插上“隱形的翅膀”，“翱翔”于三角形世界

黃志琴

親愛的同學(xué)：看見“三角形”這三個(gè)字，你的大腦里會(huì)呈現(xiàn)哪些圖形？你想到哪些相關(guān)的內(nèi)容與方法呢？梳理三角形的內(nèi)容，使其條理化，或許你覺得三角形很簡(jiǎn)單。嘗試先思考以下問(wèn)題，聯(lián)想知識(shí)，再提煉一些方法。

問(wèn)題1 如圖1，點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，請(qǐng)找到圓上一點(diǎn)Q，使PQ最短。

答案見圖2。你能說(shuō)出道理嗎？跟三角形有關(guān)系嗎？

如圖3，在⊙O上任意取點(diǎn)A，連接PA、OA，根據(jù)三角形的性質(zhì)“兩邊之和大于第三邊”判斷PO最小，從而得到圖2中的點(diǎn)Q使PQ最短。這條性質(zhì)的實(shí)質(zhì)是“兩點(diǎn)之間線段最短”。三角形是以線段、角等為基礎(chǔ)，卻比線段、角更復(fù)雜些的圖形。請(qǐng)聯(lián)想三角形的邊有哪些性質(zhì)，三角形的角又有哪些性質(zhì)。試說(shuō)明“直徑是最長(zhǎng)的弦”，試回答“過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)的最短（或最長(zhǎng)）的弦是哪一條？為什么？”在圖4中嘗試解答。

三角形這部分知識(shí)的應(yīng)用，還是要從定義及其重要性質(zhì)（邊、角關(guān)系）開始，從一般到特殊。這里主要跟同學(xué)們聊聊一些隱蔽的三角形和三角形隱含的作用，特別是特殊三角形。

問(wèn)題2 如圖5，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'BC'，連接A'C，則A'C的長(zhǎng)為_________。

同學(xué)們，你們覺得此題的突破點(diǎn)可能在哪里？除已知的特殊三角形外，常見的處理辦法是連接CC'得到等邊三角形C'BC（如圖6）。把A'C拆分成兩條線段后分別放在等腰三角形A'BC'和等邊三角形△C'BC中求解。

三角形考查的重點(diǎn)是特殊三角形：等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、等腰直焦三角形等?！半[形”三角形是難點(diǎn)，它們還周以“隱形置身”于動(dòng)態(tài)問(wèn)題中。把一條線段繞端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)可以得到等腰三角形。

問(wèn)題3 如圖7，在矩形ABCD中，AB=5，BC=3，將矩形ABCD繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到矩形GBEF，點(diǎn)A落在矩形ABCD的邊CD上的點(diǎn)G處，連接CE，則CE的長(zhǎng)是________。

旋轉(zhuǎn)問(wèn)題中全等或相似會(huì)成對(duì)出現(xiàn)，通常需要尋找或構(gòu)造相似（或全等）三角形，利用相似（或全等）三角形性質(zhì)（數(shù)量關(guān)系）求解。這里有矩形全等，連接AG得4 ABG，由對(duì)應(yīng)邊旋轉(zhuǎn)后可得△ABG～△CBE。

如果旋轉(zhuǎn)角度為特殊度數(shù)，可以得到更特殊的三角形。反之，看到特殊三角形應(yīng)該盡可能多地聯(lián)想到特殊度數(shù)。

問(wèn)題4 如圖8，⊙O的半徑OM=1，A為⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)B為直徑材N延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，OB=3，連接AB，把AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CB。連接OC，求OC的最小值。

此題以動(dòng)態(tài)的眼光來(lái)看更容易理解。如圖9，“把AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°”從整體來(lái)看，所有點(diǎn)C的集合可以看作把所有點(diǎn)A的集合⊙O，繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的⊙O'，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為⊙O'外一點(diǎn)O到⊙O'上點(diǎn)的距離的最小值。以O(shè)B為直角邊，點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，順時(shí)針構(gòu)造等腰直角△OBO'。從圖中不難發(fā)現(xiàn)，△OBO'～△ABC，△OAB≌△O'CB及⊙O與⊙O'全等。

請(qǐng)同學(xué)們思考：把“AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CB”改成“以AB為直角邊作等腰直角△ABC，使∠ABC=90°，A、B、C逆時(shí)針排列”，從這里的等腰直角三角形可以挖掘哪些信息呢？

我們應(yīng)用整體的眼光看動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，用敏銳的大腦覺察特殊三角形邊、角之間的關(guān)系，用靈活的思維應(yīng)對(duì)特殊三角形邊角關(guān)系與動(dòng)態(tài)的一致性，尋找或構(gòu)造特殊關(guān)系（相似或全等）的圖形，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化和解決。

變式1 如圖10，以AB為直角邊作等腰直角△ABc，使∠CAB=90°， A、B、C逆時(shí)針排列。連接OC，求OC的最小值。

變式2 如圖11，以AB為邊作等邊△ABC，A、B、C逆時(shí)針排列。連接OC，求OC的最小值。

變式1中同是等腰直角三角形，但構(gòu)造不同，帶來(lái)邊的關(guān)系A(chǔ)B：BC由1：1變?yōu)?：，構(gòu)造兩對(duì)三角形都是相似關(guān)系，把圓按1：放大。變式2中三角形不同，∠ABC由90°變?yōu)?0°，因等邊三角形的邊長(zhǎng)相等，與問(wèn)題4一樣可以構(gòu)造三角形分別相似和全等，兩個(gè)圓全等。

我們?cè)诮鉀Q與三角形有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，應(yīng)緊扣其邊與邊、角與角及邊與角之間的關(guān)系，用構(gòu)造三角形說(shuō)明一些數(shù)量關(guān)系，特別是線段的相等關(guān)系。特殊三角形的條件和特殊三角形帶來(lái)的特殊數(shù)量關(guān)系是考查的重點(diǎn)，我們要學(xué)會(huì)聯(lián)想：看見特殊三角形要想到它擁有的特殊性質(zhì)，浮現(xiàn)內(nèi)隱的邊或角的關(guān)系。

（作者單位：江蘇省常州市金壇區(qū)白塔中學(xué)）