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    Copula-MCP洪水概率預報方法研究與應用

    2020-04-15 06:06:04梁忠民胡義明李彬權
    中國農村水利水電 2020年1期
    關鍵詞:王家壩正態(tài)確定性

    沈 婕,梁忠民,胡義明,王 軍,李彬權

    (河海大學水文水資源學院,南京 210098)

    0 引 言

    水文模型都是對自然子流域的一種概化,無論結構是否復雜、參數(shù)是否準確,都只是對水文過程的近似,無法真實地還原自然的水文過程,因此實時洪水的預報中不可避免地存在不確定性,用于描述這種不確定性的洪水概率預報逐漸得到了重視和應用[1,2]。

    洪水概率預報途徑可以概括為兩類[3]:一是總誤差分析途徑,直接在確定性預報結果的基礎上,量化分析最終的預報不確定性,進而實現(xiàn)概率預報;二是不確定性要素耦合途徑,即分析預報過程中各環(huán)節(jié)的主要因子的不確定性,估計其概率分布,再將這些因子的概率分布耦合到洪水預報模型中,從而實現(xiàn)概率預報。從實時洪水預報角度,第一類的總誤差分析途徑計算相對簡單,更滿足時效性要求,因此在洪水作業(yè)預報中具有廣泛應用。當然,不管是哪類途徑,都是在確定性預報(定值預報)的基礎上實現(xiàn)概率預報,因此,如何提高原始定值預報結果的精度,是降低不確定性、提升概率預報可靠性或合理性的關鍵。

    在總誤差分析途徑框架下,由Krzysztofowicz等[1]提出的貝葉斯預報系統(tǒng)(BFS)是最典型的概率預報方法,其中水文不確定性處理器[2](HUP)在貝葉斯理論方法的基礎上,對預報變量進行了正態(tài)化變換與線性假設,推求預報量后驗分布函數(shù)。王善序[4]對貝葉斯概率水文預報理論做了簡單的介紹,認為其可以不需任何附加假定與要求地定量考慮預報的不確定性,同時也指出了其中的線性-正態(tài)假設在水文過程中未必適用。邢貞相等[5]采用BP網(wǎng)絡描述了水文過程的非線性特征,并應用AM-MCMC方法進行概率預報,在此過程中仍采用了正態(tài)性假設。Todini等[6]提出了模型條件處理器(MCP),采用截尾正態(tài)聯(lián)合分布揭示了不同流量量級時預報值與實測值的關系。梁忠民等提出了考慮誤差異分布[7](Heterogeneity of Error Distributions, EHDA)方法,分析了預報誤差的異分布性,進而實現(xiàn)洪水概率預報。

    上述這些方法中,均需對原始變量進行正態(tài)化變換,并/或對正態(tài)空間中的變量或似然函數(shù)進行線性假設。然而,正態(tài)化變換過程中可能會造成信息的丟失或偏差[8],變量或似然函數(shù)的線性假設也具有較強的主觀性。為避免正態(tài)化變換和線性假設,劉章君等[9]推導了基于Copula函數(shù)的貝葉斯轉移預報(BTF)方法的后驗密度函數(shù),提出了CBTF與CMHUP方法,取得了更好的概率預報效果。本文采用這種思路,將Copula函數(shù)與MCP方法結合,構建了Copula-MCP洪水概率預報模型,并以淮河王家壩斷面為例進行了應用研究。

    1 基于Copula-MCP的洪水概率預報模型

    1.1 Copula函數(shù)

    Copula函數(shù)[10,11]是將隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)與各自的邊緣分布函數(shù)相連接的連接函數(shù)。設X、Y為連續(xù)隨機變量,其邊緣分布函數(shù)分別為Fx(x)與Fy(y),聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y),若Fx(x)與Fy(y)連續(xù),則存在唯一確定的Copula函數(shù)Cθ(u,v)使得:

    F(x,y)=Cθ(u,v)

    (1)

    式中:θ為Copula函數(shù)待定參數(shù),u=Fx(x),v=Fy(y)。

    Copula函數(shù)將變量的相關性結構與邊緣分布分開處理,可以考慮變量間的非線性與非正態(tài)關系,沒有任何限制。

    本文采用Archimedean Copula函數(shù)族來構造實測流量與模擬流量的聯(lián)合分布函數(shù)。常見的Archimedean Copula函數(shù)有Gumbel-Hougaard Copula函數(shù)、Clayton Copula函數(shù)和Frank Copula函數(shù),其二維表達式如下:

    Gumbel-Hougaard Copula函數(shù):

    (2)

    Clayton Copula函數(shù):

    (3)

    Frank Copula函數(shù):

    (4)

    式中:θ為Copula函數(shù)待定參數(shù);u與v分別為單變量的邊緣分布函數(shù)。

    為了對Copula函數(shù)的擬合優(yōu)度進行檢驗,本文選用K-S檢驗法,其統(tǒng)計量D計算公式如下:

    (5)

    聯(lián)合分布的經驗累積分布與理論分布的擬合情況通過RMSE準則來評價,并根據(jù)最小RMSE值來優(yōu)選Copula函數(shù)。RMSE準則計算公式如下:

    (6)

    式中:n為樣本容量;Fc(xi)為樣本集的累積分布函數(shù);F(xi)為理論分布。

    1.2 模型條件處理器(MCP)

    (7)

    式中:n為歷史數(shù)據(jù)的數(shù)量;i為變量的排位順序。

    (8)

    (9)

    (10)

    預測不確定性一般定義為以模型預測值為條件的預報量的條件分布,在已知變量聯(lián)合分布和邊緣分布時,通過計算聯(lián)合分布與邊緣分布的比值,就可以推得預測不確定性,即預報量的條件概率分布:

    (11)

    由此可知,在正態(tài)空間中,預測不確定性相當于均值和方差如下的正態(tài)分布:

    (12)

    1.3 Copula-MCP

    (13)

    (14)

    條件概率分布函數(shù)對應的概率密度函數(shù)為:

    (15)

    2 應用實例

    如圖1所示。王家壩站是淮河上游的總控制站,其洪水由上游干流的息縣、左右岸控制站班臺和潢川、息-潢-班至王家壩區(qū)間共四部分組成。息潢班-王家壩區(qū)間集水面積為7 110 km2,干流長度為360 km。本文進行王家壩洪水預報時,先采用經驗降雨徑流模型API,對息潢班-王家壩區(qū)間洪水進行預報,再與經馬斯京根法演算至王家壩的息縣、潢川、班臺實測流量過程疊加,得到確定性的洪水預報結果。在此基礎上,采用Copula-MCP模型推求以確定性預報結果為條件的預報變量的概率分布,實現(xiàn)王家壩站的洪水概率預報。

    圖1 淮河息潢班~王家壩區(qū)間流域示意圖

    2.1 確定性預報

    2.1.1 區(qū)間洪水預報

    采用加權平均法計算王家壩、光山等15個雨量站的區(qū)間平均雨量,并采用流量起漲前30天雨量計算流域前期影響雨量Pa,徑流深R采用降雨徑流相關圖法進行計算,降雨徑流相關圖如圖2所示。

    圖2 淮河息潢班~王家壩區(qū)間降雨徑流相關圖

    以降雨中心位置為依據(jù),采用不同的單位線進行區(qū)間匯流計算。單位線參數(shù)如圖3所示。其中,a線適用于暴雨中心在淮北;b線適用于降雨均勻;c線適用于降雨中心在淮南。

    圖3 淮河息潢班~王家壩區(qū)間單位線圖

    2.1.2 河道洪水預報

    采用馬斯京根法,選用先演后合的方式對息縣、潢川、班臺(大洪河)上游來水進行河道洪水演算。相關參數(shù)見表1。

    表1 河道洪水演算參數(shù)表

    2.2 API模型的確定性預報結果

    對息潢班~王家壩區(qū)間1990-2010年間的25場洪水進行模擬,其中20場作為率定,5場作為驗證,計算時段Δt=6 h,精度統(tǒng)計見表2??梢钥闯?,確定性預報的結果良好,洪峰的合格率(相對誤差絕對值在20%以內)為68%,確定性系數(shù)的優(yōu)秀率(確定性系數(shù)大于0.85)為84%。

    表2 API模型精度統(tǒng)計表

    2.3 Copula-MCP方法應用

    2.3.1 邊緣分布的確定

    對實測及模型計算的洪水序列(或兩個隨機變量),一般可假設其邊際分布服從Log-Weibull分布[13]。本次采用線性矩法估計兩個變量邊際分布的統(tǒng)計參數(shù),為檢驗參數(shù)估計結果是否合理,采用K-S檢驗法分別對兩個隨機變量經驗累積分布與理論分布進行擬合優(yōu)度檢驗,邊際分布參數(shù)估計值與K-S檢驗統(tǒng)計量D值結果見表3。由表3可知,在5%的顯著性水平下,兩個變量的K-S檢驗統(tǒng)計量D均小于相應的臨界值(0.039 5),均通過擬合優(yōu)度檢驗。實測流量 與預報流量 樣本點據(jù)與其邊際分布擬合情況如圖4所示。由圖4可知,理論邊際分布與樣本點據(jù)擬合較好,則使用該分布作為邊際分布是合理的。

    表3 y和邊際分布參數(shù)估計值和K-S檢驗

    圖4 理論Weibull與樣本點據(jù)擬合圖

    2.3.2 聯(lián)合分布的建立

    (16)

    2.3.3 洪水概率預報結果及分析

    表4 聯(lián)合分布參數(shù)估計、檢驗及優(yōu)選結果

    采用Copula-MCP方法進行洪水概率預報,其結果見表5,其中提供了90%置信區(qū)間覆蓋率、洪水概率分布期望值過程的確定性系數(shù)(DC)、洪峰期望值相對誤差等結果;為對比分析,表中亦列出了API及MCP模型的結果。圖5為其中一場洪水(19980509)的API、MCP、Copula-MCP預報結果與實測流量的對比圖。由表5可知,Copula-MCP模型的洪峰相對誤差合格率為92%,高于MCP模型的84%與API模型的68%;Copula-MCP模型的平均確定性系數(shù)為0.93,高于MCP模型的0.92與確定性模型的0.91,Copula-MCP模型確定性系數(shù)的優(yōu)秀率為92%,亦高于MCP模型的88%與API模型的84%;從90%置信區(qū)間的覆蓋率來看,Copula-MCP模型也優(yōu)于MCP模型。

    表5 API、MCP與Copula-MCP三個模型結果對比表

    圖5 19980509場次洪水Copula-MCP概率預報結果

    3 結 論

    (1)與目前常用的洪水概率預報面向相較,采用Copula函數(shù)直接構建實測流量與預報流量的聯(lián)合分布函數(shù),不需要進行變量的正態(tài)化變換及線性假設,避免變量間相關信息的丟失和洪水過程非線性特征的改變,由此構建的洪水概率預報模型,理論上應更具優(yōu)勢。

    (2)洪水過程的不同發(fā)展階段或不同流量量級的洪水,其預報誤差規(guī)律可能不同,將描述這種異誤差分布的MCP模型與Copula函數(shù)結合,構建的Copula-MCP洪水概率預報模型具有更好的適用性。本文研究實例表明,Copula-MCP模型整體上優(yōu)于MCP模型,可進一步提高洪水預報精度、增加概率預報的可靠性。

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