基于積分權(quán)波動(dòng)率的已實(shí)現(xiàn)GARCH模型研究及應(yīng)用

劉懿瑤 韋睿心 蘇嘉煒

摘? ?要：波動(dòng)率是對(duì)資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)程度和風(fēng)險(xiǎn)大小的衡量。對(duì)波動(dòng)率的研究有利于更深入地理解金融市場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。文章基于跳躍擴(kuò)散過(guò)程，在已實(shí)現(xiàn)測(cè)度中引入GM積分型權(quán)函數(shù)，結(jié)合已實(shí)現(xiàn)的GARCH模型，改進(jìn)已實(shí)現(xiàn)GARCH模型的波動(dòng)率估計(jì)，平滑跳躍對(duì)估計(jì)值的影響，更有效地描述中國(guó)股票市場(chǎng)的波動(dòng)情況。

關(guān)鍵詞：已實(shí)現(xiàn)GARCH;已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率;VaR

1? ? 波動(dòng)率概述

波動(dòng)率是對(duì)資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)程度和風(fēng)險(xiǎn)大小的衡量。對(duì)波動(dòng)率的研究有利于更深入地理解金融市場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，對(duì)維持金融機(jī)構(gòu)和金融系統(tǒng)的穩(wěn)定性具有重要意義。早期學(xué)者對(duì)波動(dòng)率的研究主要是通過(guò)GARCH，SV等模型。GARCH類模型被廣泛應(yīng)用于估計(jì)市場(chǎng)波動(dòng)的動(dòng)態(tài)特征，但傳統(tǒng)的GARCH類模型往往是基于低頻數(shù)據(jù)建立的，低頻數(shù)據(jù)包含的有效信息有限，對(duì)于波動(dòng)率快速變化的情況無(wú)法進(jìn)行及時(shí)有效的反映。

近年來(lái)，高頻金融數(shù)據(jù)已被廣泛應(yīng)用于金融行業(yè)，且比低頻數(shù)據(jù)包含更多的信息，大量研究開(kāi)始使用日內(nèi)高頻數(shù)據(jù)來(lái)獲得更為準(zhǔn)確的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率，并提出各種波動(dòng)率模型和已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率測(cè)度，包括已實(shí)現(xiàn)方差，已實(shí)現(xiàn)核方差，已實(shí)現(xiàn)雙冪次變差等，例如Barndorff-Nielsen等[1]提出的HEAVY模型。同時(shí)，許多研究開(kāi)始將各種已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率帶入GARCH模型以獲得能對(duì)未來(lái)的波動(dòng)作出及時(shí)反應(yīng)的模型，例如Engle[2]提出的GARCH-X模型，Engle和Gallo[3]提出的模型被稱為乘法誤差模型（MEM）。Hansen等[4]在傳統(tǒng)的GARCH模型的基礎(chǔ)上，引入已實(shí)現(xiàn)測(cè)度方程，提出了Realized GARCH 模型，該模型改進(jìn)了傳統(tǒng)的GARCH模型的預(yù)測(cè)能力。

本文基于跳躍擴(kuò)散過(guò)程，在已實(shí)現(xiàn)測(cè)度中引入GM積分型權(quán)函數(shù)，結(jié)合Realized GARCH模型，改進(jìn)Realized? GARCH模型的波動(dòng)率估計(jì)，平滑跳躍對(duì)估計(jì)值的影響，更有效地描述中國(guó)股票市場(chǎng)的波動(dòng)情況。

2? ? Realized GARCH模型

相較于其他估計(jì)波動(dòng)率的高頻數(shù)據(jù)模型，RGARCH模型有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)潔，參數(shù)易于估計(jì)，可以降低微觀結(jié)構(gòu)噪音造成的估計(jì)誤差（Watanabe，2012），充分描述了收益率和已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的動(dòng)態(tài)變化等優(yōu)點(diǎn)。

RGARCH（1，1）模型可以表示為：

（1）

（2）

（3）

其中，rt是均值為0的收益率序列，而zt是服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)擾動(dòng)，zt～N（0，1），μt～N（0，σ2μ ），且zt和μt相互獨(dú)立。

σt=var（rt|t -1）為條件方差，t -1=σ（rt -1，xt -1，…）是在t時(shí)刻可獲得的信息集，xt為已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率測(cè)度，τ（zt）是杠桿函數(shù)（Hansen等，2011），其作用是描述波動(dòng)率與收益率之間的非對(duì)稱關(guān)系，并采用如下函數(shù)設(shè)定：τ（zt）=τ1zt+τ2（z2t-1），其中，Eτ（zt）=0。

模型中的前兩個(gè)式子分別為均值方程和方差方程，分別描述了條件方差σt 對(duì)收益率rt的影響，以及前期的條件方差σt -1和前期已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率xt -1對(duì)條件方差σt 的影響。這兩個(gè)式子構(gòu)造了類似于GARCH-X的模型，其中X表示將xt作為外生變量處理。（3）式則被稱為度量方程，因?yàn)閤t是ht的一種度量，該式刻畫了已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率與條件方差之間的關(guān)系，并通過(guò)引入杠桿函數(shù)τ（zt），表示收益率在大小和方向上都對(duì)未來(lái)波動(dòng)有影響。

3? ? 已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率

設(shè)某一資產(chǎn)在i時(shí)刻對(duì)數(shù)收益率為ri，將每個(gè)交易日N等分，時(shí)間間隔δ =1/N代表了采樣頻率，則已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率為：

（4）

有學(xué)者研究出，當(dāng)采樣頻率δ→0時(shí)：

（5）

其中，積分波動(dòng)率，表示離散的跳躍方差。

當(dāng)資產(chǎn)價(jià)格出現(xiàn)跳躍行為時(shí)，Kristensen[5]提出可以通過(guò)二次冪變差來(lái)減弱跳躍對(duì)估計(jì)量的影響，得到二次冪變差核估計(jì)量（kernel bi-power variation）。在Kristensen的基礎(chǔ)上，本文引入GM積分型核權(quán)函數(shù)，得到二次冪變差積分權(quán)核估計(jì)量（integral-weighted bi-power variation），如下：

（6）

其中，0=t0

Δn=ti-ti-1=，i=1，2，…，n κ1=E|U|=，U～N（0，1），

Kh（x）=K（x/h）/hK（x）為核函數(shù)，h>0為給定的窗寬。該估計(jì)量對(duì)資產(chǎn)價(jià)格的跳躍行為是穩(wěn)健的，無(wú)論資產(chǎn)價(jià)格是否存在跳躍行為，該估計(jì)量都可以被用來(lái)估計(jì)瞬時(shí)波動(dòng)率[6]。

4? ? 實(shí)證

本節(jié)將把二次冪變差積分權(quán)核估計(jì)量（IBV），帶入Realized GARCH模型對(duì)我國(guó)股票市場(chǎng)的高頻金融數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。本文選取格力電器2019年9月30日至2019年11月29日，共40個(gè)交易日的1分鐘數(shù)據(jù)，因此，共有9 640個(gè)觀測(cè)點(diǎn)。

4.1? 描述性統(tǒng)計(jì)量

格力電器的描述性統(tǒng)計(jì)量。由表1中的偏度、峰度可知，該股票的收益率分布呈現(xiàn)明顯的負(fù)偏和尖峰厚尾的特征，而Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)（KS檢驗(yàn)）結(jié)果也說(shuō)明收益率并不服從正態(tài)分布，將偏t分布作為模型的條件分布可能更接近實(shí)際情況。此外，表中的Ljung-Box檢驗(yàn)（LB檢驗(yàn)）的結(jié)果則說(shuō)明該股票收益率存在自相關(guān)性和異方差，進(jìn)一步證實(shí)使用GARCH類模型的合理性[7]。

本文所使用的兩種已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率測(cè)度均值和標(biāo)準(zhǔn)差等值均無(wú)明顯差別。圖1為該股票的對(duì)數(shù)收益率及兩種已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率測(cè)度。

4.2? 模型估計(jì)結(jié)果

本節(jié)為模型估計(jì)的結(jié)果。本文對(duì)模型的估計(jì)主要使用R語(yǔ)言及Alexios Ghalanos開(kāi)發(fā)的R語(yǔ)言rugarch包（Univariate GARCH models），表2為格力電器的參數(shù)估計(jì)結(jié)果[8]。

4.3? VaR預(yù)測(cè)

本文采用固定窗口一步向前滑動(dòng)的方法估計(jì)樣本外VaR的值。估計(jì)窗口長(zhǎng)度為500，通過(guò)滑動(dòng)預(yù)測(cè)獲得500個(gè)樣本外的1%VaR預(yù)測(cè)值（2019年12月3日至2019年12月4日）。表3給出了VaR失敗率和兩個(gè)后驗(yàn)測(cè)試檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的p值，覆蓋水平為1%。（無(wú)）條件覆蓋率檢驗(yàn)的原假設(shè)為在給定顯著性水平上（本文為1%），VaR失敗率近似于0.01，則可認(rèn)為模型產(chǎn)生了有效的VaR估計(jì)。若檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的p值小于1%，則拒絕原假設(shè)?？芍?，該模型通過(guò)后驗(yàn)測(cè)試檢驗(yàn)，是一個(gè)有效的市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)預(yù)測(cè)工具。

5? ? 結(jié)語(yǔ)

Realized GARCH模型簡(jiǎn)潔而高效，本文引入的二次冪變差積分權(quán)核估計(jì)量，可以作為傳統(tǒng)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率測(cè)度的替代，使模型更為穩(wěn)定，平滑了跳躍對(duì)估計(jì)的影響。實(shí)證中也發(fā)現(xiàn)，引入該估計(jì)作為波動(dòng)率測(cè)度的模型，也通過(guò)了覆蓋率有效檢驗(yàn)，說(shuō)明該模型是一個(gè)有效的風(fēng)險(xiǎn)預(yù)測(cè)工具，在數(shù)據(jù)波動(dòng)較為劇烈時(shí)可能有更好的表現(xiàn)。

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Realized GARCH incorporating kernel weight realized volatility

Liu Yiyao， Wei Ruixin， Su Jiawei

（School of Mathematics and Statistics， Guangxi Normal University， Guilin 541004， China）

Abstract：Volatility is a measure of fluctuation and risk of asset prices. The study of volatility is conducive to a deeper understanding of the laws of movement of financial markets. Based on the jump diffusion process， this paper combines the GM integral-type weight function with the realized GARCH model ， and reduces the impact of the jump on the estimated value to more effectively describe the Chinese stock market fluctuations.

Key words：realized GARCH; realized volatility; VaR