微積分的創(chuàng)立與第二次數(shù)學(xué)危機(jī)

謝周艷 胡先富

【摘要】本文從數(shù)學(xué)發(fā)展史的角度，探索微積分產(chǎn)生的歷史背景到微積分的創(chuàng)立過程，及第二次世界危機(jī)產(chǎn)生和結(jié)束的過程。

【關(guān)鍵詞】微積分? 數(shù)學(xué)危機(jī)? 無窮小量

17世紀(jì)，函數(shù)概念被采用后，產(chǎn)生了微積分，是繼歐幾里得幾何之后，全部數(shù)學(xué)中的一個(gè)最大的創(chuàng)造;為17、18世紀(jì)的科學(xué)創(chuàng)新提供了銳利的工具，使人類的理性思維達(dá)到了一個(gè)新的高度。揭示微積分創(chuàng)立過程中蘊(yùn)含著的文化價(jià)值與人文精神，適時(shí)融入課程教學(xué)，有利于提高知識(shí)的趣味性，破除學(xué)生對(duì)微積分認(rèn)知的“神秘感”。從而增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的情感與態(tài)度，這也是踐行“三全育人”要求的高等數(shù)學(xué)課程思政的有效途徑。

一、促使微積分產(chǎn)生的歷史背景

微積分主要是為處理17世紀(jì)的科學(xué)問題而產(chǎn)生的。16至17世紀(jì)，機(jī)械與槍炮的使用、遠(yuǎn)洋航行的發(fā)展、光學(xué)儀器的研制、礦山的開發(fā)等，促進(jìn)了機(jī)械力學(xué)、流體力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)以及幾何光學(xué)等學(xué)科的蓬勃發(fā)展，這些學(xué)科的研究提出了以下四類問題急需數(shù)學(xué)來解決：

第一類問題：對(duì)于作變速運(yùn)動(dòng)的物體，已知物體移動(dòng)的距離與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，求物體在任意時(shí)刻的瞬時(shí)速度和瞬時(shí)加速度;反過來，已知物體的加速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，求速度和距離。這類問題是研究物體運(yùn)動(dòng)時(shí)直接出現(xiàn)的，17世紀(jì)所涉及到的速度和加速度每時(shí)每刻都在變化。比如，計(jì)算瞬時(shí)速度，就不能像計(jì)算平均速度那樣，因?yàn)樵诮o定的瞬時(shí)，物體移動(dòng)的距離和所用的時(shí)間都是“0”，而“”是無意義的。但是，物體在它運(yùn)動(dòng)的每一時(shí)刻必有速度，這也是無疑的。在已知速度公式求移動(dòng)的距離時(shí)，也遇到了同樣的困難。

第二類問題：確定物體運(yùn)動(dòng)的方向及光學(xué)中曲線的切線問題。

在運(yùn)動(dòng)的研究中，運(yùn)動(dòng)物體在它的軌跡上任一點(diǎn)處的運(yùn)動(dòng)方向，是軌跡的切線方向。例如，從炮筒里發(fā)射的炮彈的運(yùn)動(dòng)方向是水平速度Q和垂直速度R的合成速度的方向，即是PQ和PR構(gòu)成的平行四邊形的對(duì)角線方向，這條對(duì)角線即為炮彈運(yùn)動(dòng)的軌跡（曲線）上一點(diǎn)P處的切線（如圖1）。

光學(xué)是17世紀(jì)一門較重要的科學(xué)研究，透鏡的設(shè)計(jì)直接吸引了費(fèi)爾馬、笛卡爾、牛頓等科學(xué)家，要研究光線通過透鏡的通道，必須知道光線射入透鏡的角度以便應(yīng)用反射定律，重要的角是光線同曲線的法線間的夾角，法線是垂直于切線的，所以問題在于求出曲線的切線（如圖2）。這就使得求任意曲線的切線問題變得不可回避。

在當(dāng)時(shí)，“切線”本身的意義是沒有解決的。

第三類問題：求函數(shù)的最大值與最小值問題。

炮彈在炮筒里射出，它運(yùn)行的水平距離，即射程，信賴于炮筒對(duì)地面的傾斜角，即發(fā)射角，一個(gè)“實(shí)際”的問題是求能獲得最大射程的發(fā)射角。

研究行星的運(yùn)動(dòng)也涉及最大值和最小值的問題，例如求行星離開太陽(yáng)的最遠(yuǎn)和最近的距離。

第四類問題：求曲線的長(zhǎng)（例如，行星在已知時(shí)期中移動(dòng)的距離），曲線圍成的面積，曲面圍成的體積，分布不均勻的物體重心與質(zhì)量，一個(gè)體積相當(dāng)大的物體（如行星）作用于另一個(gè)物體上的引力等。

這些問題至少被17世紀(jì)幾十個(gè)數(shù)學(xué)家探索過，如法國(guó)的費(fèi)爾馬、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格，英國(guó)的巴羅、瓦里士，德國(guó)的開普勒，意大得的卡瓦列利等，他們都是建立微積分的先驅(qū)者。17世紀(jì)上半葉，許多數(shù)學(xué)家一系列前驅(qū)性的工作，已在不同方向向微積分的大門逼近。求切線、求變化率、求極值和最值以及面積、體積等基本問題，在當(dāng)時(shí)是被作為不同的類型來處理的，在方法上缺乏足夠的一般性。作為微積分主要特征的微分與積分的互逆關(guān)系，當(dāng)時(shí)也曾有少數(shù)人在特殊場(chǎng)合模糊地指出，但沒有作為一般規(guī)律提出來。17世紀(jì)中葉數(shù)學(xué)家們面臨的重要課題是如何將這些分散的方法綜合起來形成統(tǒng)一的理論。

二、微積分的創(chuàng)立

17世紀(jì)下半葉，英國(guó)的牛頓與德國(guó)的萊布尼茲在總結(jié)前人大量研究成果的基礎(chǔ)之上， 以敏銳的洞察力發(fā)現(xiàn)求切線問題、求瞬時(shí)速度問題、求最值問題有著共同之處，各種求積問題的處理（求弧長(zhǎng)、求面積、求體積）在方法上的相同性;同時(shí)認(rèn)識(shí)到了求積問題（積分學(xué)的中心問題）與求切線問題（微分學(xué)的中心問題）的互逆關(guān)系，同時(shí)將這種互逆關(guān)系明確地作為一般規(guī)律揭示出來，并將其作為建立微積分普遍算法的基礎(chǔ)。經(jīng)進(jìn)一步的歸納、抽象、概括，他們站在更高的高度將以往個(gè)別的貢獻(xiàn)和分散的努力綜合為統(tǒng)一的理論——?jiǎng)?chuàng)立了微積分。他們是在各自的國(guó)家是獨(dú)立地完成了這一任務(wù)的。

牛頓與萊布尼茲的最大功績(jī)是把兩個(gè)貌似毫不相關(guān)的問題：求切線問題和求積問題聯(lián)系在一起。他們的工作，概括起來主要有以下四點(diǎn)：

第一、把各種有關(guān)概念和方法的幾何形式、力學(xué)形式等，變成解析形式，為統(tǒng)一、抽象奠定基礎(chǔ)。

第二、用變化率（或微分）概念來統(tǒng)一一切與切線、速度有關(guān)的概念。

第三、統(tǒng)一求積問題。

第四、給出求變化率（或微分）與求積的互逆關(guān)系。

以上四項(xiàng)工作標(biāo)志著微積分作為一門統(tǒng)一的學(xué)科的誕生。

牛頓研究微積分側(cè)重于從運(yùn)動(dòng)學(xué)來考慮，萊布尼茲卻側(cè)重于幾何學(xué)來考慮;牛頓建立微積分以無窮小瞬（無窮小量）為基礎(chǔ)， 萊布尼茲則以微分（無窮小量）為基礎(chǔ)。因此，微積分的邏輯基礎(chǔ)是無窮小量，微積分在早期也稱為無窮小量分析。萊布尼茲在1684年發(fā)表了現(xiàn)在世界上認(rèn)為最早的微積分文獻(xiàn)，他所創(chuàng)設(shè)的微積分符號(hào)很多，如dx，dy，等，一直沿用至今。

下面是牛頓求函數(shù)變化率（導(dǎo)數(shù)）的方法：

牛頓在1671年寫成《流數(shù)法和無窮級(jí)數(shù)》一書，該書于1736年才出版，在該書中， 牛頓把連續(xù)變量叫做流量，記作x，y等，認(rèn)為流量是隨時(shí)間變化而變化的，把這些流量的變化率叫做流數(shù)，x和y的流數(shù)記作和。把一個(gè)無限小的時(shí)間間隔稱為瞬，記作o（無窮小量）。該書主要解決了以下兩個(gè)問題：

問題1：已知流量x，y之間的函數(shù)關(guān)系（即y=f（x）），求兩個(gè)流量x，y的流數(shù)的比：（實(shí)際上是求y對(duì)x的變化率）。

問題2：?jiǎn)栴}1的逆問題，已知一個(gè)含流數(shù)的方程，求流量之間的關(guān)系。

牛頓對(duì)問題1的解決方法如下：

假定兩個(gè)流量x，y之間的關(guān)系為y=xn，用“o”表示“無窮小的時(shí)間間隔（稱為瞬）”，用o和o分別表示x和y的無窮小增量（或稱為x和y的瞬），則有關(guān)系：y+o=（x+o）n，

由二項(xiàng)式展開得：

y+o=xn+nxn-1·o+x·（o）2+···

消去兩端相等的部分（y=xn）得：

o=nxn-1·o+x·（o）2+···

兩邊同除以“o”得：=nxn-1·+x·（）2o+···

略去所有含有“o”的項(xiàng)得： =nxn-1·，即=nxn-1

用現(xiàn)在的記號(hào)是=nxn-1

微積分的建立，極大的推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，過去很多初等數(shù)學(xué)束手無策的問題，運(yùn)用微積分，往往迎刃而解，顯示出微積分學(xué)的非凡威力。

三、第二次數(shù)學(xué)危機(jī)

17世紀(jì)的微積分沒有嚴(yán)密的邏輯基礎(chǔ)， 許多地方存在漏洞， 人們對(duì)微積分的邏輯基礎(chǔ)無窮小量的認(rèn)識(shí)是模糊不清的，無論是牛頓的無窮小瞬，還是萊布尼茲的微分，都是一種似是而非的、含糊不清的。

1734年，英國(guó)哲學(xué)家貝克萊以稅利的眼光，一針見血地將矛頭指向微積分的邏輯基礎(chǔ)——無窮小量，指出“牛頓在求流量y=xn的流數(shù)時(shí)，先給一個(gè)無窮小的時(shí)間間隔“o”，求出流量y的增量o，再兩邊同除以“o”，說明“o”非零;然后略去所有含有“o”項(xiàng)，即“o”為零，這豈不是自相矛盾;無窮小量“”既等于零，又不等于零，召之即來，揮之即去，這真是荒謬。”他說“微積分是建立在沙灘之上的，經(jīng)不起考驗(yàn)的，無窮小量“o”是逝去的靈魂?！倍ｎD用這種方法得到的結(jié)論經(jīng)力學(xué)和幾何學(xué)的應(yīng)用證明又是正確的。無窮小量“o”究竟是不是零？如果是零，又怎么能用它做除數(shù)，如果不是零，又怎么能把包含無窮小量的那些項(xiàng)去掉呢？無窮小量及其分析是否合理？這樣在推敲微積分的邏輯基礎(chǔ)時(shí)，數(shù)學(xué)界出現(xiàn)了混亂局面，為此而引起數(shù)學(xué)界甚至哲學(xué)界長(zhǎng)達(dá)一個(gè)半世紀(jì)的爭(zhēng)論，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)歷史上第二次危機(jī)。

為了解決微積分理論的基礎(chǔ)問題，許多數(shù)學(xué)家經(jīng)過了大量的努力，直到19世紀(jì)20年代，柯西于1821年建立了系統(tǒng)的極限理論，提出了“無窮小量是以零為極限的變量”解決了當(dāng)時(shí)模糊不清的無窮小量問題。后來維爾斯特拉斯進(jìn)一步把微積分建立在堅(jiān)實(shí)的極限理論基礎(chǔ)之上，從而才結(jié)束了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。微積分的創(chuàng)立使人類第一次真正實(shí)現(xiàn)了對(duì)運(yùn)動(dòng)與變化的定量分析和數(shù)學(xué)研究，給數(shù)學(xué)界帶來了革命性的變化，在各個(gè)科學(xué)領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用。

基金項(xiàng)目：重慶市2019年教學(xué)改革研究項(xiàng)目“高等數(shù)學(xué)課程思政的研究與實(shí)踐”（項(xiàng)目編號(hào)：193424）。

作者簡(jiǎn)介：謝周艷（1988-），女，漢族，湖南邵陽(yáng)人，重慶城市管理職業(yè)學(xué)院，研究方向：偏微分方程、數(shù)學(xué)教育;胡先富（1964-），男，漢族，重慶市人，重慶城市管理職業(yè)學(xué)院，研究方向：高等數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)教育。