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    依托“符號(hào)意識(shí)”培養(yǎng)建構(gòu)數(shù)學(xué)模型關(guān)鍵能力

    2020-04-23 01:59:08盛小青江蘇省常州市新北區(qū)飛龍中學(xué)213022
    中學(xué)數(shù)學(xué)月刊 2020年3期
    關(guān)鍵詞:符號(hào)意識(shí)糖水數(shù)學(xué)模型

    盛小青 (江蘇省常州市新北區(qū)飛龍中學(xué) 213022)

    1 問(wèn)題的提出:符號(hào)意識(shí)的認(rèn)識(shí)及解讀

    《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》(下稱《課標(biāo)2011》)提出十大核心概念:數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新思想.十八大也提出“教育的根本任務(wù)在于立德樹(shù)人”,教育部在義教課標(biāo)頂層設(shè)計(jì)中明確數(shù)學(xué)學(xué)科“立德樹(shù)人”的目標(biāo)在于提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng),即數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析.符號(hào)意識(shí)與數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理有明顯交集,由此可見(jiàn)數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的地位和重要的數(shù)學(xué)價(jià)值.符號(hào)是數(shù)學(xué)的語(yǔ)言,也是數(shù)學(xué)的工具,更是數(shù)學(xué)的方法.?dāng)?shù)學(xué)符號(hào)具有的抽象性、明確性、簡(jiǎn)略性、通用性等在數(shù)學(xué)發(fā)展中起著舉足輕重的作用.廣義數(shù)學(xué)符號(hào)系統(tǒng)包括數(shù)字、字母、圖形、關(guān)系式等,學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中無(wú)時(shí)無(wú)刻不與符號(hào)打交道,只有認(rèn)識(shí)符號(hào)的重要性,以數(shù)學(xué)符號(hào)作為媒介去解剖數(shù)學(xué)問(wèn)題,才能抽象推理出與實(shí)際問(wèn)題情境相匹配的數(shù)學(xué)模型.所以新課標(biāo)把原來(lái)的“符號(hào)感”升級(jí)為“符號(hào)意識(shí)”,就是從意識(shí)形態(tài)上提示我們運(yùn)用符號(hào)要成為一種主動(dòng)的心理傾向,既要理解并運(yùn)用符號(hào)來(lái)表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系、變化規(guī)律,還要有主動(dòng)運(yùn)用符號(hào)參與運(yùn)算和推理的意識(shí),更要理解符號(hào)的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和數(shù)學(xué)思考的重要形式.在教學(xué)中重視符號(hào)意識(shí)的滲透,才能培養(yǎng)學(xué)生快速有效地建構(gòu)匹配的“數(shù)學(xué)模型”,才能把實(shí)際問(wèn)題有效化歸為純數(shù)學(xué)問(wèn)題去分析解決.

    2 符號(hào)意識(shí)包含的內(nèi)容和建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的作用解讀

    數(shù)學(xué)符號(hào)最本質(zhì)的意義在于它是抽象的結(jié)果,數(shù)的符號(hào)、字母符號(hào)、數(shù)和字母的運(yùn)算及推演都是結(jié)合生活實(shí)踐加以抽象,逐漸形成法則.可以說(shuō)數(shù)學(xué)符號(hào)與數(shù)學(xué)概念、命題一樣是一種成熟的數(shù)學(xué)表達(dá)形式,是重要的數(shù)學(xué)思想方法之一,發(fā)展學(xué)生的符號(hào)意識(shí)是重要的教學(xué)目標(biāo)并具有豐富的現(xiàn)實(shí)意義.

    (1)符號(hào)的本質(zhì)在于可以表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系、變化規(guī)律

    數(shù)字本身就可以作為大小排序的符號(hào),引入字母表示數(shù)后的經(jīng)典應(yīng)用主要有兩類:一類是撿到人民幣若干元的失物招領(lǐng)問(wèn)題,可以用撿到人民幣n元這一多數(shù)人認(rèn)可的形式初步感受用字母符號(hào)表示數(shù);第二類是數(shù)青蛙腿的順口溜,在用數(shù)字念順口溜越來(lái)越難并發(fā)現(xiàn)順口溜無(wú)窮無(wú)盡時(shí),可以借助字母表示順口溜中呈現(xiàn)的變化規(guī)律,用一句話即可完全概括.?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)總是由易到難,循序漸進(jìn),符號(hào)表達(dá)的對(duì)象、符號(hào)關(guān)系式或數(shù)學(xué)模式語(yǔ)言去表示特定的數(shù)學(xué)變化規(guī)律均經(jīng)歷了從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從相對(duì)具體到相對(duì)抽象的過(guò)程.如果在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中能長(zhǎng)期滲透同一數(shù)學(xué)對(duì)象可以用不同的符號(hào)去進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)的意識(shí),如關(guān)系式、表格、圖象等,而且這些表達(dá)方式可以互相轉(zhuǎn)換,那么我們就明晰了數(shù)學(xué)模型的基本要素——符號(hào).教學(xué)中常用的數(shù)形結(jié)合、化歸思想與數(shù)學(xué)表達(dá)方式的有效轉(zhuǎn)換也不謀而合.

    (2)符號(hào)的核心價(jià)值是使用符號(hào)進(jìn)行符合邏輯的運(yùn)算和推理

    運(yùn)算和推理是數(shù)學(xué)活動(dòng)最重要的基本形式.如果說(shuō)用符號(hào)表示具體問(wèn)題中的數(shù)、數(shù)量關(guān)系、變化規(guī)律等是數(shù)學(xué)思考的第一步,那么一定并合理的邏輯法則支撐下使用符號(hào)運(yùn)算和推理才是至關(guān)重要的.而學(xué)生使用符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算和推理的意識(shí)和能力都是目前特別欠缺的.教學(xué)中,只有不斷滲透以符號(hào)為媒介進(jìn)行關(guān)系轉(zhuǎn)換、合情推演,結(jié)合演繹推理、模型抽象等思想方法,才能有效提高學(xué)生模型的建構(gòu)能力,最終建構(gòu)合理的“數(shù)學(xué)模型”去解決實(shí)際問(wèn)題.

    (3)“用”符號(hào)是數(shù)學(xué)表達(dá)和數(shù)學(xué)思考的重要形式

    數(shù)學(xué)符號(hào)光“懂”是不夠的,關(guān)鍵是會(huì)“用”.所謂的數(shù)學(xué)表達(dá)就是學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)采用的必要方式,有效的數(shù)學(xué)表達(dá)需要以符號(hào)作為媒介進(jìn)行數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá).有效的數(shù)學(xué)思考也必須借助符號(hào)進(jìn)行,只有符號(hào)參與的數(shù)學(xué)表達(dá)和數(shù)學(xué)思考才能超越數(shù)學(xué)對(duì)象的具體屬性,從形式化的角度進(jìn)行邏輯推演,才能保證結(jié)果的嚴(yán)謹(jǐn)性、唯一性,保證方法的可操作性和通用性.

    3 從一堂課談符號(hào)意識(shí)的滲透與建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的培養(yǎng)

    《課標(biāo)2011》明確指出,數(shù)學(xué)教學(xué)必須結(jié)合概念、命題、公式的教學(xué),不斷培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí),盡可能通過(guò)實(shí)際問(wèn)題或現(xiàn)實(shí)情境創(chuàng)設(shè),引導(dǎo)、幫助學(xué)生理解符號(hào)以及表達(dá)式、關(guān)系式的意義,進(jìn)而對(duì)現(xiàn)實(shí)情境問(wèn)題進(jìn)行符號(hào)的抽象和表達(dá).特別強(qiáng)調(diào)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程的本質(zhì)就是先進(jìn)行符號(hào)的抽象與表達(dá),再使用符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算、推理、思考;要主動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷這一完整過(guò)程,才能積累學(xué)生運(yùn)用符號(hào)的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),感悟符號(hào)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想本質(zhì),真正培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí),提高建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的能力.“用數(shù)學(xué)的眼光看問(wèn)題”這節(jié)課正是基于本目標(biāo)展開(kāi)的教學(xué)設(shè)計(jì).下面就結(jié)合九年級(jí)上“用數(shù)學(xué)的眼光看問(wèn)題”這節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì),談如何通過(guò)符號(hào)意識(shí)幫助學(xué)生把生活中的實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為純數(shù)學(xué)問(wèn)題并建構(gòu)成分式“模型”的設(shè)計(jì)思路.

    教學(xué)目標(biāo) (1)理解糖水濃度的分式表示;(2)能用分式表示糖水濃度的變化;(3)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型體驗(yàn)生活中的數(shù)學(xué),提升學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

    重難點(diǎn) 數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建.

    教學(xué)過(guò)程

    ·板塊1——用數(shù)學(xué)的眼光看一個(gè)生活問(wèn)題

    問(wèn)題1給杯中加一定水,然后加糖,根據(jù)加糖多少糖水就有濃有淡,我們?nèi)绾斡脭?shù)學(xué)方式表示糖水的濃淡程度(簡(jiǎn)稱糖水濃度)呢?

    問(wèn)題2給剛才杯中的糖水繼續(xù)加糖,這時(shí)候感覺(jué)糖水如何?你能用數(shù)學(xué)方法來(lái)描述你的感覺(jué)嗎?

    教師引導(dǎo)分析:(1)剛才杯中的糖水濃度如何表示?(2)繼續(xù)加糖,這時(shí)候糖水濃度如何表示?(3)變甜是什么意思,怎樣用數(shù)學(xué)方式表達(dá)糖水變甜?

    (學(xué)生獨(dú)立完成)

    教師歸納:在這個(gè)問(wèn)題中,要分離出原來(lái)、現(xiàn)在的濃度如何表示,變甜的數(shù)學(xué)本質(zhì)是濃度變大.

    設(shè)計(jì)思路從生活中常見(jiàn)的實(shí)際問(wèn)題出發(fā),讓學(xué)生主動(dòng)去發(fā)現(xiàn)糖水的濃淡問(wèn)題就是糖的質(zhì)量與水溶液質(zhì)量的比值問(wèn)題.可以用字母分別表示變化中的糖和水的質(zhì)量,就能建構(gòu)用符號(hào)表示的基本數(shù)學(xué)模型——分式.這一數(shù)學(xué)思考過(guò)程中要引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)經(jīng)歷符號(hào)的抽象和表達(dá)過(guò)程,逐步培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)用符號(hào)的意識(shí).

    問(wèn)題4用數(shù)學(xué)方法嘗試說(shuō)明一杯糖水中繼續(xù)加水后變淡了.

    (學(xué)生獨(dú)立完成,同伴互查)

    設(shè)計(jì)思路嘗試分析一杯糖水加水變淡問(wèn)題,就是要求學(xué)生能在符號(hào)表達(dá)的基礎(chǔ)上初步嘗試使用符號(hào)進(jìn)行符合邏輯的運(yùn)算和推理,把探索糖水變濃變淡問(wèn)題抽象轉(zhuǎn)化成研究分式的值在分子分母變化后的變化問(wèn)題.這兩個(gè)問(wèn)題意在讓學(xué)生初步感受數(shù)學(xué)過(guò)程往往就體現(xiàn)于“數(shù)學(xué)符號(hào)之間的運(yùn)算”這一數(shù)學(xué)思考的本質(zhì).

    ·板塊2——進(jìn)一步探究有關(guān)糖水中的現(xiàn)象

    問(wèn)題1現(xiàn)有兩杯糖水,一杯濃,一杯淡,進(jìn)行混合.混合后你的感覺(jué)怎樣,如何用數(shù)學(xué)方式來(lái)表示這種感覺(jué)?

    教師引導(dǎo)分析:(1)濃的糖水、淡的糖水濃度如何表示?(2)混合后的糖水濃度如何用式子表示?

    (學(xué)生獨(dú)立完成后,同伴相互說(shuō)一說(shuō))

    教師歸納:(1)如何表示濃淡不一的糖水;(2)如何將生活的感受轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)表達(dá).

    問(wèn)題2上述問(wèn)題中兩杯糖水混合后的濃度是不是就是兩杯的平均濃度呢?

    教師引導(dǎo)分析:(1)這里涉及的三個(gè)濃度如何表示?(2)題目的意思如何用數(shù)學(xué)來(lái)表達(dá)?(3)不妨取一些特殊值嘗試,發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?(4)如何來(lái)說(shuō)明是否相等?

    (學(xué)生獨(dú)立嘗試,同伴說(shuō)一說(shuō))

    教師歸納:(1)這里包含哪幾個(gè)概念;(2)如何說(shuō)明是否相等.

    設(shè)計(jì)思路經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)抽象,學(xué)生已經(jīng)發(fā)現(xiàn)糖水的濃度問(wèn)題符號(hào)表達(dá)的本質(zhì)就是糖的質(zhì)量與糖水混合液的質(zhì)量比值——分式的值,引導(dǎo)學(xué)生思考比較兩杯不同的糖水的濃度問(wèn)題可以使用分式的加減乘除符號(hào)參與運(yùn)算和推演.如果推演后得到兩杯糖水濃度的最終符號(hào)結(jié)果具有相同的數(shù)學(xué)表達(dá)式,那么兩杯糖水一樣甜,反之則不一樣.符號(hào)推演及運(yùn)算是超越了研究糖水問(wèn)題的具體屬性的高度抽象,在板塊1中一杯糖水濃度的基礎(chǔ)上更進(jìn)了一步,對(duì)學(xué)生運(yùn)用符號(hào)進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的要求又上了一個(gè)臺(tái)階.兩杯糖水混合后的濃度是否與兩杯糖水的平均濃度相同的問(wèn)題對(duì)學(xué)生挑戰(zhàn)比較大,可以鼓勵(lì)學(xué)生先用一些特殊值去進(jìn)行計(jì)算猜想,再使用符號(hào)去進(jìn)行運(yùn)算、推理,驗(yàn)證猜想的正確性和科學(xué)性,感受運(yùn)用符號(hào)的數(shù)學(xué)表達(dá)和數(shù)學(xué)思考在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的獨(dú)特思維品質(zhì).

    ·板塊3——糖水中可以得到一個(gè)的結(jié)論

    問(wèn)題1一大杯糖水分別倒入三個(gè)小杯中,大杯、小杯中的糖水濃度有什么特征?

    教師引導(dǎo)分析:(1)這里的濃度有什么特征?(2)你能發(fā)現(xiàn)什么?

    (學(xué)生獨(dú)立思考后同伴說(shuō)一說(shuō))

    歸納:(1)這里得到了分式的一個(gè)很重要的性質(zhì)(等比性質(zhì)).

    問(wèn)題2假如把這一大杯分給五個(gè)小杯后你能得到怎樣的數(shù)學(xué)性質(zhì)?

    (獨(dú)立完成,同伴交流)

    設(shè)計(jì)思路基于學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn),很容易理解大杯中的糖水倒入不同的杯中,不會(huì)改變糖水的濃度.要引導(dǎo)學(xué)生把生活經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)表達(dá)即符號(hào)表達(dá),那么學(xué)生的符號(hào)意識(shí)就能在潛移默化中增長(zhǎng).在使用符號(hào)的數(shù)學(xué)表達(dá)中發(fā)現(xiàn)當(dāng)分式的分子與分母以相同的比例變化時(shí)分式的值不變,也就自然生成了分式的等比性質(zhì)這一數(shù)學(xué)模型.很多數(shù)學(xué)的定理和性質(zhì)正是通過(guò)生活經(jīng)驗(yàn)和符號(hào)運(yùn)算進(jìn)行相互驗(yàn)證后得出的,這種認(rèn)知結(jié)構(gòu)既符合學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn),也進(jìn)一步讓學(xué)生感受到符號(hào)作為媒介的數(shù)學(xué)表達(dá)形式的價(jià)值所在.

    ·板塊4——?dú)w納與整理

    問(wèn)題1今天我們學(xué)習(xí)了如何用數(shù)學(xué)方式來(lái)描述糖水的濃淡,也就是用數(shù)學(xué)的眼光來(lái)描述自然現(xiàn)象,其實(shí)我們以前也經(jīng)常這樣去嘗試:

    (學(xué)生讀一讀)

    問(wèn)題2有一桶水質(zhì)量為100 kg,用來(lái)洗一件含有akg臟物的衣服(臟物能完全溶于水),每次洗后留在衣服上的臟水1 kg,問(wèn):這桶水分一次洗衣服干凈,還是平均分兩次洗干凈?

    (教師引導(dǎo)分析題意后,學(xué)生獨(dú)立完成)

    問(wèn)題3如何判斷兩個(gè)圖形“像”與“不像”?

    我們知道,生活中有一些平面圖形之間并不完全相似,有時(shí)感覺(jué)兩個(gè)圖形“像”的程度大一點(diǎn),有時(shí)感覺(jué)兩個(gè)圖形“像”的程度差一點(diǎn).那么我們?cè)鯓佑脭?shù)學(xué)方式來(lái)描述兩個(gè)圖形“像”與“不像”呢?解決下列問(wèn)題:

    圖1 圖2 圖3

    圖1中三角形為正三角形,圖2和圖3中三角形都為等腰三角形.我們的視覺(jué)中,圖2中等腰三角形形狀更像(更接近于)圖1中正三角形.請(qǐng)你用數(shù)學(xué)方式來(lái)描述等腰三角形與正三角形的接近度(如果一個(gè)等腰三角形與另一個(gè)等腰三角形相似,我們就認(rèn)為這兩者與正三角形接近度一樣或一樣“像”).

    (教師引導(dǎo)分析題意后,學(xué)生獨(dú)立完成,小組交流)

    設(shè)計(jì)思路本環(huán)節(jié)是用數(shù)學(xué)的眼光看問(wèn)題的拓展與延伸,進(jìn)一步凸顯了數(shù)學(xué)符號(hào)具有高度的概括性和一般性特征.在把現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中的生活語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成符號(hào)語(yǔ)言時(shí),我們要抓住其數(shù)學(xué)本質(zhì)予以解讀和表征,要靈活地、全方位地去認(rèn)識(shí)和理解符號(hào)的意義和符號(hào)之間的關(guān)聯(lián)性.特別是同一符號(hào)的多重意義的理解,如糖水濃度問(wèn)題的符號(hào)表達(dá)也可以表示走路的快慢、電流的強(qiáng)弱、物品的價(jià)格高低等.學(xué)會(huì)使用數(shù)學(xué)符號(hào)去進(jìn)行合理的數(shù)學(xué)表達(dá),那么生活中很多實(shí)際問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題去思考、去表征,從而建構(gòu)數(shù)學(xué)模型去解決.

    4 結(jié)束語(yǔ)

    歐洲文明的起源地是古希臘,古希臘人認(rèn)為世界就是一個(gè)簡(jiǎn)單的、符合邏輯、能以數(shù)學(xué)表達(dá)的世界.這一數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)既與我們今天倡導(dǎo)的符號(hào)意識(shí)不謀而合,也為符號(hào)意識(shí)提供了強(qiáng)大的理論支撐.在遙遠(yuǎn)的歐洲古典時(shí)期數(shù)學(xué)家就有如此的遠(yuǎn)見(jiàn)卓識(shí)更彰顯了符號(hào)意識(shí)的重要地位,在試圖全面提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的今天,我們更要在教學(xué)中引導(dǎo)并幫助學(xué)生牢固樹(shù)立符號(hào)表示、使用符號(hào)運(yùn)算推演并解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí),長(zhǎng)期滲透符號(hào)意識(shí),培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)數(shù)學(xué)模型,學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力才能真正提升并收到實(shí)效.

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