等時(shí)降線問題的求解*

邢家省，吳 桑

(1.北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，北京 100191；2.數(shù)學(xué)、信息與行為教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100191)

多位數(shù)學(xué)家對(duì)等時(shí)降線問題或等時(shí)降落問題[1-4]進(jìn)行了原創(chuàng)性的研究.歷史文獻(xiàn)中，關(guān)于等時(shí)降線問題的解法都較復(fù)雜，限制了其廣泛傳播，因此有學(xué)者[5-6]充分利用現(xiàn)代成果給出了嚴(yán)密簡潔的解法.筆者擬將質(zhì)點(diǎn)沿光滑曲線從一定高度下滑所需時(shí)間的問題[3，7-8]轉(zhuǎn)化為積分方程求解的問題，并對(duì)積分方程做阿貝爾積分變換，再利用積分換序方法進(jìn)行求解.

1 質(zhì)點(diǎn)沿光滑軌道下滑所需時(shí)間

建立xOy坐標(biāo)系，Ox軸正向水平向右，Oy軸豎直向上，設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,y1)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(x2,y2)，x1

或者

設(shè)曲線L的最低點(diǎn)在Ox軸上，質(zhì)點(diǎn)在曲線L上高度為h處從靜止開始下滑，到最低點(diǎn)所需時(shí)間[3-8]為

(1)

2 質(zhì)點(diǎn)從有限高度下落的降線問題的阿貝爾積分方程

設(shè)常數(shù)H>0.實(shí)際降線問題是從有限高度下落的，所以降線問題可歸結(jié)為如下積分方程和微分方程問題[1-4]：

(2)

積分方程問題是給定函數(shù)T(h)，尋找函數(shù)f(y)，使得(2)式成立.(2)式被稱為阿貝爾積分方程[1,4].

3 有限區(qū)間上的阿貝爾積分方程的求解

則有

h(x)=g(x) 0

證明對(duì)于任意固定的0

由于φ(x),f(x)∈C(0,H]，且在(0,H]上可積，因此

由于

因此

證明

證畢.

引理3[5-6]設(shè)f(x)在(0,H]上連續(xù)可積，令

(3)

則有

證明對(duì)(3)式兩邊作阿貝爾積分變換[4-6]，利用引理1的結(jié)果可得

利用引理2的結(jié)果可得

證畢.

引理4[5-6]設(shè)f(x)在[0,H]上一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且f(0)=0，令

φ(0)=0，

則有：(ⅰ)φ(x)在[0,H]上一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且

φ′(0)=0.

證明(ⅰ)當(dāng)0

由于當(dāng)0

再令

利用引理1的結(jié)果可得h(x)=g(x)，0

利用引理2的結(jié)果可得

于是

從而

證畢.

顯然，引理3比引理4的條件少，利用引理3更容易解決等時(shí)降線問題.

4 等時(shí)降線的阿貝爾積分方程的求解

等時(shí)降線的積分方程的求解，即T(h)為常數(shù)T時(shí)的求解.此時(shí)，積分方程為

(4)

對(duì)(4)式利用引理3 的結(jié)果，可得

(5)

(5)式就是積分方程(4)的解.

5 等時(shí)降線是倒擺線的證明

在等時(shí)降線情況下，利用(3)式可得如下常微分方程：

(6)

令t=2θ，則有

這正是倒擺線的方程形式.由此可知，等時(shí)降線是倒擺線[1-8].文獻(xiàn)[2]中對(duì)倒擺線具有等時(shí)性給出了計(jì)算驗(yàn)證.

6 阿貝爾關(guān)于等時(shí)降線問題的求解

(7)

積分方程的問題是給定函數(shù)T(h)，尋找函數(shù)f(y)，使得(7)式成立.(7)式被稱為阿貝爾積分方程[1,4].阿貝爾運(yùn)用拉普拉斯變換方法[1,4]給出了(7)式的求解過程.

利用廣義積分的計(jì)算方法[9-18]可得

所以

由于

因此由拉普拉斯變換的性質(zhì)[8-12]可得

(8)

(8)式即為(7)式的求解公式.

當(dāng)T(h)=T(T為常數(shù))，也即等時(shí)降線情形時(shí)，利用(8)式可得

于是

從而得到等時(shí)降線情形的微分方程

(9)

對(duì)(9)式進(jìn)行求解，可知等時(shí)降線是一條倒擺線.