基于社會(huì)力模型的教學(xué)樓應(yīng)急疏散數(shù)學(xué)模型的研究

郭小林

（1、四川鐵道職業(yè)學(xué)院，四川 成都611732 2、四川省應(yīng)急管理學(xué)會(huì)，四川 成都610072）

隨著我國教育事業(yè)的高速發(fā)展，學(xué)校是年輕人的成長(zhǎng)成才的搖籃，也是祖國的未來和希望。教學(xué)樓是學(xué)生的聚集場(chǎng)所，具有樓層多、空間大、人數(shù)多的特點(diǎn)，在自然災(zāi)害、火災(zāi)、爆恐突發(fā)事件的情況下，要保護(hù)好學(xué)生的生命安全，需要把學(xué)生疏散到安全區(qū)域。

因此，快速有效的從教學(xué)樓內(nèi)疏散學(xué)生，能極大程度的減少學(xué)生傷亡，推動(dòng)我國教育工作健康長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展。

1 教學(xué)樓疏散行為分析

應(yīng)急疏散按照疏散人員的特征可以分為兩類特征[1]，個(gè)體特征和群集特征。個(gè)體特征就是考慮個(gè)體的行為差別，每個(gè)人都有自己的思考力、判斷力以及體能差別，疏散模型就要按照每個(gè)個(gè)體的特征來設(shè)計(jì)，一個(gè)一個(gè)的疏散。群集特征就是將同一類相似的群體的疏散人員看成一個(gè)整體，他們有著相同的思維、體能和運(yùn)動(dòng)速度，一個(gè)整體一起疏散。

學(xué)校教學(xué)樓內(nèi)的疏散人員有學(xué)生、教師和管理人員。經(jīng)過對(duì)4.20 廬山地震時(shí)名山中學(xué)教室的疏散監(jiān)控錄像，總結(jié)了教學(xué)樓應(yīng)急疏散的行為特征。應(yīng)急疏散時(shí)，教師和管理人員具有高尚的師德和責(zé)任感，首先引導(dǎo)學(xué)生先行撤離，教職工自身才撤離。在學(xué)生的表現(xiàn)行為上，非常聽從教師的指揮，有清晰的疏散方向和路線，雖然會(huì)發(fā)生擁擠但不會(huì)推嚷，疏散文明有序。在擁擠的時(shí)候疏散速度偏慢，不擁擠的時(shí)候疏散速度很快。在疏散過程中，教師的作用非常很大，持續(xù)指揮學(xué)生疏散，使得學(xué)生在心理上有很大的安全感，但學(xué)生心理還是表現(xiàn)出了一定的恐慌導(dǎo)致了擁擠，有少許學(xué)生不知所措，在得到老師指揮后能快速疏散。整個(gè)疏散過程在老師的有效指揮下井然有序。

2 數(shù)學(xué)模型的建立

在分析和研究了國內(nèi)外大量的應(yīng)急疏散模型后，結(jié)合教學(xué)樓疏散的特點(diǎn)，Helbing[2]提出了社會(huì)力模型比較符合教學(xué)樓疏散。

2.1 傳統(tǒng)的社會(huì)力模型

社會(huì)力模型是基于恐慌疏散的動(dòng)力學(xué)模型，模型當(dāng)中考慮了每個(gè)個(gè)體的心理因素、物理因素、相互影響因素，利用牛頓運(yùn)動(dòng)方程建立了數(shù)學(xué)模型，如公示（1）。

公式中mi表示人員i 的質(zhì)量，vi（t）表示人員i 的失量速度，ei0（t）表示人員i 的期望方向，vi0（t）表示人員i 在期望方向的期望速度，τi表示改變速度的響應(yīng)時(shí)間。

人員i 人員j 之間的相互作用力用fij表示，表達(dá)式為（2）：

式中作用力分為三部分：Aiexp（（rij-dij）/Bi）nij表示人員i，j的心理排斥力，Ai，Bi是常數(shù)；kg（rij-dij）nij表示身體排斥力；κg（rij-dij）Δvtjitij表示人員i，j 之間的摩擦力。dij=||ri-rj||表示人員i，j之間的模，nij=（n1ij，n2ij）=（ri-rj）/dij表示人員j 到人員i 的單位向量，tij=（-n2ij，n1ij）表示切向，Δvtji-（vj-vt）·tij表示切向速度差，k 和κ 為大常數(shù)，g 在人員i，j 不相互觸碰的情況下取0，否則取一個(gè)參數(shù)x。

人員i 邊界w 之間的相互作用力類似的分為三部分用fiw表示，表達(dá)式為（3）：

式中如果diw表示到邊界w 的距離，niw表示垂直于墻的方向，tiw表示與墻相切的方向。

2.2 基于教學(xué)樓疏散行為優(yōu)化模型

傳統(tǒng)社會(huì)力模型中，把疏散人員各個(gè)方向的作用力都看作相等的，而人的所用了受視覺的影響非常大。通常情況下，人前方的物體產(chǎn)生的作用力比人后方的物體產(chǎn)生的作用大[3]，但是后方的物體的影響力再小也不可能為零，也應(yīng)有一定的影響。此時(shí)引入視覺作用因子ωi=（1-λi）+λi（1+cosθij）/2，其中λi（0＞λi≤1）為影響程度，θij是人員i 的期望方向ei0（t）與人員i，j 的夾角。

傳統(tǒng)社會(huì)力模型已經(jīng)考慮到了疏散對(duì)象受到的各種作用力影響，但是從個(gè)體而言，就算兩個(gè)個(gè)體處在同一個(gè)位置，由于心理素質(zhì)的不同，面對(duì)突發(fā)事件會(huì)表現(xiàn)出不同的恐慌程度，兩個(gè)個(gè)體的疏散行為有很大的差異。主要表現(xiàn)在疏散的速度上，越恐慌的人期望的速度越大[4]。根據(jù)教學(xué)樓實(shí)際疏散中，要求學(xué)生盡快撤離，離安全出口越遠(yuǎn)的學(xué)生焦慮最大，期望的速度最高。

因此，根據(jù)人員i 與安全出口的距離建立焦慮函數(shù)ρi=di0/dmax，修正期望速度為v0iρ（t）=v0i（t）+di0/dmax（νi-max-νi0（t）），式中di0為人員i 到安全出口的距離，dmax為疏散人員中離安全出口最遠(yuǎn)的人員距離，νi-max為人員i 的最大速度。

教學(xué)樓疏散的集群特征，分為兩類疏散人群，理性冷靜教職工和被疏散的學(xué)生。學(xué)生因?yàn)榉浅Ｊ煜そ虒W(xué)樓安全出口位置，在加上有老師的正確引導(dǎo)，期望方向和正確疏散方向能夠達(dá)到一直，引起期望方向e0i（t）修正為ei，ei表示人員i 的正確疏散方向。

由于學(xué)生們長(zhǎng)期生活在一起，師生和教室環(huán)境都非常熟悉，在疏散的時(shí)候不會(huì)因身體之間的接觸以及和邊界之間的接觸而產(chǎn)生很大的相互作用力，因此取常數(shù)g=0。

2.3 教學(xué)樓應(yīng)急疏散數(shù)學(xué)模型

以社會(huì)力模型為基礎(chǔ)經(jīng)過實(shí)際情況分析優(yōu)化后，教學(xué)樓應(yīng)急疏散數(shù)學(xué)模型如下：公示（4）

3 教學(xué)樓應(yīng)急疏散的求解方法

3.1 模型的數(shù)學(xué)求解方法

教學(xué)樓應(yīng)急疏散的數(shù)學(xué)模型理論上是微分方程求解，在根據(jù)運(yùn)動(dòng)規(guī)律求解出每個(gè)個(gè)體的疏散時(shí)間，最長(zhǎng)個(gè)體疏散時(shí)間既是整個(gè)模型的疏散時(shí)間。求解結(jié)果為公式（5）

3.2 模型的計(jì)算機(jī)的求解方法

模型的數(shù)學(xué)理論求解在理論上是可行的，但是教學(xué)樓疏散的對(duì)象眾多，而且模型還包含了人與人之間的心理相互作用力和人與邊界之間的相互作用力，計(jì)算的復(fù)雜程度和難度非常大，幾乎不可能用常規(guī)的數(shù)學(xué)手段求解。計(jì)算機(jī)可以編制計(jì)算程序進(jìn)行大量計(jì)算和模擬仿真，因此上述數(shù)學(xué)要真正求解必須要借助計(jì)算機(jī)和專用程序?qū)崿F(xiàn)，甚至需要用到專用計(jì)算機(jī)硬件支持。

經(jīng)過調(diào)研，曾經(jīng)計(jì)算過類似數(shù)學(xué)模型的計(jì)算機(jī)軟件和方法包括PanicPackage 軟件[5]，紀(jì)慶革等提出的基于相對(duì)速度的社會(huì)力模型的人群仿真方法[6]，基于MATLAB R2014B 用布谷鳥算法編程[7]，基于MATLAB 軟件采用mamdani 編程[8]等，可以按照軟件方法編程求解。

數(shù)學(xué)模型和計(jì)算機(jī)編程求解是密不可分的，數(shù)學(xué)模型的優(yōu)化有利于計(jì)算機(jī)的計(jì)算速度，計(jì)算機(jī)軟件強(qiáng)大的計(jì)算能力使得數(shù)學(xué)模型求解成為可能，兩者結(jié)合可以模型順利求解。本文數(shù)學(xué)模型在具體的教學(xué)樓中應(yīng)用時(shí)，需要要根據(jù)實(shí)際情況建立參數(shù)，如期望速度、期望方向、距離等參數(shù)，再利用計(jì)算機(jī)編程算出應(yīng)急疏散所需要時(shí)間。再評(píng)估疏散的時(shí)間是否在安全的疏散時(shí)間內(nèi)，如果疏散時(shí)間過長(zhǎng)，則表明當(dāng)前的教學(xué)樓運(yùn)行狀態(tài)不能保護(hù)學(xué)生安全疏散，則需要調(diào)整相應(yīng)的參數(shù)，如減少學(xué)生人數(shù)，增加管理者的管理能力等等。

4 結(jié)論

本文的教學(xué)樓應(yīng)急疏散數(shù)學(xué)模型可以應(yīng)用于學(xué)校的應(yīng)急疏散仿真、應(yīng)急疏散能力評(píng)估、應(yīng)急疏散方案的優(yōu)化等等。模型還可以用于類似特征的建筑物如工廠車間、軌道交通空間的應(yīng)急疏散。特別是大數(shù)據(jù)的應(yīng)用發(fā)展，每個(gè)個(gè)體特征都可以準(zhǔn)確的記錄在后臺(tái)數(shù)據(jù)中心，應(yīng)用本模型可以實(shí)時(shí)仿真模擬應(yīng)急疏散。本模型還可以融入到其他各種應(yīng)用系統(tǒng)，為分析、預(yù)報(bào)、預(yù)警等提供可靠的數(shù)據(jù)。