對一個光學問題的深入剖析

王偉民 辛存良

(1. 安徽省太和縣宮集鎮(zhèn)中心學校，安徽 太和 236652； 2. 山東省陽谷縣西湖中學，山東 陽谷 252311)

從一線教師對一道光學題目的困惑說起．

例1.如圖1所示,一塊兩側面平行的圓形玻璃板,沿球狀曲面將其切割成左右兩部分(球面半徑遠大于玻璃板口徑),分別成為凸透鏡和凹透鏡,沿主軸方向橫向拉開一段距離后,如圖2所示,讓一束與凸透鏡主軸平行的光束從左邊照射到凸透鏡上,經兩透鏡兩次折射后,折射光束

圖1 玻璃磚切割示意圖

(A) 仍平行于主軸.

(B) 一定是發(fā)散光.

(C) 一定是會聚光.

(D) 可能發(fā)散,也可能會聚,但不可能是平行光.

圖3 平行光穿過玻璃板示意圖

這是一道在多個中學物理教輔資料光學部分可以看到的題目．解決這道題目給出問題的關鍵,是判斷玻璃板分割成的凸透鏡和凹透鏡焦距之間的大小關系．筆者發(fā)現(xiàn),很多教師對這道題目感到困惑,主要是對玻璃板沿球狀曲面切割得到的兩個透鏡焦距大小關系的比較存在疑惑．這些教師的分析思路是這樣： 如圖3所示,在玻璃板已經切割成兩塊但還沒有分開之前,作為整體它依舊是左右兩側面平行的玻璃板,所以,垂直于側面射入的光線由空氣進入玻璃時不發(fā)生偏折,由玻璃板射出進入空氣時也不發(fā)生偏折,平行光束中的每一條光線在穿越玻璃板前后方向都不改變,其轉播徑跡都是直線．

圖4 切割后拉開一個狹縫示意圖

如果我們只是將切割成的兩透鏡橫向拉開一點點距離,相當于兩透鏡的相鄰側面之間只有一個小的夾縫,如圖4所示,設F是左邊凸透鏡的右側焦點．顯然,如果沒有凸透鏡右側凹透鏡存在的話,那么,與凸透鏡主軸平行的光束經凸透鏡折射之后應該會聚于凸透鏡的右側焦點F,如圖5所示,當凹透鏡存在且兩透鏡之間的距離非常小時,跟圖3的光路圖相比較,從凹透鏡右側折射出的光線的傳播方向不可能發(fā)生突變,所以,如果忽略透鏡間狹縫寬度的話,那么,從凹透鏡折射而出的光線仍將平行于主軸,因此,在玻璃板雖然已切割但還沒有分開之前,凸透鏡和凹透鏡右側的焦點應該是重合的．如圖6所示由于在光的折射中光路是可逆的,所以,圖1中,凸透鏡和凹透鏡左側的焦點也應該重合,這樣就出現(xiàn)了無法解釋的矛盾——如果考慮玻璃板厚度的話,那么,凸透鏡和凹透鏡的光心分別在兩透鏡的中心,圖1中兩透鏡的光心不重合,它們之間有一定的距離,所以,凸透鏡和凹透鏡兩側分別重合的焦點就不可能同時關于兩透鏡光心對稱——這顯然與“任何透鏡都有兩個焦點(不論透鏡是什么形狀的),并且兩焦點關于光心對稱”的論斷相矛盾．

筆者以為,之所以出現(xiàn)這一看似無法解釋清楚的矛盾,其主要原因是這些教師對透鏡光心位置的判斷出現(xiàn)錯誤．

實際上,兩個側面對稱的凸透鏡和凹透鏡(即透鏡兩側面的曲率半徑相等的透鏡),其光心在透鏡的幾何中心,也就是在透鏡主軸上到兩側面等距離的位置．而對于兩個側面曲率半徑不等的透鏡,其光心的位置雖然也在透鏡的主軸上,但光心到透鏡兩個側面的距離不相等．

圖5 平行光通過凸透鏡折射示意圖

我們不妨分析一側是球面,另一側是平面的凸透鏡及凹透鏡(球面半徑遠大于透鏡口徑的透鏡)光心的位置．

如圖7所示,如果我們在圖7(a)凸透鏡的平面一側,以光軸為軸心挖去一塊兩側面垂直于主軸的玻璃磚,如圖7(b)所示顯然,跟未挖去的圖7(a)所示情形相比,挖去之后的剩余部分對從凸透鏡左側平行于主軸射入的光線,對應折射光線的位置和方向沒有絲毫影響,所以,挖去玻璃磚之后,剩余部分右側焦點相對于球面的位置不變;因為凸透鏡右側面球面半徑遠大于凸透鏡的口徑,所以,如果讓光線從凸透鏡右側沿平行主軸方向射向凸透鏡的話,則入射光線屬于近軸光線,在進入玻璃發(fā)生折射時,每條光線的入射角和對應的折射角都非常的小,在玻璃中經球面折射后射向左側的平面時對應的入射角也較小,與沒挖去玻璃磚的情形相比,挖去玻璃磚之后因折射(指光線在凸透鏡左側平面由玻璃進入空氣時的折射)而使光線透過玻璃磚時光線平移的距離也很小,所以,挖去玻璃磚后左側焦點位置雖然跟挖去之前比有變化,但變化的距離非常的小,可以忽略,因此,挖去之后的剩余部分左側焦點相對于球面的位置也不變．在圖7(b)的基礎上,如果以凸透鏡的主軸為軸心,再次挖去一塊玻璃磚,成為圖7(c)所示的情形,其兩邊焦點相對于透鏡球面的位置依然不變……,如此循環(huán)挖下去的話,就成了圖7(e)所示的情形,其兩側焦點相對于球面的位置仍然不變,而當每次挖去玻璃磚的厚度趨于0時,最終所得到的螺紋狀透鏡光心剛好在透鏡主軸與球面的交點處,所以,圖7(a)所示情形的凸透鏡,其焦點也在主軸與球面的焦點處．

再看凹透鏡．如圖8所示,對凹透鏡而言,我們可以用同樣的方法證明,圖8(a)所示的一側為平面,另一側為球面的凹透鏡,其光心在透鏡主軸與球面的交點位置——不論凹透鏡的厚度有多大．

圖7 從凸透鏡一側挖去玻璃板示意圖

圖8 從凹透鏡一側挖去玻璃板示意圖

所以,例題1中圖1所示的玻璃板在切割還沒有分開之后,左右兩邊的凸透鏡與凹透鏡,它們不僅左右兩側的焦點分別重合,其光心位置也是同一個點——位于主軸與球面的交點上．顯然,由這一結論出發(fā),就不會推出“透鏡兩側焦點到透鏡光心距離不等”的矛盾結果了．

圖9 兩透鏡放置示意圖

我們對例題1給出的問題按兩透鏡拉開距離的大小進行分類討論．如圖9所示,設O1、O2分別是凸透鏡和凹透鏡的光心,F凸1、F凸2、F凹1、F凹2分別是凸透鏡和凹透鏡兩側的焦點．

圖10 平行光通過兩透鏡折射示意圖

若兩透鏡拉開的距離小于透鏡焦距,即O1O2

若兩透鏡拉開的距離剛好等于透鏡焦距,即圖9中O1O2=O1F凸1,則平行于凸透鏡主軸的光束經凸透鏡折射之后會聚于凸透鏡右側焦點處,而該點正是凹透鏡的光心,由于通過透鏡光心的光線傳播方向不變,所以,兩透鏡拉開1倍焦距的距離之后,就相當于凸透鏡的右側沒有放置凹透鏡,平行于凸透鏡主軸的光束經凸透鏡折射之后先會聚于凸透鏡右側焦點,繼而變成發(fā)散光束向外傳播．

若兩透鏡拉開的距離大于透鏡焦距,即O1O2>O1F凸1,則平行于凸透鏡主軸的光束經凸透鏡折射之后先會聚于凸透鏡右側焦點,繼而變成發(fā)散光束向右傳播時才遇到凹透鏡,經凹透鏡折射之后,發(fā)散程度加大．

無論兩透鏡拉開的距離是多大,平行光束經兩透鏡折射之后都不會出現(xiàn)平行的情形,所以,例題1的正確選項是(D)．

對于例題1如果我們改換一下條件,讓平行于主軸的平行光束從凹透鏡一側射入,問題的解決將變得不同.

例2.如圖1所示,一塊兩側面平行的圓形玻璃板,沿球狀曲面將其切割成左右兩部分(已知球面半徑遠大于玻璃板口徑),分別成為凸透鏡和凹透鏡,沿主軸方向橫向拉開一段距離后,如圖2所示,讓一束與凹透鏡主軸平行的光束從右邊照射到凹透鏡上,經兩透鏡兩次折射后,折射光束

(A) 仍平行于主軸.

(B) 一定是發(fā)散光.

(C) 一定是會聚光.

(D) 可能發(fā)散,也可能會聚,但不可能是平行光.

圖11 平行光通過兩棱鏡折射示意圖

解析:如圖11所示,我們以平行光束中的一條光線為例進行分析．平行于凹透鏡主軸的光線AB經凹透鏡折射后,折射光線BC的反向延長線過凹透鏡的右側焦點F凹2,過凸透鏡的光心O1作平行于BC的副光軸O1E,與過凸透鏡左側焦點F凸1的焦平面相交于點E,則射向凸透鏡的入射光線BC經凸透鏡折射之后,沿CE方向射出,由于點E離凸透鏡主軸的距離比點C離凸透鏡主軸的距離小(可以進行邏輯論證),所以,折射光線CE與凸透鏡的主軸相交,且交點在凸透鏡左側的主軸上．這就是說,平行于透鏡主軸并從凹透鏡一側射入的光線,不論兩透鏡之間的距離多大,經兩透鏡兩次折射后,從凸透鏡折射而出的光一定是會聚光(會聚之后再向前傳播時變成了發(fā)散光)．

我們也可以改換一個角度,從點光源經凸透鏡成像的情況進行解析．對凸透鏡而言,當點光源放在焦平面之內時,從點光源發(fā)出的光線,經凸透鏡折射之后變得發(fā)散,發(fā)散的折射光線的反向延長線交于一點,這一交點即為點光源的虛像點;當點光源位于凸透鏡的焦平面時,從點光源發(fā)出的光線經凸透鏡折射后平行射出(各折射光線平行于過點光源的副光軸);當點光源在焦平面之外時,從點光源發(fā)出的光線經凸透鏡折射后會聚于凸透鏡另一側的某點(點光源的實像點)．由圖11可知,不論凸透鏡和凹透鏡之間的距離有多大,從凹透鏡右側沿平行于主軸方向射向凹透鏡的光線,經凹透鏡折射之后,這些折射光線的反向延長線的交點(即凹透鏡的右側焦點)一定在凸透鏡的右側焦平面之外,這就相當于在凸透鏡的右側焦平面之外主軸上的某點放置一個點光源,所以,點光源“發(fā)出”的光射向凸透鏡,經凸透鏡折射后一定會聚于主軸上的某個點．

因此,本題的正確選項是(C).

由以上兩個例題給出問題的分析可知,圓形玻璃板沿球面切割分成凸透鏡和凹透鏡并拉開一定的距離,即使玻璃板很厚,在切割面半徑遠大于玻璃板口徑的情況下,兩透鏡的光心都分別在它們主軸與球面的交點上,且兩透鏡焦距相等．讓平行光束從一個透鏡射入經兩透鏡折射之后,折射而出的光束究竟是發(fā)散光束還是會聚光束,跟光穿過兩透鏡的順序和兩透鏡之間的距離都有關系,光線穿過透鏡的順序不同,兩透鏡之間的距離不同,折射而出的光束發(fā)散和會聚的情形也不盡相同．