含參DC復合優(yōu)化問題值函數的Fréchet次微分*

肖程鳳，胡玲莉

(吉首大學數學與統(tǒng)計學院，湖南 吉首 416000)

1 問題的提出

約束優(yōu)化問題在最優(yōu)化理論中占重要地位.許多學者研究了目標函數是凸或DC函數、約束條件是任意多個(可能無限)凸或DC不等式的約束優(yōu)化問題，得到了相應的Farkas引理、Lagrange對偶及最優(yōu)性條件等結論[1-6].

(1)

其中幾何約束為

F(x)∶={y∈Y:(x，y)∈C}，

(2)

不等式約束為

G(x)∶={y∈Y:ft(x，y)≤0，t∈T}.

(3)

當φ為單位算子時，Dinh等[6]在f，g，ft(t∈T)是下半連續(xù)函數、C是閉集的情況下，通過閉性條件建立了含參DC優(yōu)化問題值函數的Fréchet次微分的上估計；方東輝等[7]在函數不一定下半連續(xù)、集合不一定是閉集的情況下，利用弱于文獻[6]中閉性條件的約束規(guī)范條件建立了值函數Fréchet次微分的上估計.受這些研究的啟發(fā)，筆者擬引入新的約束規(guī)范條件，建立(1)～(3)式中定義的值函數的Fréchet次微分的估計式.

2 記號與定義

Z⊕∶={x*∈X*:〈x*，x〉≥0，?x∈Z}，

凸子集D在點z0∈D的法錐定義為

N(z0;D)∶={x*∈X*:〈x*，z-z0〉≤0，?z∈D}.

對于X上的子集族{St:t∈T}，約定∩t∈?St=X.

設f是X上的廣義實值函數，定義f的有效定義域、上圖和共軛函數分別為

domf∶={x∈X:f(x)<+∞}，

epif∶={(x，r)∈X×R:f(x)≤r}，

f*(x*)∶=sup{x*，x-f(x):x∈X} ?x*∈X*.

顯然，epif*是弱*閉集.當f是凸函數時，f在點x∈domf的次微分定義為

?f(x)∶={x*∈X*:f(x)+〈x*，y-x〉≤f(y)，?y∈X}.

當?f(x)≠?時，稱f在點x次可微.特別地，由法錐定義可知N(x;Z)=?δZ(x)，?x∈Z.一般地，f∶=f(x，y)在點(x，y)相應的偏次微分分別表示為?xf(x，y)和?yf(x，y).設Ω?X×Y，點(x，y)∈Ω，則法錐N(x;Z)相應的投影分別為

NX((x，y);Ω)∶={x*∈X*:?y*∈Y*s.t.(x*，y*)∈N((x，y);Ω)}，

NY((x，y);Ω)∶={y*∈Y*:?x*∈X*s.t.(x*，y*)∈N((x，y);Ω)}.

domG∶={x∈X:G(x)≠?}，

gphG∶={(x，y)∈X×Y:y∈G(x)}.

φ(tx1+(1-t)x2)≤Ktφ(x1)+(1-t)φ(x2)，

則稱函數φ是K-凸函數.設φ:X→R∪{±∞}是實值延拓函數，x0∈domφ且滿足|φ(x0)|<+∞.根據文獻[8]，定義φ在點x0的ε次微分為

(4)

3 值函數Fréchet次微分估計

設

M(x)∶={y∈F(x)∩G(x):μ(x)=(f°φ)(x，y)-g(x，y)}.

若無特殊說明，均假設dom(f°φ-g)∩A≠?，domM≠?.用T(x0，y0)表示點(x0，y0)∈X×Y的活動指標集，即T(x0，y0)∶={t∈T:ft(x0，y0)=0}.定義(x0，y0)∈gphM和y*∈Y*的KKT乘子集為

(5)

為了研究含參DC復合優(yōu)化問題的值函數的Fréchet次微分的上估計式，引入以下約束規(guī)范條件：

定義1(ⅰ)設點(x0，y0)∈dom(f°φ-g)∩A，若

(6)

則稱系統(tǒng){f，φ，g，δC;ft:t∈T}在點(x0，y0)滿足F-(BCQ)條件.

(ⅱ)設點(x0，y0)∈A，若

則稱系統(tǒng){δC;ft:t∈T}在點(x0，y0)滿足(BCQ)條件[9].

(ⅲ)設點(x0，y0)∈A∩φ-1(domf)，若

(7)

則稱系統(tǒng){f，φ，δC;ft:t∈T}在點(x0，y0)滿足(CBCQ)條件[10].

引理1[10]假設存在點(x0，y0)∈φ-1(domf)∩intA，使得f在φ(x0，y0)處連續(xù)，或存在點(x0，y0)∈φ-1(domf)∩A，使得f在φ(x0，y0)處連續(xù)且φ在(x0，y0)處連續(xù).若系統(tǒng){δC;ft:t∈T}在點(x0，y0)滿足(BCQ)條件，則系統(tǒng){f，φ，δC;ft:t∈T}在該點滿足(CBCQ)條件.

命題1設(x0，y0)∈A，若系統(tǒng){f，φ，δC;ft:t∈T}在點(x0，y0)滿足(CBCQ)條件，則系統(tǒng){f，φ，g，δC;ft:t∈T}在該點滿足F-(BCQ)條件.

又(7)式成立，故

于是(6)式成立，結論得證.

由引理1和命題1可得以下推論：

推論1假設存在點(x0，y0)∈φ-1(domf)∩intA，使得f在φ(x0，y0)處連續(xù)，或存在點(x0，y0)∈φ-1(domf)∩A，使得f在φ(x0，y0)處連續(xù)且φ在(x0，y0)處連續(xù).若系統(tǒng){δC;ft:t∈T}在點(x0，y0)滿足(BCQ)條件，則系統(tǒng){f，φ，g，δC;ft:t∈T}在該點滿足F-(BCQ)條件.

定理1若系統(tǒng){f，φ，g，δC;ft:t∈T}在點(x0，y0)∈gphM滿足F-(BCQ)條件，則對于?γ>0，有

(8)

μ(x)-μ(x0)-〈u*，x-x0〉+γ‖x-x0‖≥0 ?x∈x0+ηB.

(9)

注意到點(x0，y0)∈gphM，則有μ(x0)=f(φ(x0，y0))-g(x0，y0).對于任意點(x，y)∈A，有μ(x)≤f(φ(x，y))-g(x，y).結合(9)式可知，對于任意點(x，y)∈A∩((x0+ηB)×Y)，有

f(φ(x，y))-g(x，y)-f(φ(x0，y0))+g(x0，y0)-〈u*，x-x0〉+γ‖x-x0‖≥0.

(10)

h(x，y)∶=f(φ(x，y))-g(x，y)-〈u*，x-x0〉+γ‖x-x0‖，

則由(10)式可知

h(x0，y0)≤h(x，y)，?(x，y)∈A∩((x0+ηB)×Y).

由(4)式可得

(11)

注意到點(x0，y0)是集合(x0+ηB)×Y的內點，故該集合的示性函數在點(x0，y0)連續(xù)，從而

(12)

根據函數h的定義和文獻[1]中的命題2.2，可得

(13)

結合(11)～(13)式和系統(tǒng){f，φ，g，δC;ft:t∈T}在點(x0，y0)滿足F-(BCQ)條件，可得

(u*+x*，y*)+N((x0，y0);C)+

注意到對于?t∈T，有

?ft(x0，y0)??xft(x0，y0)×?yft(x0，y0)，

N((x0，y0);C)?NX((x0，y0);C)×NY((x0，y0);C)，

結合(5)式可知

故(8)式成立.證畢.

由定理1可得如下推論:

推論2設x0∈domM，y0是含參DC復合優(yōu)化問題

min(f°φ)(x0，y)-g(x0，y)

s.t.y∈F(x0)∩G(x0)

(14)

(15)

由定理1、命題1、推論2和引理1，可得以下結論：

推論3若系統(tǒng){f，φ，δC;ft:t∈T}在點(x0，y0)∈gphM滿足(CBCQ)條件，則對于?γ>0，(8)式成立.

推論5設(x0，y0)∈gphM∩φ-1(domf)∩intA.若函數f在φ(x0，y0)處連續(xù)，系統(tǒng){δC;ft:t∈T}在點(x0，y0)滿足(BCQ)條件，且

則對于?γ>0，(8)式成立.

注1令φ為單位算子，則(1)式可以轉化為文獻[7]中的值函數，即

此時，本研究中的F-(BCQ)條件轉化為文獻[7]中的F-(BCQ)條件，即

由此可知，定理1推廣了文獻[7]中的結論.