二維大視場緊湊型離軸四反光學系統(tǒng)設計

劉璐 胡斌 周峰 王鈺

二維大視場緊湊型離軸四反光學系統(tǒng)設計

劉璐 胡斌 周峰 王鈺

（北京空間機電研究所，北京 100094）

針對空間紅外遙感領域輕量化、系統(tǒng)時間分辨率高的需求，設計了一款二維大視場緊湊型離軸四反光學系統(tǒng)，該系統(tǒng)工作譜段為2.70~7.50μm，系統(tǒng)焦距為500mm，數(shù)為3.5，視場角為18°×10°。光學系統(tǒng)設計采用了新型折疊光路型式，得到了靈巧緊湊的系統(tǒng)結構；利用XY多項式自由曲面面型描述方法對光學系統(tǒng)的各個鏡面進行擬合，并結合標準Zernike多項式進行像差分析，將系統(tǒng)的四面反射鏡設計為“凸-凸-凹-凹”的組合，拓寬了成像視場，實現(xiàn)了子午弧矢雙方向大視場清晰成像。設計結果表明，全視場80%的能量集中在彌散斑直徑20μm的圓內(nèi)；公差分析后，在奈奎斯特頻率（25線對/mm）處全視場調(diào)制傳遞函數(shù)優(yōu)于0.57。該系統(tǒng)視場大、能量集中度高、結構緊湊，可為空間遙感寬譜段、凝視成像光學設計提供一定的參考。

大視場 離軸四反光路系統(tǒng) 自由曲面 XY多項式 空間遙感

0 引言

光學系統(tǒng)輕量化設計以及成像系統(tǒng)時間分辨率的提升是當前航天遙感領域的重要研究方向。傳統(tǒng)一維大線視場的空間光學系統(tǒng)為了實現(xiàn)對某一區(qū)域的探測，需配置光機掃描機構來輔助實現(xiàn)。這種工作模式一方面犧牲了系統(tǒng)的時間分辨率，無法對感興趣目標進行實時不間斷觀測；另一方面，配置指向控制機構會增加發(fā)射成本和不可靠性?；诖?，本文設計了一款二維大視場凝視成像的緊湊型離軸四反光學系統(tǒng)，通過二維大視場凝視成像方式，在保證幅寬、減少系統(tǒng)復雜性、縮小系統(tǒng)尺寸、在提升系統(tǒng)時間分辨率的同時，實現(xiàn)了成像系統(tǒng)的簡化設計[1]。

在光學系統(tǒng)設計過程中，為了達到增大視場、緊湊結構的目的，通常采用具有更多設計自由度的光學結構型式和光學設計方法[2]。離軸反射光學結構型式?jīng)]有色差及二級光譜問題，很適合寬譜段的紅外光學系統(tǒng)；當反射鏡面元件與相機支撐結構使用同種材料制造，能夠?qū)崿F(xiàn)系統(tǒng)的無熱化設計，消除了溫度梯度帶來的像差問題，易于實現(xiàn)紅外遙感光學系統(tǒng)大口徑、輕量化設計；新型折疊光路的離軸四反型式布局靈活，可避免中心遮攔，能有效提高光能收集效率，從而提高信噪比。離軸反射式光學系統(tǒng)的上述優(yōu)勢使其成為空間光學成像領域的研究熱點[3-4]，例如：印度發(fā)射的IRS-P5衛(wèi)星上搭載的兩臺全色測繪相機，日本發(fā)射的ALOS衛(wèi)星上搭載的全色遙感立體測繪儀（PRISM），以及我國2013年入軌的“試驗五號”上搭載的光學遙感平臺均采用了離軸反射光學結構型式。

本文選用了離軸反射式光學系統(tǒng)型式，由于該系統(tǒng)是由同軸反射式系統(tǒng)經(jīng)過傾斜和偏心轉(zhuǎn)化得到的[5]，會在離軸過程中因視場或光闌離軸引入非對稱像差，為了校正此像差，傳統(tǒng)的光學設計方法一般采用非球面優(yōu)化設計，但這種手段缺少足夠的優(yōu)化自由度，只能做到弧矢單方向大視場成像，制約了二維大視場凝視成像光學系統(tǒng)的設計。近年來，國內(nèi)外科研機構開始探討將具有高精度、高自由度的自由曲面用于成像光學領域用以解決上述問題，并做了大量研究工作[6]，例如：美國羅切斯特大學采用Zernike多項式自由曲面方法設計了一款高緊湊度的離軸三反系統(tǒng)，視場角6°×8°[7]；清華大學聯(lián)合天津大學利用XY多項式自由曲面[8]研制了一款輕小型離軸三反光學系統(tǒng)，數(shù)1.38，視場角4°×5°[9]。XY多項式自由曲面面型的數(shù)學模型是在二次曲面基底上疊加泰勒多項式，這種數(shù)學模型的表達方法與數(shù)控光學加工的表達形式一致，因此采用這種面型描述方法設計的反射鏡元件易于加工，而且隨著近年來金屬反射鏡在空間遙感領域應用比例的增大，基于XY多項式的自由曲面光學元件具有更加廣泛的應用前景。

綜上分析，本文選擇了XY多項式自由曲面面型進行二維大視場離軸四反光學系統(tǒng)的設計：首先給出了適用于全反射式大視場緊湊型光學系統(tǒng)的初始結構求解方法；之后利用XY多項式自由曲面優(yōu)化設計方法實現(xiàn)了子午弧矢雙方向大視場緊湊型離軸四反光學系統(tǒng)的優(yōu)質(zhì)成像。經(jīng)過像質(zhì)評價和公差分析，系統(tǒng)成像品質(zhì)良好，結構小巧緊湊，滿足寬譜段空間紅外遙感系統(tǒng)成像需求。

1 二維大視場離軸四反光學系統(tǒng)設計

圖1 二維大視場離軸四反光學系統(tǒng)設計路徑

1.1 二維大視場光學系統(tǒng)參數(shù)

焦距、數(shù)、視場角是空間光學系統(tǒng)的設計三要素[10]，這三項的取值代表了一個光學系統(tǒng)探測水平，各參數(shù)之間互相制約不能隨意設置，其關系式展開如下：

其中為系統(tǒng)焦距；為探測器軌道高度，系統(tǒng)工作在地球靜止軌道，取36 000km；為探測器像元尺寸，=20μm；GSD為地面像元分辨率，系統(tǒng)需求GSD=0.7km；為光學系統(tǒng)入瞳直徑142mm；為地球半徑，空間遙感領域通常取地球赤道半徑=6 378km。由式（3）可以求出，在地球靜止軌道實現(xiàn)1/4地球圓盤面探測需要的視場角是9°×9°，本文二維大視場光學系統(tǒng)旨在提高系統(tǒng)時間分辨率，因此將視場角制定為18°×10°，以滿足1/2地球圓盤面的覆蓋探測。

根據(jù)相應參數(shù)推導出二維大視場光學系統(tǒng)的設計指標，結果如表1所示。

表1 光學系統(tǒng)設計指標

Tab.1 Design parameters of the optical system

1.2 同軸四反光學系統(tǒng)初始結構求解

本文中的二維大視場離軸四反光學系統(tǒng)具有焦距長、視場大、數(shù)小且結構緊湊的特點，然而適合作為這種光學系統(tǒng)的初始結構有限，需通過特定方法求解。一般方法有兩種：1）通過反射式系統(tǒng)消像差原理求解方程組，得出同軸四反光學系統(tǒng)初始結構參數(shù)，再經(jīng)過系統(tǒng)離軸得到離軸四反光學系統(tǒng)初始結構[11]；2）在具有中間像面的離軸三反光學系統(tǒng)基礎上增加一面反射鏡得到離軸四反光學系統(tǒng)[12]。這兩種方法的局限性在于：方法一的參數(shù)求解過程計算量大；方法二是在其他系統(tǒng)的基礎上增加鏡面數(shù)量不易制定具體約束條件，缺乏針對性。文獻[13]介紹了一種更好的求解同軸三反光學系統(tǒng)的算法：基于遺傳算法，通過反射式系統(tǒng)消像差原理得到系統(tǒng)的優(yōu)化目標函數(shù)，目標函數(shù)是5種單色像差的加和，因此求解初始解結構的過程就是尋找目標函數(shù)最優(yōu)解的過程；當自變量的組合使目標函數(shù)求得最小值時，得到的同軸三反光學系統(tǒng)像差最小，也就得到了最優(yōu)的初始結構解。

應用文獻[13]中的算法，結合本系統(tǒng)的設計指標，下文給出了一套求解同軸四反光學系統(tǒng)的目標函數(shù)及詳細求解過程。

同軸四反光學系統(tǒng)初始結構如圖2所示，入射光線依次經(jīng)過主鏡M1、次鏡M2、三鏡M3、四鏡M4，在各反射鏡上的投射高度為h；各鏡面的物方截距及像方截距分別l，l′；?1為主鏡的焦距；主鏡、次鏡、三鏡、四鏡間的鏡間距分別為1、2、3。

圖2 同軸四反光學系統(tǒng)初始結構

同軸四反光學系統(tǒng)初始結構求解的目標函數(shù)為

式中,α和n分別表示材料的硬化系數(shù)和硬化指數(shù);σ和ε分別表示單軸應力和單軸應變;E和σ0分別表示材料的彈性模量和屈服應力。式(1)右端第一項表示線彈性行為，第二項表示進入塑性階段。通過線性階段來擬合彈性模量E和確定屈服應力σ0，然后采用1stOpt軟件[10]的通用全局優(yōu)化算法來擬合上述本構模型，擬合相關系數(shù)達到99.9%，得到塑性參數(shù)α和n，見表1(b)所示。

根據(jù)物理定義可以得出遮攔比和放大率的表示（見式（5））。高斯光學近軸光線追跡理論可得出用遮攔比和放大率表達的曲率半徑以及鏡間距公式（見式（6）），式（6）中′為系統(tǒng)焦距。

將式（5）~（6）代入PW法光學系統(tǒng)像差公式中[12-15]，得出用遮攔比、放大率以及二次曲面系數(shù)表達的各像差公式：

為了得到適合本文中二維大視場緊湊型的光學系統(tǒng)初始結構，要對目標函數(shù)的約束項以及自變量提供合理的取值范圍。

首先，對系統(tǒng)的鏡間距進行約束。由于反射式光路中光線在各鏡折疊出射，那么各鏡間距近似相等時，系統(tǒng)的總尺寸更小，結構更緊湊，因此設置附加約束項

之后，通過設置合理的目標函數(shù)取值范圍，獨創(chuàng)性的設計了一種“凸-凸-凹-凹”鏡面組合的同軸四反光學系統(tǒng)初始結構。此初始結構的主鏡采用凸面設計，使主鏡具有大的負光角度，能夠提供大的物方視場角，屬于反攝遠型光學系統(tǒng)。反攝遠型光學系統(tǒng)具有像方視場角比物方視場角小的多的成像特性，這種性質(zhì)能夠提高像面照度均勻性，從而提高系統(tǒng)能量集中度；采用“凸-凹”對稱的鏡面組合分布，還有利于消除彗差、像散等像差，為后續(xù)優(yōu)化提供了良好的初始性能。目標函數(shù)自變量取值范圍見表2，最終得到的同軸四反光學系統(tǒng)初始結構參數(shù)見表3，將其代入光學設計軟件可得同軸四反光路結構。

表2 目標函數(shù)自變量取值范圍

Tab.2 Argument range

表3 光學系統(tǒng)的初始結構參數(shù)

Tab.3 Initial structural parameters of the optical system

1.3 無遮攔離軸四反光學系統(tǒng)的建立過程

前文求出的“凸-凸-凹-凹”同軸四反光學系統(tǒng)是二維大視場離軸四反光學系統(tǒng)的初始結構，是設計的起點。在光學設計軟件ZEMAX中輸入結構參數(shù)，得到同軸光路；然后將光闌設置在系統(tǒng)次鏡上，這種設置方式可以進一步保證大視場成像。至此，初始結構搭建完成，下一步是實現(xiàn)系統(tǒng)的離軸化。

同軸反射式光學系統(tǒng)的離軸化是一個過程[14-18]：首先，對系統(tǒng)次鏡進行傾斜設置，逐漸增大傾斜角度直至次鏡對系統(tǒng)的入射光線不再遮擋，與此同時調(diào)整主鏡傾斜角度以便光線跟隨次鏡；之后，對三鏡、四鏡進行傾斜偏心，直至得到無遮攔離軸四反光路。整個光學系統(tǒng)在弧矢面（）對稱，離軸操作均發(fā)生在子午面（）平面內(nèi)。

圖3為系統(tǒng)離軸有效視場的變化情況，矩形代表了初始同軸光學系統(tǒng)的有效視場，矩形為部分離軸的有效視場，矩形為最終無遮攔離軸四反的有效視場，可以看出離軸過程中系統(tǒng)弧矢反向的有效視場不變，子午方向的有效視場逐漸減小。因此引入自由曲面光學系統(tǒng)優(yōu)化設計方法，校正系統(tǒng)像差，提高離軸四反的子午視場，得到成像品質(zhì)優(yōu)良的二維大視場離軸四反光學系統(tǒng)。

圖3 有效視場示意

1.4 自由曲面二維大視場光學系統(tǒng)優(yōu)化設計

XY多項式是一種在二次曲面基底上疊加泰勒多項式的數(shù)學模型，是一種具有高精度的自由曲面描述方法，可以提供更多的優(yōu)化自由度從而實現(xiàn)光學系統(tǒng)成像性能的提升。其數(shù)學描述為[19-20]

式中為XY多項式表達的自由曲面面型矢高；為面形頂點曲率；為徑向半徑；為二次曲面系數(shù)；、為XY多項式表達的自由曲面局部坐標；、分別是、的階數(shù)，兩者之和一般取10階以內(nèi)（即+<10）；A為XY多項式每一種組合對應的系數(shù)。

利用XY多項式優(yōu)化光學系統(tǒng)，就是通過求解各階系數(shù)A得到更優(yōu)的自由曲面表面解，從而優(yōu)化系統(tǒng)像差來實現(xiàn)優(yōu)質(zhì)成像。因此需要明確XY多項式各項系數(shù)與光學系統(tǒng)幾何像差的對應關系。光學設計軟件ZEMAX提供幾何像差的分析列表Seidel像差，它的每一項均與標準Zernike多項式的項數(shù)具有一一對應關系[21]。因此，求解XY多項式各項系數(shù)與光學系統(tǒng)幾何像差的對應關系的問題就轉(zhuǎn)化為求解XY多項式各項系數(shù)與標準Zernike多項式各項系數(shù)關系的問題。

標準Zernike多項式數(shù)學模型是一種圓域正交表達式，其第一項與XY多項式的第一項數(shù)學模型相同，都是二次曲面基底。標準Zernike多項式數(shù)學模型為

式中表示歸一化徑向坐標；為角度坐標；B為Zernike多項式的系數(shù)；Z為Zernike多項式系數(shù)項的極坐標表示。

表4中列出了Seidel像差以及對應的標準Zernike多項式表示，并將極坐標系下的描述轉(zhuǎn)換為直角坐標系下的描述，同時給出了對應的XY多項式系數(shù)?；诖吮砑纯稍赬Y多項式自由曲面光學系統(tǒng)優(yōu)化設計時，自主選取需要設置的系數(shù)變量，有針對性地優(yōu)化系統(tǒng)像差。

表4 標準Zernike多項式、XY多項式與Seidel像差的對應關系

Tab.4 Correspondence between Zernike coefficients, XY coefficients and Seidel aberration

利用光學設計軟件ZEMAX進行優(yōu)化的主要過程為：1）將之前得到的離軸四反光學系統(tǒng)的主鏡、次鏡、三鏡、四鏡設置為5階XY多項式自由曲面面型，這是由于階數(shù)越小對應的系數(shù)項A越少，優(yōu)化速度則越快，后續(xù)可以繼續(xù)增加鏡面階數(shù)以增加優(yōu)化變量。2）增大離軸四反子午方向的有效視場角，從初始的18°×6°提升至18°×10°。3）查看系統(tǒng)Seidel像差清單，明確系統(tǒng)的各鏡面像差情況，選取適當?shù)膬?yōu)化操作數(shù)，并查找表4中該類像差對應的XY多項式系數(shù)項設置變量進行優(yōu)化。例如，查看Seidel像差清單發(fā)現(xiàn)此時系統(tǒng)在次鏡上的彗差較大，在優(yōu)化向?qū)е性O置COMA彗差操作數(shù)，選擇面為次鏡，并使用OPLT、OPGT等控制操作數(shù)進行定量約束，之后查找表4中彗差對應的XY多項式系數(shù)3、8、10等設置變量，進行迭代優(yōu)化，依此類推。4）利用系統(tǒng)點列圖提供的各視場角彌散斑半徑RMS作為評價指標，當各視場的彌散斑半徑RMS值與系統(tǒng)艾里斑半徑值近似相符時認為系統(tǒng)成像品質(zhì)滿足要求。

經(jīng)過上述優(yōu)化操作，最終得到了主鏡、次鏡為5階XY多項式自由曲面鏡，三鏡、四鏡為7次XY多項式自由曲面鏡的二維大視場離軸四反光學系統(tǒng)。光學系統(tǒng)最終的結構參數(shù)見表5，各鏡面XY多項式自由曲面系數(shù)見表6，系統(tǒng)光路圖見圖4。

表5 二維大視場離軸四反光學系統(tǒng)結構參數(shù)

Tab.5 Structural parameters of the 2D large field off-axis four-anti-optical system

表6 系統(tǒng)各鏡面的XY多項式系數(shù)

Tab.6 Surface parameters of mirrors

圖4 光學系統(tǒng)結構

2 像質(zhì)評價

文中二維大視場緊湊型離軸四反光學系統(tǒng)在弧矢方向的有效視場為?9°~9°，在子午方向的有效視場為?5°~5°。在有效視場內(nèi)選取12個視場點，以光學系統(tǒng)工作波長2.7μm作為參考波長對光學系統(tǒng)的成像品質(zhì)進行評價。圖5、6分別為系統(tǒng)的MTF曲線及能量集中度曲線，表7為系統(tǒng)點列圖。從設計結果可以看出，系統(tǒng)全視場光學調(diào)制傳遞函數(shù)MTF設計值在奈奎斯特頻率25線對/mm處均優(yōu)于0.60；系統(tǒng)各視場中最大彌散斑半徑RMS值為10.923μm，小于系統(tǒng)艾里斑半徑11.68μm，系統(tǒng)各視場中最大幾何（GEO）半徑為28.265μm；全視場衍射圈入能量在10μm半寬度處大于80%，這一數(shù)值與系統(tǒng)各視場中最大彌散斑半徑RMS值10.923μm相近，說明該光學系統(tǒng)80%的能量集中在彌散斑直徑20μm的圓內(nèi)。以上數(shù)據(jù)表明系統(tǒng)能量集中度高、成像品質(zhì)良好，接近衍射極限。

圖5 MTF曲線

圖6 能量集中度

表7 系統(tǒng)點列圖

注：1）RMS半徑表示系統(tǒng)各視場彌散斑半徑均方根； 2）GEO半徑表示系統(tǒng)各視場對應的幾何半徑

3 公差分析

公差分析是光學系統(tǒng)從設計走向工程應用的重要一步，公差制定的合理性影響光學系統(tǒng)的總體性能水平。本文在完成了對二維大視場緊湊型離軸四反自由曲面光學系統(tǒng)的設計后，首先采用靈敏度分析方法制定了寬嚴得當?shù)墓罘峙浣Y果，之后利用蒙特卡洛方法模擬了200個光學系統(tǒng)，分析了像質(zhì)波動情況，驗證了公差制定的合理性。

成像光學系統(tǒng)的實際誤差來源包括材料誤差、加工誤差、裝配誤差三種[22]。反射式光學系統(tǒng)因不含透射材料，只需考慮加工和裝配誤差。本文光學系統(tǒng)的具體公差分配情況為：系統(tǒng)的加工誤差包括四面反射鏡的曲率半徑誤差，各鏡面的二次曲面系數(shù)誤差以及四面反射鏡的面形誤差，共計12項。裝配誤差包括系統(tǒng)四面反射鏡沿光軸方向的位移誤差，以及各反射鏡元件繞、軸的旋轉(zhuǎn)傾斜誤差，共計12項。公差分析過程中采用靈敏度分析，以波前RMS作為衡量系統(tǒng)設計性能的評價指標，這種分析方法通過分配的公差得出像質(zhì)的變化，使用后焦面的位移和偏心作為系統(tǒng)補償。如果在某一公差分配項下得到的波前RMS值變化量大，說明該項誤差對系統(tǒng)成像品質(zhì)影響較大，應重新進行公差分配并加嚴此項公差。最終得到的具體公差分配結果見表8。

表8 系統(tǒng)的公差分配

Tab.8 Distribution of system tolerance

注：1）檢測波長=632.8nm； 2）?，?分別表示四個反射鏡元件繞軸和軸傾斜的量

表9中給出了12個視場在奈奎斯特頻率（25線對/mm）處的MTF設計值與公差分析后的對比數(shù)據(jù)。分析結果表明，在模擬的200個光學系統(tǒng)中，90%的MTF在奈奎斯特頻率處優(yōu)于0.57，各項公差分配合理。

表9 奈奎斯特頻率25線對/mm處的MTF公差分析結果

Tab.9 The MTF at 25lp/mm after tolerance analysis

4 結論

本文總結了離軸反射式自由曲面光學系統(tǒng)在空間遙感領域的技術優(yōu)勢，給出了應用XY多項式自由曲面實現(xiàn)二維大視場緊湊型離軸四反光學系統(tǒng)的優(yōu)化設計方法，利用標準Zernike多項式像差分析方法提升了離軸系統(tǒng)子午方向大視場，實現(xiàn)了雙方向大視場優(yōu)質(zhì)成像。經(jīng)過公差分析，在奈奎斯特頻率（25線對/mm）處全視場調(diào)制傳遞函數(shù)優(yōu)于0.57。該系統(tǒng)焦距長、視場大、探測譜段寬、能量集中度高，利于目標識別和高密度觀測，在空間紅外遙感領域有很好的應用前景。

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Design of Compact Off-axis Four-mirror Optical System with Two-dimensional Large Field of View

LIU Lu HU Bin ZHOU Feng WANG Yu

（Beijing Institute of Space Mechanics & Electricity, Beijing 100094, China）

In order to meet the needs of lightweight and high temporal resolution in space remote sensing, a two-dimensional off-axis four-mirror optical system is designed with large field of view and compact configuration. The system works in the range of 2.70~7.50μm; the focal length of the system is 500mm; thenumber is 3.5 and the field is 18°×10°. In the process of system design, a new type of folded optical path is adopted, and then a smart and compact system structure is obtained. By using the optical design method of XY polynomial free-form surface, combined with the aberration analysis method of standard Zernike polynomial, the four-sided mirror in the system is designed as a combination of convex–convex-concave-concave surfaces, which widens the imaging field of view and realizes clear imaging of meridian arc vector in two directions and large field of view. The design results show that 80% of the energy in the full field of view is concentrated in the circle with the RMS spot diameter of 20μm; after tolerance analysis, the MTF at Nyquist frequency is better than 0.57 at 25lp/mm. The system has large field of view, high energy concentration and compact configuration, providing a reference in optical design for space remote sensing in space wide spectrum and staring imaging.

wide field of view; off-axis four mirror system; free-form surface; XY polynomial; space remote sensing

O439

A

1009-8518(2020)01-0073-12

10.3969/j.issn.1009-8518.2020.01.009

2019-09-09

劉璐, 胡斌, 周峰, 等. 二維大視場緊湊型離軸四反光學系統(tǒng)設計[J]. 航天返回與遙感, 2020, 41(1): 73-84.

LIU Lu, HU Bin, ZHOU Feng, et al. Design of Compact Off-axis Four-mirror Optical System with Two-dimensional Large Field of View[J]. Spacecraft Recovery & Remote Sensing, 2020, 41(1): 73-84. (in Chinese)

劉璐，女，1993年生，2017年獲燕山大學光電信息科學與工程專業(yè)學士學位，現(xiàn)為中國空間技術研究院在讀碩士研究生。研究方向為空間光學遙感器系統(tǒng)設計。E-mail：632891187@qq.com。

（編輯：夏淑密）