因式分解的妙用

李星

【摘 要】 因式分解是代數(shù)變形的重要工具。運(yùn)用因式分解的思想解題有時(shí)能取得意想不到的效果。因式分解在方程（組）的求解、代數(shù)式符號的判定、規(guī)律的探尋等方面有著廣泛的應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】 簡化計(jì)算;判斷符號;比較大小;規(guī)律探尋

一、用于簡便計(jì)算

例1 計(jì)算：。

解：原式=

。

點(diǎn)評：直接計(jì)算，計(jì)算量相當(dāng)大，也沒有什么規(guī)律可言。不難發(fā)現(xiàn)，每一個(gè)小括號內(nèi)均能進(jìn)行因式分解，我們可以先因式分解，再尋找規(guī)律。

二、用于求代數(shù)式的值

例2 若，求的值。

解：，

化簡得：，

，即m+n=1，。

點(diǎn)評：一般的，一個(gè)方程中含有兩個(gè)未知數(shù)，難以求出兩個(gè)未知數(shù)的具體數(shù)值，我們可以利用“整體思想”進(jìn)行分組，通過因式分解求出整體數(shù)值，使得問題得以解決。

三、用于分式的運(yùn)算

例3 約分：。

解： 。

點(diǎn)評：約分需要找到公因式，通分需要找到最簡公分母。分式的分子、分母是多項(xiàng)式時(shí)，需將其因式分解。

四、用于尋找除數(shù)

例4 已知248-1可被60～70之間的兩個(gè)整數(shù)整除，這兩個(gè)整數(shù)是多少？

解：，

，∴這兩個(gè)整數(shù)是65，63。

點(diǎn)評：能被某個(gè)數(shù)整除，則這個(gè)數(shù)一定是其因式，可以將248-1套用平方差公式因式分解。證明某個(gè)多項(xiàng)式能被某個(gè)數(shù)整除也屬此類問題。

五、用于判定代數(shù)式的符號

例5 已知a，b，c是一個(gè)三角形的三邊，利用因式分解判斷的符號。

解：=（b+a-

c）（b-a+c）。

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊可得：（b+a-c）（b-a+c）>0，。

點(diǎn)評：判斷一個(gè)多項(xiàng)式的符號是代數(shù)中的常見問題。一種方法是：將多項(xiàng)式因式分解，寫成多個(gè)因式乘積的形式，再數(shù)一數(shù)負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)，若負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)個(gè)，則積為負(fù)，若負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)個(gè)，則積為正。另外一種方法是利用配方法把多項(xiàng)式寫成一個(gè)式子的平方再加一個(gè)常數(shù)的形式，如判斷多項(xiàng)式的符號，利用配方法可將化簡為，即可得出答案。

通過因式分解的訓(xùn)練和應(yīng)用，能使我們的觀察能力、運(yùn)算能力、變形能力、邏輯思維能力、探究能力得以提高。因式分解除了上述妙用外，在其他方面（如生活、軍事等）也有很廣泛的應(yīng)用。

【參考文獻(xiàn)】

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