巧用圖解法分析一類含彈簧的力學(xué)動(dòng)態(tài)問(wèn)題

周 勇 袁 寧

(1. 深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校高中部,廣東 深圳 518055;2. 惠州市實(shí)驗(yàn)中學(xué),廣東 惠州 516001)

力學(xué)動(dòng)態(tài)問(wèn)題是高中物理中很常見(jiàn)的一種題型,在歷年高考題和各類模擬題中常有涉及,而圖解法在分析力學(xué)動(dòng)態(tài)問(wèn)題時(shí)往往可以回避繁瑣的計(jì)算,具有方便、直觀的優(yōu)勢(shì),本文將結(jié)合實(shí)例介紹一種用于分析一類含彈簧(橡皮筋)的力學(xué)動(dòng)態(tài)問(wèn)題的圖解法．

1 問(wèn)題引入

圖1

例1.(2014年全國(guó)卷Ⅰ)如圖1所示,用橡皮筋將一小球懸掛在小車的架子上,系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)．現(xiàn)使小車從靜止開(kāi)始向左加速,加速度從零開(kāi)始逐漸增大到某一值,然后保持此值,小球穩(wěn)定地偏離豎直方向某一角度(橡皮筋在彈性限度內(nèi))．與穩(wěn)定在豎直位置時(shí)相比,小球的高度

(A) 一定升高.

(B) 一定降低.

(C) 保持不變.

(D) 升高或降低由橡皮筋的勁度系數(shù)決定.

1.1 常規(guī)分析

圖2

設(shè)橡皮筋原長(zhǎng)為l0、勁度系數(shù)為k,靜止時(shí),橡皮筋長(zhǎng)度為l,加速時(shí)長(zhǎng)度為l′且與豎直方向夾角為θ,如圖所示．由胡克定律可知,靜止時(shí)k(l-l0)=mg,加速時(shí)小球受力分析如圖所示,由豎直方向受力平衡可知

k(l′-l0)cosθ=mg.

k(l′-l0)sinθ=ma.

則k(l-l0)=k(l′-l0)cosθ.

l′cosθ=l-l0(1-cosθ).

即l′cosθ

所以小球高度一定升高,故選項(xiàng)(A)正確．

1.2 圖解法分析

圖3

如圖3所示,設(shè)橡皮筋原長(zhǎng)為l0、勁度系數(shù)為k,以懸掛點(diǎn)為圓心,以原長(zhǎng)l0為半徑做一個(gè)圓,那么圓以外的部分長(zhǎng)度就是橡皮筋的伸長(zhǎng)量,設(shè)系統(tǒng)靜止時(shí)橡皮筋的伸長(zhǎng)量為Δl,由平衡條件可得

mg=k·Δl.

(1)

設(shè)系統(tǒng)加速時(shí)橡皮筋的伸長(zhǎng)量為Δl′,此時(shí)作出小球受力的矢量三角形圖并構(gòu)造一個(gè)以Δl′為斜邊、另兩條直角邊分別沿豎直和水平方向的幾何直角三角形,如圖3所示．顯然,兩個(gè)三角形具有相似關(guān)系,根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例,可得

(2)

聯(lián)立(1)、(2)可知Δh=Δl.

所以l0cosθ+Δh

1.3 方法優(yōu)化

圖4

考慮到這類動(dòng)態(tài)問(wèn)題往往都只需要作定性分析,因此,我們?cè)诜治龇椒ㄉ线€可以作進(jìn)一步的優(yōu)化．在圖3的基礎(chǔ)上,如果直接以橡皮筋的勁度系數(shù)k為力的單位(比例尺),那么直接用橡皮筋的形變量(圓外部分的長(zhǎng)度)就可以表示彈力的大小了,在此基礎(chǔ)上作出小球靜止和加速運(yùn)動(dòng)時(shí)受力的矢量圖如圖4所示,此時(shí)力的三角形與圖3中的幾何三角形就“重合”了,該三角形的三條邊長(zhǎng)既表示幾何長(zhǎng)度又可以反映力的大?。?/p>

由于加速時(shí)力的三角形豎直邊長(zhǎng)表示小球重力,因此跟這條邊對(duì)應(yīng)的幾何長(zhǎng)度也等于初始靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)橡皮筋的伸長(zhǎng)量,和初狀態(tài)比,小球的高度相當(dāng)于沿著圓弧提升了l0(1-cosθ),即小球高度一定升高,故選項(xiàng)(A)正確．

與常規(guī)的解析法相比,圖解法以形變量為突破口,切入點(diǎn)低便于掌握,計(jì)算量小方便分析,在分析這類含彈簧(橡皮筋)的力學(xué)動(dòng)態(tài)問(wèn)題時(shí)非常有效．下面再結(jié)合實(shí)例來(lái)談?wù)勗摲椒ǖ膽?yīng)用．

2 應(yīng)用舉例

圖5

例2.如圖5所示,粗細(xì)均勻的光滑直桿豎直固定,輕彈簧一端連接于豎直墻上,另一端連接于套在桿上的小球上,小球處于靜止?fàn)顟B(tài)．現(xiàn)用平行于桿向上的力F拉球,使小球沿桿緩慢向上移動(dòng),當(dāng)彈簧水平時(shí)恰好處于原長(zhǎng),則從小球開(kāi)始向上運(yùn)動(dòng)直到彈簧水平的過(guò)程中,下列說(shuō)法正確的是

(A) 拉力F越來(lái)越大.

(B) 拉力F先減小后增大.

(C) 桿對(duì)球的作用力一直減小.

(D) 桿對(duì)球的作用力先增大后減小.

圖6

解析： 因拉力F和小球的重力都在豎直方向,可先將重力Mg與F合成,等效為一個(gè)力(Mg-F)．以彈簧原長(zhǎng)為半徑作一個(gè)圓,以彈簧的勁度系數(shù)k為力的單位,那么彈簧在圓外部分的長(zhǎng)度就可以表示彈簧彈力大小了,在此基礎(chǔ)上作出小球靜止時(shí)受力的矢量圖,如圖6所示．當(dāng)小球緩慢向上移動(dòng)時(shí),顯然,桿對(duì)球的作用力N一直減小．設(shè)彈簧與水平方向的夾角為θ,由矢量圖可得

Mg-F=F彈sinθ.

解得F=Mg-F彈sinθ.

當(dāng)小球緩慢向上移動(dòng)時(shí),彈簧彈力F彈減小,θ減小,從而拉力F增大,故選項(xiàng)(A)、(C)正確．

圖7

(A) 移動(dòng)后滑塊對(duì)地面的壓力變小.

(B) 移動(dòng)后滑塊對(duì)地面的壓力不變.

(C) 移動(dòng)后滑塊將加速運(yùn)動(dòng).

(D) 移動(dòng)后滑塊仍能靜止.

圖8

解析: 因地面的支持力N和滑塊所受的重力G都在豎直方向,可先將小球的重力G與支持力N合成,等效為一個(gè)力(G-N)．因彈性細(xì)繩的原長(zhǎng)l與小孔O離繩固定端的豎直距離相等,若以勁度系數(shù)k為力的單位,那么OA部分的長(zhǎng)度就可以表示彈性繩的彈力F大小了,在此基礎(chǔ)上作出滑塊靜止時(shí)受力的矢量圖,如圖8(實(shí)線)所示．若把滑塊向左移動(dòng)少許,假設(shè)滑塊仍能靜止,此時(shí)其受力矢量圖如圖中虛線所示．顯然,重力G與支持力N合力不變,從而可知移動(dòng)后滑塊對(duì)地面的壓力不變;若移動(dòng)后滑塊仍能靜止,那么地面的摩擦力減小,小于初狀態(tài)所受摩擦力,也就小于最大靜摩擦力,說(shuō)明移動(dòng)后滑塊確實(shí)靜止,故選項(xiàng)(B)、(D)正確．

3 結(jié)束語(yǔ)

本文介紹的這種圖解法從相似三角形法演變而來(lái),關(guān)鍵思想包括以下兩個(gè)方面: (1) 借助輔助圓或輔助線段將彈簧(彈性繩)的原長(zhǎng)截去,于是可以通過(guò)圓外的部分長(zhǎng)度直觀的反映彈簧的伸長(zhǎng)量及其變化;(2) 以勁度系數(shù)k為力的單位(比例尺),彈簧的伸長(zhǎng)量就可以直接表示彈力大?。诖嘶A(chǔ)上,再作出物體受力的矢量圖,結(jié)合相關(guān)長(zhǎng)度和角度的變化就可以很方便的看出某些力的變化,可以有效的避免繁瑣的數(shù)學(xué)計(jì)算,快速得出結(jié)果．