利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立與能成立問題

彭學(xué)軍

【摘要】近年來，高考數(shù)學(xué)對解決不等式恒成立與能成立問題的要求越來越高，試題的難度也越來越大，往往作為壓軸題出現(xiàn)，考生在此題上花去了很多的時間，但是效果欠佳。筆者在本屆高三數(shù)學(xué)教學(xué)中對這個問題進行了一些粗淺的研究，總結(jié)了利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立與能成立問題的方法以及這兩類問題之間的區(qū)別與聯(lián)系，在這里與大家共享。

【關(guān)鍵字】導(dǎo)數(shù) 不等式 能成立 恒成立

【中圖分類號】G633.6

【文獻標(biāo)識碼】A

【文章編號】1992-7711（ 2020） 06-078-01

一、利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題

例1、設(shè)函數(shù)f（x）一axz-a-lnx，其中a∈R.

（1）討論f（x）的單調(diào)性;

（2）確定a的所有可能取值，使得f（x）>x-e1-x在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)恒成立（e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù)）.

解：（1） f（x）=2ax-l=（x>o）. 當(dāng)a≤0時，f（x）<（），f（x）在（0，+。。）內(nèi)單調(diào)遞減. 當(dāng)a>0時，由f'（x） -o，有x=2a/1

1

此時，當(dāng)x∈（o，2a）時，P（x）

當(dāng)x∈（2a，+∞）時，P（x）>o，f（x）單調(diào)遞增.

（2）令g（x）=1/x一ex-1，s（x）=ex-1-x

則s'（x）=ex-1-l而當(dāng)x>l時，s（x）>0，

所以s（x）在區(qū)間（1，+。。）內(nèi)單調(diào)遞增.

又由s（l） -O，有s（x）>0，從而當(dāng)x>l時，g（x）>0.

當(dāng)a≤o，x>l時，f（x）=a（x2-l）-ln x<0

故當(dāng)f（x）>g（x）在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)恒成立時，

必有a>0.

當(dāng)O1.

由（1）有f（2a）o，

所以此時f（x）>g（x）在區(qū)間（1，+ o）內(nèi)不恒成立， 當(dāng)a≥1/2時，令h（x）=f（x）一g（x）（x≥1）. 當(dāng)x>，時，

因此，h（x）在區(qū)間（1，+∞）單調(diào)遞增.

又因為h（l） -O，所以當(dāng)x>l時，

h（x）=f（x）一g（x）>0，即f（x）>g（x）恒成立.

綜上，a∈1/2，+ ∞）

總結(jié)：（1）恒成立問題一般與不等式有關(guān)，解決此類問題需要構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值，從而說明函數(shù)值恒大于或恒小于某一確定的值.

（2）在求參數(shù)范圍時首先要考慮參數(shù)能否分離出來。

二、利用導(dǎo)數(shù)解決不等式能成立問題

例2、已知函數(shù)f（x）=x-（a+l） Inx-a/x（a∈R），

（1）當(dāng)x∈[1，e]時，求f（x）的最小值;

（2）當(dāng)a

解：（1）f（x）的定義域為（0，+∞），

①若a≤1，當(dāng)x∈[1，e]時，f（x）≥0，

則f（x）在[1，e]上為增函數(shù)，f（x）mm=f（l） =1-a.

②若l

當(dāng)x∈[1，a]時，P（x）≤o，f（x）為減函數(shù);

當(dāng)x∈[a，e]時，f（x）≥0，f（x）為增函數(shù).

所以f（x）min=f（a）=a-（a+l）ln a-l.

③若a≥e，當(dāng)x∈[1，e]時，f（x）≤0，f（x）在[1，e]上為減函數(shù)，f（x）min=f（e）=e-（a+1）一a/e.

綜上，當(dāng)a≤1時，f（x）min= l-a;

當(dāng)1

當(dāng)a≥e時，f（x）min=e一（a+1）-a/e.

（2）由題意知：f（x）（x∈[e，e2]）的最小值小于g（x）（x∈[-2，0]）的最小值

由（1）知f（x）在[e，e2]上單調(diào)遞增，

f（x）min=f（e）=e一（a+1）一a/e.g（x）一（1一ez）x.

當(dāng)x∈[-2，0]時，g（x）≤O，g（x）為減函數(shù)，

g（x）min=g（0） -1，所以e一（a+1）一÷<1，

即a>—e2_2e，所以a的取值范圍為（e2-2e，1）.

總結(jié)

存在性問題和恒成立問題的區(qū)別與聯(lián)系。存在性問題和恒成立問題容易混淆，它們既有區(qū)別又有聯(lián)系：若g（x）≤m恒成立，則g（x）max≤m;若g（x）≥m恒成立，則g （x）min≥m;若g（x）≤m有解，則g（x）min≤m;若g（x）≥m有解，則g（x）m2x≥m.

通過對以上不等式恒成立與能成立問題的分析，不等式恒成立與能成立問題的常用解法有：

（1）分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為最值，不等式恒成立問題在變量與參數(shù)易于分離的情況下，采用分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，形如a> f（x）max或a

（2）直接轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，在參數(shù)難于分離的情況下，直接轉(zhuǎn)化為含參函數(shù)的最值問題，伴有對參數(shù)的分類討論。

其中函數(shù)的最值問題主要是利用導(dǎo)數(shù)加以解決。