎn)量。如按當(dāng)時(shí)生產(chǎn)能力估測(cè)，是印度出產(chǎn)小麥兩千年的產(chǎn)量，也是全世界五百年小麥產(chǎn)量的總和。

這是我們高中數(shù)學(xué)中的“等比數(shù)列”問題，公比為2。其結(jié)果在意料之外，卻是情理之中。因?yàn)榍懊媸畞眄?xiàng)數(shù)值都很小，讓人麻痹大意，越往后數(shù)值越大，如同滾雪球，瞬間膨脹成龐然大物，感覺如滾滾向前的火車具有雷霆萬鈞之勢(shì)，讓人目瞠口呆。所以實(shí)際上是一個(gè)陷阱，讓人驚悚。舍罕王的尷尬讓我們明白了兩個(gè)字：多思。還給我們以下啟示：把握事物的發(fā)展趨勢(shì)是多么重要；小的開局未必會(huì)有小的結(jié)局；平靜表象下掩蓋的本質(zhì)可能隱藏巨大的危機(jī)。

宰相的職位可是“一人之下，萬人之上”，但官職再大，國(guó)王還是你的領(lǐng)導(dǎo)，“領(lǐng)導(dǎo)不高興，問題很嚴(yán)重！”如此戲弄國(guó)王，無異于引誘國(guó)王的船往暗礁上撞哦，就是欺君之罪。推想結(jié)果只有兩種：要不你達(dá)依爾說明原理，道個(gè)歉，自己找個(gè)臺(tái)階下；要不舍罕王割下你的腦袋了事。

我們的靈魂是一艘三桅帆船，

尋它的伊加利亞，甲板上叫：“看哪！”

桅樓上的聲音熱烈瘋癲：

“愛情……榮耀……幸福！”

糟了，一塊暗礁?。úǖ氯R爾《惡之花》）

數(shù)學(xué)好玩，有時(shí)候也不是那么好玩的。

大海忠魂

說起大名鼎鼎的畢達(dá)哥拉斯，那可是如雷貫耳，古希臘偉大的數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家，還是杰出的思想家、科學(xué)家、占星師。對(duì)與他同時(shí)代巴門尼德及稍后的蘇格拉底、柏拉圖的哲學(xué)思想產(chǎn)生過重大影響，并創(chuàng)立了大名赫赫的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。其他的不說，單憑他發(fā)現(xiàn)的畢達(dá)哥拉斯定理，即勾股定理，雖說比中國(guó)晚了一、二百年，但也是獨(dú)立發(fā)現(xiàn)，在西方就影響巨大。

很不幸的是，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派既是一個(gè)學(xué)術(shù)團(tuán)體，又是一個(gè)政治和宗教團(tuán)體，帶有濃厚的神秘主義色彩，規(guī)矩森嚴(yán)，對(duì)違規(guī)者處罰極重；更不幸的是，畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為世界上只存在整數(shù)和分?jǐn)?shù)，除此之外不再有其他的數(shù)。

可以想見，如果這世界上只有整數(shù)和分?jǐn)?shù)，很多問題是無法解決的，例如，一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，它的對(duì)角線是多長(zhǎng)？（現(xiàn)在用表示）無法用整數(shù)和分?jǐn)?shù)表示，那它又是一個(gè)什么數(shù)呢？首先發(fā)現(xiàn)這個(gè)問題的是希伯索斯。

希伯索斯是畢達(dá)哥拉斯的杰出門生，生于公元前500年（相當(dāng)于我國(guó)的戰(zhàn)國(guó)時(shí)期）的意大利南部的麥塔龐頓。他是個(gè)勤于思考又有主見的人，從不人云亦云，對(duì)角線長(zhǎng)度的問題引起了他的特別關(guān)注，花了許多時(shí)間研究，終于得出了結(jié)論：這不是整數(shù)，也不是分?jǐn)?shù)，而是另外一種此前尚未發(fā)現(xiàn)、尚未命名的數(shù)。

“另外一種數(shù)”的發(fā)現(xiàn)，對(duì)于畢達(dá)哥拉斯學(xué)派無異于大地震，動(dòng)搖了整個(gè)學(xué)派的基礎(chǔ)，門徒們?yōu)榱藢W(xué)派的威望和尊嚴(yán)，嚴(yán)密封鎖了消息，禁止任何人提及“另外一種數(shù)”，否則以極刑侍候，就是活埋。

這樣重大的新發(fā)現(xiàn)又如何能夠封鎖得了呢，“另外一種數(shù)”的理論不脛而走，且成星火燎原之勢(shì)，學(xué)派內(nèi)部嚴(yán)查泄密者，竟然是希伯索斯本人。這還了得？！這不是背叛老師背叛自己的學(xué)派嗎？對(duì)可恥的叛徒必須嚴(yán)懲，門徒們開始了對(duì)希伯索斯的追殺。

希伯索斯知道大禍臨頭，好漢不吃眼前虧，倉皇出逃，在異國(guó)他鄉(xiāng)流浪了好幾年?？墒撬监l(xiāng)心切，又偷偷潛回了家鄉(xiāng)。不幸再次光臨，在航行于地中海的一條船上，畢達(dá)哥拉斯的狂熱門徒發(fā)現(xiàn)了他……史料表明，希伯索斯被扔到了海里，我們可以設(shè)想這樣的場(chǎng)景：

船兒在夜色中行進(jìn)，只有細(xì)浪在呢喃，一切安靜如常。在一個(gè)殘燈搖曳、陰暗潮濕的船艙里，幾個(gè)人悄悄地然而是迅猛地地朝希伯索斯撲了過去，兇狠地堵住他的嘴，又用繩索將他捆個(gè)嚴(yán)實(shí)，然后打開艙門，四顧無人，讓他順著船舷滑了下去，幾乎聽不到落水的聲響……

因?yàn)榭蓯u的謀殺者，大都不敢在光天化日之下行兇，也不敢鬧出大的動(dòng)靜，只能偷偷摸摸施行罪惡。

他們將人間最珍貴的寶石扔進(jìn)了海里，將一個(gè)天才扔下去喂魚，地中海揚(yáng)起了不絕的滔聲，是在哭泣，為邪惡對(duì)正義的摧殘，為謬論對(duì)真理的圍剿而哭泣！

科學(xué)每前進(jìn)一步，都是異常艱難的，科學(xué)家的人生字典里從來沒有什么“歲月靜好”這幾個(gè)字，有的只是負(fù)重前行，甚至要付出生命的代價(jià)，即如布魯諾，因堅(jiān)持和捍衛(wèi)“日心說”，被燒死在羅馬鮮花廣場(chǎng)；伽利略曾長(zhǎng)期受迫害，并被判終身監(jiān)禁，難怪他要說：“追求科學(xué)需要特殊的勇氣。”

真理從來不會(huì)被湮滅，正義可能會(huì)遲到，但永遠(yuǎn)不會(huì)缺席。“另外一種數(shù)”還是以不可阻擋之勢(shì)傳播開來。人們對(duì)于整數(shù)和分?jǐn)?shù)已經(jīng)使用了很久，也已經(jīng)習(xí)慣了，又好理解，于是合到一起稱有理數(shù)，對(duì)于“另外一種數(shù)”還不好理解更不習(xí)慣，甚至還不太懂，于是干脆稱為無理數(shù)。

無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，使數(shù)學(xué)中許多問題迎刃而解。讓人大跌眼鏡的是，無理數(shù)比有理數(shù)還多。按常理希伯索斯應(yīng)該還有著作，但人都被喂了魚，還會(huì)讓他的著作流傳下來嗎？所以至今，我們只知道他發(fā)現(xiàn)了無理數(shù)，找不到他的著述。

未曾想畢達(dá)哥拉斯一世英名，榮光萬丈，卻背上這個(gè)無法清洗掉的污點(diǎn)，看來萬事皆有度，對(duì)于自信也是，過則成殃。

“一筆畫”與七座橋

是否還記得我們的小學(xué)時(shí)代？某一天，你的同學(xué)會(huì)興沖沖地拿過一張紙，在上面畫一個(gè)圖來考你，說：你能一筆畫出這個(gè)圖嗎？圖是這樣的：矩形內(nèi)有兩條交叉的對(duì)角線，在矩形上方兩個(gè)角之間連接一條折線，要求一筆畫出來。于是你饒有興趣，一遍又一遍地試驗(yàn)，過了一會(huì)，你情不自禁叫了起來“哈，我畫出來了！”

不要以為這僅僅是我們少年時(shí)代用來好玩的東西，這是一個(gè)幾何學(xué)問題，叫做“一筆畫”，源于十八世紀(jì)的哥尼斯堡。

十八世紀(jì)的哥尼斯堡，是東普魯士一座不大的城市，位于普累格河兩岸。二戰(zhàn)以后，根據(jù)《波茨坦協(xié)定》，哥尼斯堡劃歸蘇聯(lián)，并更名為加里寧格勒，現(xiàn)為俄羅斯加里寧格勒州首府。

當(dāng)時(shí)河中有兩個(gè)島，一個(gè)島的兩側(cè)分別有兩座橋與河的兩岸相連，另一個(gè)島的兩側(cè)分別有一座橋與河的兩岸相連，兩個(gè)島之間亦有一座橋相連，所以一共有七座橋。此處曲徑通幽，輕濤拍岸，又有絢麗的晚霞掠過城堡的尖頂，投射到河面上，波光粼粼；長(zhǎng)嘴的白色鵜鶘在水面游弋，悠閑自在；其貌不揚(yáng)的黑色鸕鶿則在圍獵水中的游魚，忙不迭將叼在嘴中的小魚吞下去。夕陽下游人如織，又有對(duì)對(duì)情侶在橋邊流連，真是個(gè)詩情無限的所在，“美得如一張明信片”。徜徉在旖旎風(fēng)光中的人們忽發(fā)奇想：“一個(gè)散步者怎樣能一次走遍七座橋，每座橋只走過一次，最后回到出發(fā)點(diǎn)？”沒有人能回答這個(gè)問題，人們發(fā)現(xiàn)自己給自己找了個(gè)難題！

這個(gè)挺有意思的問題引起了大數(shù)學(xué)家歐拉的注意，不由得開動(dòng)了他那天才大腦，可是他卻說起了日常的小經(jīng)驗(yàn)：現(xiàn)實(shí)中無論怎樣的走法，總可以用點(diǎn)和線來表達(dá)成一個(gè)網(wǎng)絡(luò)。如果我們從某一點(diǎn)出發(fā)，一筆畫出了某個(gè)圖形，到某一點(diǎn)終止，那么中間每經(jīng)過一點(diǎn)，總有畫進(jìn)那點(diǎn)去的一條線和從那點(diǎn)畫出來的一條線，所以除了起點(diǎn)和終點(diǎn)外，這個(gè)圖形的每一點(diǎn)應(yīng)該和偶數(shù)條線相連，如果起點(diǎn)和終點(diǎn)重合，那么連這一點(diǎn)也應(yīng)該與偶然條線相連，否則就畫不出來。于是催生了一筆畫定理：一筆畫必須是連通的，并且有奇頂點(diǎn)（指從這一點(diǎn)引出的線是奇數(shù)條）的個(gè)數(shù)是0或2（見姜伯駒《一筆畫和郵遞路線問題》），真是讓人茅塞頓開。

歐拉就這樣解決了哥尼斯堡七座橋的難題，結(jié)論是：這樣的走法不存在。歐拉將“一筆畫”問題及其研究起了個(gè)既形象又新鮮的名稱：位置幾何學(xué)，并由此創(chuàng)立了拓?fù)鋵W(xué)。

別小看了“一筆畫”，在優(yōu)化郵遞線路和規(guī)劃公交車路線上有著極大的優(yōu)勢(shì)，運(yùn)用得好，可大大提高效率并惠及民生。可見，數(shù)學(xué)家同樣可以“鐘情苦艾，醉眼星空”，在關(guān)注詩和遠(yuǎn)方的同時(shí)，造福于民。我國(guó)管谷梅教授早在一九六○年即提出郵遞員問題，取得豐碩成果，在國(guó)際圖論界被命名為"中國(guó)郵路問題"，載入經(jīng)典著作中，讓這個(gè)古老的難題煥發(fā)了青春，中華民族，又在世界幾何學(xué)上畫上了濃墨重彩的一筆！

概率論：歪缸里釀出的好酒

如果將數(shù)學(xué)比做一個(gè)百花園，那么概率論就是非常絢麗的一朵，并且越來越艷麗，可是這株?duì)N爛之花卻是從骯臟之處長(zhǎng)出來的！你信嗎？

月色下的島嶼朦朧又迷人，海浪正輕吻著島岸發(fā)出輕輕的呢喃，一艘三桅船停在島邊，桅尖上飄揚(yáng)著黑色的旗幟，旗幟上白色的骷髏頭隱約可見……昏黃的光線從船艙里弱弱地蕩了出來，船艙里的人正光著膀子用骯臟的大手興奮地?cái)S著骰子，有的人在豪飲著啤酒，但無一例外眼光里噴射出貪婪。骰子落到桌子上了，滾動(dòng)著發(fā)出嗒啦嗒啦的響聲，緊接著驚叫聲、咒罵聲傳了過來，說不定還會(huì)有一場(chǎng)兇狠的斗毆。這就是海盜們?cè)谫€博，我們?cè)谝恍┩鈬?guó)電影中見過的場(chǎng)景。

賭博，似乎是人類遺傳的不良基因之一，也是源遠(yuǎn)流長(zhǎng)的社會(huì)痼疾。豈只是海盜賭博？從國(guó)王到平民，幾乎都有這一嗜好。即如十七世紀(jì)中葉，法國(guó)的宮廷里就盛行著擲骰子的賭博方法。就是到了當(dāng)代，賭博仍風(fēng)行于世界，只是在一些國(guó)家里，賭博視為非法，被嚴(yán)加禁止，然而如暗流涌動(dòng)，偶爾也會(huì)翻出大浪。

既然賭博就會(huì)有輸贏，既然有輸贏那就誰都想贏或者多贏，于是，數(shù)學(xué)家就被請(qǐng)出來了。早在十六世紀(jì)，意大利的學(xué)者吉羅拉莫·卡爾達(dá)諾就開始研究擲骰子中的一些簡(jiǎn)單問題，后來賭徒們又向法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡和費(fèi)爾馬請(qǐng)教，“基于排列組合方法，研究了一些較復(fù)雜的賭博問題，他們解決了分賭注問題、賭徒輸光問題?！庇谑?，概率論就產(chǎn)生了。

波德萊爾有一本詩集叫《惡之花》，是說從罪惡之地亦可開出絢麗的花朵來，亦如我們常說的一句熟語：“歪缸里釀好酒”，概率論的產(chǎn)生正是如此，它源于賭博。

大作家汪曾祺有一個(gè)重要的文學(xué)主張，就是“寫生活中的可能性”，在這一點(diǎn)上，概率論與汪論是一致的，是一門研究事件發(fā)生的可能性的學(xué)問。在一定的條件下必定會(huì)發(fā)生的事件概率為1，必定不會(huì)發(fā)生的事件的概率為0，可能發(fā)生的事件的概率則在0與1之間。在0與1之間，數(shù)值越大則表明事件發(fā)生的可能性越大，反之則可能性越小。

有意思的是，盡管每一次事件的發(fā)生是隨機(jī)的，似乎沒什么規(guī)律可循，即如我們拋擲硬幣，或許連拋幾次落地后都是正面朝上，反面一次都沒有，如果是打賭，你幾次連賭正面都中了，那只能說明你運(yùn)氣好，瞎貓撞著了死老鼠，或者說祖墳冒煙了，并不代表這就是規(guī)律。那規(guī)律是什么呢？如果你拋的次數(shù)多了，例于兩萬次以上，那正面朝上的次數(shù)就必定是一萬次左右，很接近總數(shù)的二分之一，而且拋的次數(shù)愈多，愈接近二分之一，這時(shí)我們就得出規(guī)律性的東西了，硬幣正面朝上的概率是0.5。又如生男生女，幾乎每個(gè)國(guó)家的男女人數(shù)各占總?cè)丝诘亩种?，所以，如果沒有外在因素干預(yù)，生男的概率就是0.5。

概率論的問世，發(fā)現(xiàn)了人類活動(dòng)及自然界演變?cè)跀?shù)學(xué)上的一些規(guī)律，它與統(tǒng)計(jì)學(xué)相結(jié)合，又從對(duì)人類活動(dòng)及自然界個(gè)別領(lǐng)域的研究拓展到全部領(lǐng)域，這無疑是一個(gè)了不起的進(jìn)程，無不閃耀著人類智慧的光芒。概率與統(tǒng)計(jì)，已逐步發(fā)展成一門嚴(yán)謹(jǐn)且應(yīng)用十分廣泛的學(xué)科。在自然科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、醫(yī)學(xué)、金融學(xué)等領(lǐng)域尤其不可或缺，特別是對(duì)未來大局的數(shù)量預(yù)測(cè)大有用途，是國(guó)家制定政策的有功之臣。各國(guó)政府公布的許多數(shù)據(jù)，都是根據(jù)概率統(tǒng)計(jì)學(xué)推算出來的。當(dāng)今已進(jìn)入大數(shù)據(jù)時(shí)代，給概率統(tǒng)計(jì)學(xué)提供了極為廣闊的天地，深邃的天空、廣袤的大地、綠色的原野、湍急的河流、還有熙熙攘攘的人群、形形色色的野生動(dòng)物等等都可成為它的研究對(duì)象，其作用和地位也將變得越來越重要。

“數(shù)學(xué)王子”高斯

德國(guó)，本來就是一個(gè)盛產(chǎn)數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家和作曲家的國(guó)度。高斯一七七七年四月出生于德國(guó)中北部布倫茲維克的一個(gè)貧困家庭，父親是個(gè)小保險(xiǎn)公司的評(píng)估師，對(duì)高斯十分嚴(yán)厲使其養(yǎng)成了誠(chéng)實(shí)謙虛的性格，母親很有智慧卻沒有上過學(xué)但全力支持他“鼓搗”數(shù)學(xué)，聰明的舅舅對(duì)他的影響很大，引導(dǎo)他追求學(xué)問探究未知。

高斯的聰慧可以說是與生俱來的，或者說，他就是一個(gè)天才，一個(gè)偉大的天才，他那顆腦袋，是為數(shù)學(xué)而生的，也是為科學(xué)而生的。

高斯三歲時(shí)就能指出父親借債帳目上的謬誤，十歲時(shí)上小學(xué)三年級(jí)，因一道算術(shù)題讓他譽(yù)滿桑梓。一天，數(shù)學(xué)教師布特納要用“數(shù)字長(zhǎng)蛇陣”教訓(xùn)一下這些調(diào)皮的小家伙：求1+2+3+4+5+…+98+99+100的和，誰先做出來誰先回家。誰知他的話音剛落，高斯已將答案遞給了他，是寫在石板上的。布特納起初也沒在意，交得早并不等于你做得對(duì)啊。但看完全班五十余名學(xué)生的作業(yè)后，只有高斯的結(jié)果是對(duì)的。這倒也算不得過人之處，讓布特納大吃一驚的是高斯的解題方法，因?yàn)楦咚拱l(fā)現(xiàn)了一個(gè)規(guī)律：1+100=101；2+99=101；3+98=101……就是說，共有50個(gè)101相加，即1+2+3……+98+99+100=101×50=5050。如此算法，古也有之，但從沒有誰教過高斯，只能說高斯與“古人暗合”，由此可知高斯的思維是何等的活躍。在相同的時(shí)間內(nèi)，獲得比別人多的學(xué)問，那叫天賦；用比別人多的時(shí)間獲得和別人相同的學(xué)問，那叫刻苦。可見，高斯是有天賦的。

青青小草，迎風(fēng)起舞。在數(shù)學(xué)的高原上，高斯已顯示自己的勃勃生機(jī)與靈性，可另一個(gè)世界幾何難題的解決，則讓高斯一夜之間變成了一棵大樹，從而讓人們發(fā)現(xiàn)了這個(gè)天才。

只用直尺和圓規(guī)作正十七邊形，這個(gè)故事頗有戲劇性。高斯的中學(xué)（一說大學(xué)）數(shù)學(xué)教師也是一位知名的數(shù)學(xué)家，對(duì)高斯自然是特別關(guān)心，常常借數(shù)學(xué)書給高斯研讀，還常給他數(shù)學(xué)難題做。有一天早晨，神情疲憊的高斯拿著一卷紙交給數(shù)學(xué)老師說，您這個(gè)題目真有點(diǎn)難，我也真笨，做了一個(gè)通宵才有了結(jié)果，也不知道解法對(duì)不？數(shù)學(xué)老師說，這段時(shí)間我沒有給你布置題目??！高斯說，您借我的書里夾的紙條上就是這個(gè)題目哦。老師一聽，趕忙打開紙卷看起來，一會(huì)兒竟至于雙手都顫抖了：我說高斯，你太了不起了，你解決了一個(gè)世界難題！

原來，數(shù)學(xué)老師苦心鉆研只用直尺和圓規(guī)作正十七邊形有好多年了，可是沒有結(jié)果，他將這個(gè)世界難題寫在小紙片上隨意夾進(jìn)了書里。高斯看到后以為是老師要他做的題目，于是便認(rèn)真解答起來，可是這題目居然讓高斯皺起了眉頭，圓規(guī)在紙上舞蹈，曲線在圖上逶迤，直尺在紙上縱橫馳騁，直線射線在圖上貫通，從華燈初上到夜深人靜，毫無進(jìn)展，又從萬籟俱寂到旭日初升才有所發(fā)現(xiàn)。而對(duì)于此時(shí)的高斯來說，意味著兩道曙光同時(shí)升起：晨曦初露是自然界的曙光，求解難題也摸到了竅門，看到了曙光。但他拿不準(zhǔn)，便來找老師請(qǐng)教。

一個(gè)自古希臘以來兩千多年困擾諸多數(shù)學(xué)大師如阿基米德、牛頓等的世界難題就被高斯一夜之間破解了！時(shí)在一七九六年三月三十日，高斯十九歲。高斯后來回憶說：“如果有人告訴我，那是一道千古難題，我可能永遠(yuǎn)也沒有信心將它解出來?！?/p>

高斯一生低調(diào)、緘默，有一百五十五篇論文，許多數(shù)學(xué)成果沒有發(fā)表。一八九八年偶然在高斯孫子保存的遺物中發(fā)現(xiàn)了一本筆記，上面記錄了一百四十六條新發(fā)現(xiàn)或定理的證明。所以有人評(píng)價(jià)高斯：“這個(gè)人，就像狐貍似的，把沙土上留下的足跡，用尾巴全部掃掉?！焙偸墙苹模咚箙s是忠誠(chéng)的，謹(jǐn)慎的，他擔(dān)心自己的研究成果不嚴(yán)謹(jǐn)，擔(dān)心謬種流傳，所以從不輕易發(fā)表?？墒聦?shí)與他想象的恰恰相反，他的推論和演算天衣無縫，無懈可擊，他還修正了其他數(shù)學(xué)家成果中論證不準(zhǔn)確之處。由此，足可見高斯人格的偉大！偉大不必張揚(yáng)，深刻何須表露！

“高斯和阿基米德、牛頓、歐拉并列為世界四大數(shù)學(xué)家。一生成就極為豐碩，以他名字“高斯”命名的成果達(dá)一百一十個(gè)，屬數(shù)學(xué)家中之最。他對(duì)數(shù)論、代數(shù)、統(tǒng)計(jì)、分析、微分幾何、大地測(cè)量學(xué)、地球物理學(xué)、力學(xué)、靜電學(xué)、天文學(xué)、矩陣?yán)碚摵凸鈱W(xué)皆有貢獻(xiàn)。”

高斯曾在哥廷根大學(xué)就讀、執(zhí)教并創(chuàng)立哥廷根學(xué)派，先后又有黎曼、狄利克雷、雅可比、希爾伯特、克萊因等大數(shù)學(xué)家在此任教，使哥廷根數(shù)學(xué)學(xué)派進(jìn)入了全盛時(shí)期。至二十世紀(jì)初，哥廷根已成為世界數(shù)學(xué)的中心，成為數(shù)學(xué)家心中的燈塔，“打起你的背包，到哥廷根去”，一時(shí)宛若長(zhǎng)鯨向海，旅鳥歸林。

高斯去逝后，哥廷根大學(xué)為他立的紀(jì)念碑的底座就是正十七邊形，高斯的頭像還曾印在德國(guó)鈔票馬克上。高斯是一面旗幟，永遠(yuǎn)飄揚(yáng)在數(shù)學(xué)珠穆朗瑪峰的尖頂，高斯是啟明星，永遠(yuǎn)閃耀在數(shù)學(xué)的天空！

當(dāng)哲學(xué)和數(shù)學(xué)結(jié)為伉儷……

“哲學(xué)雖無小用，但有大用；雖無近用，但有遠(yuǎn)用；雖無淺用，但有深用”。哲學(xué)和任何一門科學(xué)的有機(jī)結(jié)合，都會(huì)使之發(fā)生翻天覆地的變化，哲學(xué)和文學(xué)的結(jié)合，常常催生出大作家大詩人，如薩特、泰戈?duì)柕?。而杰出的?shù)學(xué)家?guī)缀鮽€(gè)個(gè)都是哲學(xué)家。

哲學(xué)和數(shù)學(xué)結(jié)成伉儷，“金風(fēng)玉露一相逢，便勝卻、人間無數(shù)?！鄙铝嗽S多寶貝，其中的一個(gè)還是超級(jí)寶貝，這寶貝威力可大了，比中國(guó)神話傳說中的哪吒還厲害，比起孫悟空還神通廣大，這便是微積分。

在十七世紀(jì)微積分發(fā)明之前，初等數(shù)學(xué)對(duì)許多問題束手無策，比如運(yùn)動(dòng)物體的瞬時(shí)速度，曲線的長(zhǎng)度，曲面的面積等等。

詩生澤畔，理出山丘，那微積分的靈思妙想又出自哪里？

用通俗的語言來準(zhǔn)確表述微積分是困難的，只能說個(gè)大概：微分就是將研究對(duì)象依照一定的規(guī)律分割成無窮小的部分進(jìn)行研究，而積分則是將無窮小的部分也依照一定的規(guī)律累加起來進(jìn)行研究，這里所說的規(guī)律就是指函數(shù)關(guān)系，積分是微分的逆運(yùn)算。

讓中華民族值得驕傲的是，三國(guó)時(shí)期的劉徽的“割圓術(shù)”其實(shí)就已包含微積分基本原理：當(dāng)圓的內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時(shí)，正多邊形的每條邊的長(zhǎng)度無限接近對(duì)應(yīng)的圓弧的長(zhǎng)度，這就是極限的概念，如果用一個(gè)函數(shù)來表達(dá)，就是微分的概念；將正多邊形無限條邊累加起來，正多邊形的周長(zhǎng)就無限接近圓的周長(zhǎng)，這便是積分的概念。

但我們并不能以此為由，對(duì)劉徽沒有創(chuàng)建類似微積分的數(shù)學(xué)體系而求全責(zé)備，因?yàn)槲⒎e分理論的大廈，不是一蹴而就的，而是幾代數(shù)學(xué)家經(jīng)年累月共同“砌筑”才建成并“裝修”好的，但大廈的設(shè)計(jì)者還是牛頓和萊布尼茲。

世間萬事萬物都在運(yùn)動(dòng)變化中，如朝暉夕陰，月圓月缺，山呼海嘯，江河奔流，春耕夏耘，秋收冬藏。無論是微分過程還是積分過程，也是一種運(yùn)動(dòng)的過程，研究的量都是“變量”，都在不停的變化之中。它研究運(yùn)動(dòng)中的數(shù)學(xué)問題，同時(shí)以運(yùn)動(dòng)的方法論研究數(shù)學(xué)問題。

微積分中的運(yùn)動(dòng)和變化的概念，有限和無限的概念，完全是基本的哲學(xué)思想，可見哲學(xué)在微積分的創(chuàng)立中扮演了多么重要的角色。

莊子說，“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，也就是說，這個(gè)棰是無限可分的；又如劉徽所說“割之彌細(xì)，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則與圓周和體而無所失矣?！边@些都是極根的概念，而極限，正是微積分的基石。

牛頓和萊布尼茲同時(shí)發(fā)明了微積分，這是個(gè)讓人詫異的結(jié)論，難道真如中國(guó)流行的一句成語：“英雄所見略同”？世上真有如此巧合之事？由此大英帝國(guó)與歐洲大陸各國(guó)還爆發(fā)了一場(chǎng)長(zhǎng)達(dá)一個(gè)多世紀(jì)的論戰(zhàn)，并指責(zé)萊布尼茲剽竊了牛頓的成果。而事實(shí)是，牛頓研究微積分在先，成果發(fā)布在后；萊布尼茲研究在后，成果卻發(fā)布在先。于是，后人干脆將微積分的關(guān)鍵公式稱為“牛頓—萊布尼茲公式”，這樣才算平息了這場(chǎng)戰(zhàn)火。

后來，又經(jīng)過柯西、維爾斯特拉斯等數(shù)學(xué)家進(jìn)一步整理并嚴(yán)格化、規(guī)范化，堵塞了許多漏洞，微積分理論終于周密完善，固若金湯，無懈可擊。

忽如一夜春風(fēng)來，千樹萬樹梨花開！微積分大廈的建成，是世界數(shù)學(xué)史上的里程碑，也是人類值得驕傲的偉大發(fā)現(xiàn)！幾乎所有的自然科學(xué)，都要用到微積分運(yùn)算，就是一些社會(huì)科學(xué)的研究，也離不開微積分。即如天氣預(yù)報(bào)，明天或者后天是風(fēng)和日麗呢還是大雨滂沱呢抑或陰霾籠罩？俗有“天有不測(cè)風(fēng)云”之說，可見并非易事，但用偏微分方程卻能搞定。

人類思維能夠達(dá)到的地方，也許就是數(shù)學(xué)能夠達(dá)到的地方，至少在目前，微積分是數(shù)學(xué)神器上的解碼器。

責(zé)任編輯：易清華