隨機(jī)利率下帶注資的對(duì)偶模型最優(yōu)分紅問題

鄧 麗, 鄭 華*, 彭小飛

(1. 韶關(guān)學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 韶關(guān) 512005; 2. 華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 廣州 510631)

隨著公司股份制改革,為了保證公司現(xiàn)金流的充足和運(yùn)營安全,公司在發(fā)行股票籌集資金時(shí)需考慮回饋?zhàn)鳛橥顿Y者的股東,即分紅. 分紅問題中,討論得較多的有經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型和風(fēng)險(xiǎn)對(duì)偶模型[1-6],其中風(fēng)險(xiǎn)對(duì)偶模型可描述為[1]:

U(t)=u-ct+S(t) (t+,u),

(1)

其中,U(0)=u表示公司的初始資金,正整數(shù)c表示在單位時(shí)間(t-1,t]內(nèi)的支出,S(t)表示直到t時(shí)刻的總收益.

風(fēng)險(xiǎn)對(duì)偶模型中研究得較多的分紅策略有:Barrier策略[1]和Threshold策略[2],例如:運(yùn)用Laplace變換方法討論了復(fù)合Poisson對(duì)偶模型的最優(yōu)分紅Barrier的確定方法[1];利用2個(gè)Integro積分方程和Laplace變換給出了最優(yōu)分紅Threshold的計(jì)算方法[2]. 顯然,在最優(yōu)分紅問題中,既提高股東收益又降低公司風(fēng)險(xiǎn)的方案應(yīng)當(dāng)同時(shí)考慮分紅與再注資[7-13],例如:在離散經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型中證明了最優(yōu)值函數(shù)是一個(gè)Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)方程的唯一解,指出再注資后最優(yōu)分紅策略是Barrier策略[7];在對(duì)偶模型中證明了帶注資的最優(yōu)分紅策略為Barrier策略[8];討論了帶比例和固定交易費(fèi)的再注資的最優(yōu)分紅問題,并通過數(shù)值實(shí)例說明分紅邊界隨交易費(fèi)比例的增加而上升[9];在復(fù)合二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型中證明了最優(yōu)值函數(shù)是一個(gè)HJB方程的唯一解,并驗(yàn)證了最優(yōu)控制策略是雙Barrier策略[10]. 為了更貼合實(shí)際,考慮分紅貼現(xiàn)利率的變化具有隨機(jī)性[14-15],例如:在隨機(jī)利率下討論了離散風(fēng)險(xiǎn)模型中具有延遲索賠的最優(yōu)分紅問題,得到了最優(yōu)策略的一個(gè)高效算法[14].

本文在紅利有界的條件下,研究復(fù)合二項(xiàng)對(duì)偶模型中帶比例交易費(fèi)再注資且分紅貼現(xiàn)利率隨機(jī)變化的最優(yōu)分紅問題;運(yùn)用壓縮映射不動(dòng)點(diǎn)原理證明了該最優(yōu)分紅問題的最優(yōu)值函數(shù)是一個(gè)離散HJB方程的唯一解,得到了最優(yōu)分紅策略和最優(yōu)值函數(shù)的計(jì)算方法;為了能在實(shí)際運(yùn)用中計(jì)算最優(yōu)紅利值,根據(jù)分紅策略的一些性質(zhì)得到了該最優(yōu)值函數(shù)的可無限逼近的上界和下界;最后給出數(shù)值實(shí)例來驗(yàn)證本文所給的最優(yōu)分紅策略的有效性.

1 預(yù)備知識(shí)

文中用到的相關(guān)記號(hào)、符號(hào)如下:

(ii)c,C,m,x+;i,j=1,2,…,m.

(iv)a1∨a2=max{a1,a2},a1∧a2=min{a1,a2}.

假設(shè)任意單位時(shí)間(t-1,t](t+)內(nèi)至多有一次收入,在t的前一瞬時(shí)結(jié)算. 用εt=1表示有一次收入，收入量為Xt+;εt=0表示無收入. 序列{Xt}和{εt}分別為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量,其中{εt}具有概率Pr(εt=1)=p(0

再假設(shè)(t-1,t]時(shí)間段的利率{Rt,t+}是有限狀態(tài)空間{r1,r2,…,rm}的關(guān)于t可測(cè)的齊次 Markov 鏈,一步轉(zhuǎn)移概率陣為其中pij=Pr(Rt+1=rj|Rt=ri). 令vi(0

在模型(1)中引入分紅策略. 假設(shè)在0時(shí)刻不考慮分紅,分別用dt和zt表示t(t)時(shí)刻的分紅和再注資,記d0=0. 在任何時(shí)刻t的分紅策略滿足以下4個(gè)條件稱為可行的策略:(1)dt取整數(shù)且有上界C;(2)dt和zt關(guān)于t可測(cè);(3)盈余u不大于c時(shí)不分紅,并由股東注入相應(yīng)的資金c-u(存在交易費(fèi)),使盈余能夠快速恢復(fù)到c;(4)盈余u不小于c時(shí)不注資,分紅由超出c的部分承擔(dān).

由于模型(1)具有Markov性質(zhì),所以只需討論依賴于各時(shí)刻盈余的可行策略,這類策略是關(guān)于盈余的函數(shù),組成的集合用Λ表示. 為方便討論,用φi(u)表示盈余為u、利率狀態(tài)為ri時(shí)的分紅量,則任意時(shí)刻t(t+)的利率Rt=rj時(shí)的分紅量為φj(U(t-1)-c+Xtεt). 故初始利率為R0=ri的累積分紅折現(xiàn)均值函數(shù)(以下簡(jiǎn)稱值函數(shù))[7]為

(2)

優(yōu)化目標(biāo)是找到最優(yōu)值函數(shù)

2 最優(yōu)分紅策略和最優(yōu)值函數(shù)

對(duì)任意的φi(u)Λ,根據(jù)全期望公式[17],帶比例交易費(fèi)再注資的值函數(shù)Vi(u)滿足:

(3)

其中β(β≥0)為交易費(fèi)的比例(常量).

定理1對(duì)任意的φi(u)Λ,最優(yōu)值函數(shù)滿足如下 HJB 方程:

(4)

證明對(duì)式(3)取最優(yōu)值得:

(5)

顯然式(5)與式(4)等價(jià). 證畢.

定義1[16]記H表示所有m維有界實(shí)序列組成的集合. 對(duì)H中任意兩點(diǎn)X=(Xi(u))和Y=(Yi(u))(u,i=1,2,…,m),稱

為X、Y的距離. 顯然H=(H,d)是完備度量空間,且任意的V=(Vi(u))H.

對(duì)任意的V=(Vi(u))H(i={1,2,…,m}),定義

記T=(T1,T2,…,Tm),其中Ti(i=1,2,…,m)為H上的m個(gè)算子,滿足:

bVj(u-c+x)]f(x) (u≥c),

(6)

或

TV=(T1V,T2V,…,TmV),

(7)

則式(4)中u≥c的部分等價(jià)于

TiV=Vi,

(8)

或

TV=V.

(9)

定理2方程(9)有且僅有唯一解.

證明假設(shè)對(duì)任意Xi(u),Yi(u)H,i={1,2,…,m},及給定的u≥c,Xi(u-bXi(u))+bXi(u)≥Yi(u-bYi(u))+bYi(u),因?yàn)閅i(u-bYi(u))+bYi(u)≥Yi(u-bXi(u))+bXi(u),所以

故對(duì)任意的u≥c,有

d(TX,TY)≤vd(X,Y).

在0

結(jié)論1對(duì)任意u,i={1,2,…,m},方程(4)有且僅有唯一解,且該唯一解為最優(yōu)值函數(shù)

定理3對(duì)任意的φi(u)Λ,u,i={1,2,…,m},Vi(u)取最優(yōu)值時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)

(10)

證明(1) 必要性. 由模型的假設(shè)知,當(dāng)0≤u≤c時(shí),φi(u)=0. 對(duì)任意的i={1,2,…,m},若Vi(u)是最優(yōu)的值函數(shù),則Vi(u)滿足式(3)、(4). 比較式(3)與式(4),當(dāng)u>c時(shí),有

因此式(10)成立.

(2)充分性. 因方程(4)的解存在且唯一,故充分性成立. 證畢.

3 最優(yōu)紅利值的算法

(11)

由不動(dòng)點(diǎn)原理及式(8)、(11)得

(12)

當(dāng)時(shí)間區(qū)間(t-1,t]內(nèi)可能的收入不是有界的隨機(jī)變量時(shí),遞歸式(11)中的函數(shù)序列存在無窮項(xiàng)之和,不便于數(shù)值計(jì)算. 在C<的情形下,對(duì)任意的n1+,考慮如下2個(gè)方程:

(13)

(14)

定理4對(duì)任意的u,i={1,2,…,m},有

(15).

因此,

推論1對(duì)任意的0

(16)

證明由式(13)、(14),當(dāng)0≤u

當(dāng)u≥c時(shí),由定理2的證明過程，有

則式(16)成立. 證畢.

綜上可得最優(yōu)紅利值的算法:

第1步,精度控制. 給定一個(gè)精度要求,根據(jù)式(12)得到迭代步數(shù)n及式(16)中n1的值.

4 數(shù)值模擬

(17)

例1假設(shè)p=0.7,c=C=5,收入量服從均值為μ=10的幾何分布,概率函數(shù)為:

再假設(shè)利率為:r1=0.05,r2=0.04,r3=0.03,轉(zhuǎn)移概率矩陣為:

表1 最優(yōu)分紅策略

表2 最優(yōu)值函數(shù)

續(xù)表2

5 小結(jié)

本文在復(fù)合二項(xiàng)對(duì)偶模型中討論了帶比例交易費(fèi)再注資且分紅貼現(xiàn)利率隨機(jī)變化的最優(yōu)分紅問題,運(yùn)用壓縮映射不動(dòng)點(diǎn)原理證明了該最優(yōu)分紅問題的最優(yōu)值函數(shù)是一個(gè)離散的HJB方程的唯一解,得到了最優(yōu)分紅策略和最優(yōu)值函數(shù)的優(yōu)化算法. 數(shù)值實(shí)例結(jié)果表明:當(dāng)交易費(fèi)比例控制在一定范圍內(nèi)時(shí)，相應(yīng)的最優(yōu)紅利值大于未注資的最優(yōu)紅利值,說明了文中最優(yōu)分紅策略的有效性. 在今后的工作中,可進(jìn)一步研究最優(yōu)分紅策略的Threshold性質(zhì),也可嘗試在紅利無限制的條件下討論最優(yōu)分紅問題.