一種基于WPF 方法的SEIR 傳染病動力學模型仿真研究

陳 恩，段德光，李 昊，陶學強，高樹田

（軍事科學院系統(tǒng)工程研究院衛(wèi)勤保障技術研究所，天津300161）

0 引言

近年來，突發(fā)傳染病的疫情防控受到國內外高度重視，烈性傳染病在防控過程中如果采取措施不當很容易造成大規(guī)模的暴發(fā)[1-3]。隨著全球化的發(fā)展，原來僅限于某一地區(qū)的疾病可能迅速傳播和蔓延，引起社會恐慌、經濟衰退等問題。突發(fā)性傳染病的防治研究已成為全球公共衛(wèi)生工作的重點和熱點[4]。

傳染病動力學是用數學方法描述傳染病的傳播過程，實現對感染人群數量及趨勢的預測，從而指導相關部門采取相應的措施來控制傳染病的傳播。傳染病動力學模型可以分為2 類：決定論模型和網絡動力學模型。目前決定論模型以微分方程為主，代表性模型有SIR（susceptible-infected-recovered）、SIS（susceptible-infected-susceptible）、SEIR（susceptible-exposed-infected-removed）等[5-7]。SEIR 模型在SIR 模型的基礎上增加了潛伏期環(huán)節(jié)E，是一種更適用于有潛伏期傳染病的數學模型。針對傳染病SEIR 模型的仿真，曾有很多專家進行深入研究[2]，但大部分研究重點是趨勢性仿真，將實現短期數據預測作為研究重點的還比較少。

為此，本文以SEIR 模型為基礎，結合WPF（Windows Presentation Fundation）編程，以新型冠狀病毒肺炎（以下簡稱“新冠肺炎”）在湖北省傳播過程為例，開展傳染病動力學模型的數字化、圖形化的仿真研究。SEIR 仿真模型可以根據已有疫情數據進行迭代修正參數，實現仿真預測短期數據和長期走勢，提升應對傳染病疫情的處理能力。

1 基于SEIR 的傳染病動力學模型建立

1.1 模型假設

根據新冠肺炎在湖北省實際傳播情況，結合Kink 的傳染病“四階段說”，將傳染病疫情大致分為征兆期、暴發(fā)期、高峰期、衰退期4 個階段[8]。SEIR 仿真模型針對湖北省新冠肺炎疫情4 個不同階段進行獨立分析，在各個階段建立有效的控制參數，根據疫情發(fā)展進程，采取切實可行的防控措施。為了建立科學可信的傳播擴散模型，作出如下假設：

（1）忽略傳染病發(fā)病期的城市人口自然出生率和自然死亡率，且傳染病的持續(xù)周期不會很長；

（2）自我隔離可以有效減少傳染病傳播概率；

（3）不考慮人口大量流動，假設在人口封閉的環(huán)境下傳播。

1.2 符號定義

本文中所用的符號定義如下：a1為1 名潛伏期人員與1 名易感人員接觸感染的概率；a2為1 名確診人員與1 名易感人員接觸感染的概率；b 為潛伏期人員單位時間內恢復為易感人群的概率；c 為潛伏期人群單位時間內確診的概率；d 為確診人群單位時間內康復的概率；f 為確診人群單位時間內死亡的概率；f1為1 名潛伏期人員單位時間內接觸人數；f2為1 名確診人員單位時間內接觸人數；N 為總人數，包括易感人群、潛伏期人群、確診人群、康復人群和死亡人群。

1.3 模型建立

社會人群可以分為以下5 類：

（1）S類：稱為易感人群，該類成員沒有染上傳染病，但缺乏免疫能力，可以被染上傳染?。?/p>

（2）E類：稱為潛伏期人群，該類成員已經染上傳染病，而且可以傳染給S 類成員；

（3）I類：稱為確診人群，該類成員已經染上傳染病，而且可以傳染給S 類成員；

（4）R類：稱為康復人群，失去傳染能力；

（5）D類：稱為死亡人群。

S（t）、E（t）、（It）、R（t）、D（t）分別表示t 時刻上述5 類人群數量。

變量S（t）、E（t）、I（t）、R（t）、D（t）視為連續(xù)變量，并可進一步連續(xù)可微。假設人群中S（t）、E（t）、I（t）、R（t）、D（t）成員均勻分布，傳播方式為接觸和飛沫傳播。單位時間內1 名確診者與他人的接觸感染的概率為a2，接觸人數為f2，則1 名確診者在單位時間內與S 類成員接觸傳播人數為f2×a2×S（t）/N，同理，1 名潛伏期人員在單位時間內與S 類成員接觸傳播人數為f1×a1×S（t）/N。人群轉換關系如圖1 所示。

通過以上分析可以得出SEIR 的數學模型：

該模型中參數a1、a2、f1、f2和d 在疫情發(fā)展的各個階段受實際因素影響會有比較明顯的變化，現分析如下：

圖1 SEIR 模型框圖

（1）參數a1、a2表示單位時間內1 名傳染者與他人的接觸感染概率。該參數與全社會的警覺程度和政府、公眾采取的各種措施有關，例如：佩戴口罩、減少停留在公共場所的時間、噴灑消毒藥劑、提高隔離強度等都能有效地降低接觸感染概率[9-10]。

（3）參數d 為確診人群單位時間內康復的概率，疫情傳播初期沒有特效藥與針對性的治療方法，康復率比較低；隨著疫情階段的發(fā)展，相關藥物研制推出，康復概率大幅上升[11]。

2 基于WPF 方法的仿真實現

2.1 疫情數據存儲與可視化

2.1.1 數據存儲

本模型使用MySQL 8.0.14 數據庫完成存儲工作。MySQL 數據庫存儲了全國各省市疫情數據，存儲表字段見表1。

表1 新型冠狀病毒感染數據表字段

讀取數據庫相關數據的代碼如下：

2.1.2 數據可視化

根據2020年1月27 日至2月28 日國家衛(wèi)生健康委員會公布的湖北省新冠肺炎感染人數，由WPF 中chart 圖表控件分別展示現有感染人數、治愈人數、死亡人數、日死亡率和日治愈率趨勢曲線圖（如圖2～4 所示）。

圖2 湖北省新冠肺炎感染人數

從圖2 中可以得出，2月18 日現存確診人數為50 633 人，達到峰值，在此之后現存確診人數開始下降，由于潛伏期人群的存在，可以估算2月16 日f1、f2達到最低值0，由此確定2月16 日以后為衰退期。根據疫情暴發(fā)規(guī)律的4 個時期，可以把1月27 日之前定為征兆期，1月28 日到2月6 日定為暴發(fā)期，2月7 日到2月15 日定為高峰期。

漁業(yè)養(yǎng)殖。推廣稻田養(yǎng)魚技術，科學規(guī)劃，開挖魚溝、魚凼，放養(yǎng)魚苗，主要包括鯉魚、鯽魚、輔以少量白鰱，開挖面積達到田塊總面積的10%左右。

圖3 湖北省新冠肺炎日死亡率

圖4 湖北省新冠肺炎日治愈率

根據劃分的4 個階段，可以分階段擬合計算日死亡率（fn）和日治愈率（dn），計算公式：fn=（Dn-Dn-1）/In，dn=（Rn-Rn-1）/In。由圖3、4 可以看出，隨著疫情發(fā)展日死亡率不斷降低，日治愈率不斷上升。

2.2 仿真模型算法實現

由SEIR 微分方程可以推導出如下關系：

SEIR 微分方程是由WPF 編程實現的，程序中S、E、I、R、D 的數值與前一天的數值是遞推關系，可以通過多次調用private void Button_Click（object sender，RoutedEventArgs e）函數來實現計算，每次計算結果都通過圖表chartAttMed1 顯示出來。WPF 編程實現如下：

2.3 仿真參數分析

（1）征兆期。第一階段是征兆期，主要發(fā)生在傳染病初期，感染者臨床癥狀表現不明顯，在這個階段病毒已經傳播開了，但是并不能引起公眾和政府的注意。由于攜帶病毒的傳染源沒有得到控制，所以這個時候感染率比較高、傳播周期較長，但整個社會的發(fā)病率還比較低。潛伏期人群有2～14 d 的潛伏期，取平均值在8 d 后才會顯現出來，c=1/8。征兆期死亡人數和治愈人數較少，因此忽略死亡人數和治愈人數，模型簡化為

1月27 日湖北省新增新冠肺炎病例1 291 例，由此得出

根據鐘南山院士對疫情預測數據，取a1=0.052 49，a2=0.052 49（95%置信區(qū)間0.050 68～0.054 29）[12]。

（2）暴發(fā)期。隨著感染者不斷增加，公眾恐慌情緒增加，政府雖然采取多種防控措施，但對病毒傳播的特點不清楚，沒有收到預期效果，疫情進入暴發(fā)期。在這個時期，傳播源的平均傳播期依然較長，整個社會的潛伏期人員和確診人員不斷增加。暴發(fā)期內的潛伏期人員傳播率（f1×a1）和確診人員傳播率（f2×a2）還維持一個高水平，確診人員得到一些醫(yī)療救治，死亡率fn平穩(wěn)線性降低，治愈率dn平穩(wěn)線性上升；b 為潛伏期人群自我恢復的概率，為固定值。

第n 天參數值為

根據實際疫情數據可以大致估算出各參數值為：fn=（1.139 3-0.078 4×n）/100，dn=（0.747 3+0.015 9×n）/100，c=1/8，b=0.057，N=50 000 000，a1=0.052 49，a2=0.052 49，f1=4，f2=2。

（3）高峰期。當高強度的措施實施后，病毒擴散速度已經減慢，發(fā)病人數保持穩(wěn)定，處在一個高平臺防疫階段。在這個時期，由于采取了有效隔離措施，降低了接觸感染的概率，但由于病患基數較大，社會發(fā)病率依然很高。高峰期由于沒有有效的治療措施，所以死亡率f 維持在一個高水平，但輕度患者能及時恢復，治愈率d 因此有所提升。

同理取fn=（0.629 3-0.018 7×n）/100，dn=（0.815 7+0.055 7×n）/100，b=0.03，N=50 000 000，a1=0.052 49，a2=0.052 49。

2月12 日湖北省的病例診斷分類中增加了“臨床診斷”，以便患者能及早接受規(guī)范治療，對新就診患者按照新的診斷分類進行診斷，進一步提高了救治成功率。因此2月12 日c 值明顯提高，大幅減少了潛伏期人群數量，這里假設c=0.35；2月12 日以后假設所有的確診人員都被收治，不再具有傳染性，取f2=0。

2月7 日到2月11 日各參數值為：f1=3，f2=1，c=1/8。

2月12 日各參數值為：f1=3，f2=0，c=0.35。

2月13 日到2月15 日各參數值為：f1=3，f2=0，c=1/8。

（4）衰退期。在高平臺現象持續(xù)一段時間以后，控制措施的作用開始顯現，患病人數開始下降，進入衰退期。在這個時期，平均感染率最低，確診人數增長出現拐點。衰退期各參數值為：fn=（0.532 2-0.011 3×n）/100，dn=（-7.835+0.453 7×n）/100，c=1/8，b=0.057，N=50 000 000，a1=0.052 49，a2=0.052 49，f1=0，f2=0。

3 仿真結果

將4 個階段的參數輸入仿真模型得到的仿真結果如圖5 所示。由圖5 可以看出，此仿真模型是參照現有疫情數據將疫情劃分為不同階段，分別建模計算參數。4 個階段主要根據潛伏期人群增長率拐點劃分，可以看出防護措施對潛伏期人群作用明顯，但滯后作用于確診人群。征兆期內潛伏期人群數量較少，增長率較高；隨著防控的加強，潛伏期人群增長率降低，但是由于基數較大，潛伏期人群數量明顯增加，進入暴發(fā)期；高峰期潛伏期人群增長率接近為0，數量維持在高位；衰退期潛伏期人群呈現負增長，數量急劇下降。由于潛伏期人群潛伏期為2～14 d，確診人群數量變化滯后于潛伏期人群，影響潛伏期人群增長率的主要參數為f1、f2；疫情進入衰退期后f1=0、f2=0，確診人數I 主要受康復的概率d 影響，提高康復率有助于縮短疫情周期。

根據仿真模型相關參數，可以推算出2月29 日到3月4 日現有確診人數、死亡人數、治愈人數的數量，如圖6 所示。從總體上看確診人數依次遞減，累計死亡和累計治愈人數依次遞增，符合目前疫情真實趨勢。仿真數據與真實數據對比情況見表2～4。

仿真模型通過存入數據庫的疫情數據信息計算出最新的參數信息，再由WPF 編程實現迭代計算，通過WPF 中chart 控件呈現出預測的短期數據和長期走勢圖。從表2～4 中可以看出，現有確診人數誤差率在3%以內，平均誤差為-1.04%；治愈人數誤差率在3%以內，平均誤差為-0.8%；死亡人數誤差率在3%以內，平均誤差為0.88%。綜上，本仿真模型對未來5 d 的預測數據與真實數據吻合度較高，整體誤差率在3%以內。

圖5 湖北省新冠肺炎感染仿真圖

圖6 湖北省新冠肺炎感染人數預測

表2 現有確診人數仿真數據與真實數據對比

表3 治愈人數仿真數據與真實數據對比

4 結論

表4 死亡人數仿真數據與真實數據對比

本文通過對傳染病傳播過程的分析，結合SEIR模型，通過WPF 編程仿真實現了對傳染病傳播趨勢的預測。SEIR 模型在SIR 基礎上引入了潛伏期人群，并考慮到潛伏期人群的潛伏期和傳染性，根據潛伏期人群數量增長率劃分了4 個階段，然后分階段編程計算參數信息，最終實現了新冠肺炎傳播過程模擬仿真。通過對仿真結果定性、定量的分析，揭示了新冠肺炎傳播的規(guī)律、變化趨勢。初步結果表明：SEIR 模型仿真短期預測確診人數、治愈人數和死亡人數的誤差率在3%以內，并能根據現有參數信息仿真出未來長期走勢圖；疫情暴發(fā)征兆期、暴發(fā)期、高峰期確診人數主要受到潛伏期人群數量影響，衰退期周期主要受到治愈人群康復率影響。該仿真模型可以為突發(fā)公共衛(wèi)生事件防護工作中疫情分析、疫情研判、應急預案提供輔助決策支持。但該仿真模型并未對a1、a2、b、f1、f2進行動態(tài)分析，只是采用階段性均值處理，對于疫情傳播的征兆期、暴發(fā)期以及未來趨勢預測的影響有待進一步研究。