用圖象法巧解復合函數的零點問題

鄭金

摘?要：本文歸納了復合函數的分解方法，并對有關復合函數零點問題利用內層函數圖象與外層函數圖象相結合的方法進行了巧妙解答.

關鍵詞：復合函數;零點;圖象;分解

對于雙層復合函數的零點問題，其難度要比單一函數的零點問題大得多，但只要理解和掌握解答這類問題的通法和技巧，就能化難為易.解題的一般思路是：首先把復合函數分解為單一函數，然后求出外層函數y=g（t）的零點，再求出內層函數t=f（x）的零點，即為復合函數y=g[f（x）]的零點.有時需要求出零點，有時不必求出零點，而是判斷零點的個數;有時題中給出零點的個數，要求參數的取值范圍.對于復合函數零點問題，可借助y-t圖象和t-x圖象，利用數形結合的方法進行解答，比較直觀簡便.

例1?已知函數f（x）=2x+1，x≤0，|lnx|，x0，則方程f[f（x）]-12=0的根的個數為.

解法1?（常規(guī)解法）令t=f（x），則f（t）-12=0.

先求外層函數y=g（t）=f（t）-12的零點，即解方程g（t）=f（t）-12=0.

由2t+1-12=0可得t1=-14;

由lnt-12=0可得t2=e-12或t3=e12.

再求內層函數t=f（x）的零點，即解方程f（x）=-14，f（x）=e-12和f（x）=e12.

由f（x）=-14可知，2x+1=-14，可得x=-58，只有1個根;

由f（x）=e-12可知，2x+1=e-12或lnx=e-12，可得3個根;

由f（x）=e12可知，2x+1=e12或lnx=e12，其中2x+1=e12無解，由lnx=e12可得2個根.

所以方程f[f（x）]-12=0的根的個數為6.

解法2?（數形結合法）令t=f（x），由f（t）-12=0得f（t）=12.

由于y=f（x）與y=f（t）的圖象形狀是相同的，因此可在同一坐標系中分別作出y=f（t）的圖象和直線y=12，如圖1所示，可知有3個交點，即方程f（t）-12=0有3個根.

由圖可見，交點的橫坐標有1個為負值，設為t1，有2個為正值，其中一個小于1，設為t2，另一個大于1，設為t3.

再作出函數t=f（x）的圖象和直線t=t1，t=t2，t=t3，如圖2所示.

由圖可知，共有6個交點，表明方程f[f（x）]-12=0有6個根.

評注?求f[f（x）]-12=0根的個數，實際是求復合函數y=f[f（x）]-12零點的個數，先解方程f（t）-12=0，求出外層函數y=f（t）-12的零點，再解方程f（x）=t，求出內層函數t=f（x）的零點.但對于該題不必求出各根的具體數值，只需利用圖象法判斷橫坐標取值的正負及范圍，求出交點的位置及個數即可.在利用圖象法求外層函數y=g（t）=f（t）-12的零點時，不是作y=g（t）的圖象求零點，而是作y=f（t）的圖象與直線y=12求交點，這樣比較簡便.

拓展?對于例題1而言，若方程f[f（x）]=a有5個零點，則a的取值范圍是.

解析?令t=f（x），則f（t）=a，由圖2可知，t取不同值時，方程t=f（x）根的個數為1，2或3.

由于方程f[f（x）]=a有5個零點，則方程t=f（x）根的個數只能為2或3，可知t應有兩個值，而且都大于零.

由圖1可知，為了使t的兩個值都大于零，y=f（t）=a的值應該大于1，即a>1.

例2?定義在R上的函數f（x）=1x-2，x≠2，1，x=2，若關于x的函數h（x）=f2（x）+af（x）+12有5個不同的零點x1，x2，x3，x4，x5，則x21+x22+x23+x24+x25等于（?）.

A.15B.20C.30D.35

解析?令t=f（x），則y=g（t）=t2+at+12.作出t=f（x）的圖象，如圖3所示.

只有當t=1時，該水平直線才與t=f（x）的圖象有3個交點，此外，還需有一條水平直線t=b（b≠1且b>0）與t=f（x）的圖象有2個交點.

把y=0，t=1代入y=g（t）中，可得a=-32.

由方程g（t）=0，即t2-32t+12=0，解得t=1或t=12.

當t=1時，由t=f（x）解得x1=1，x2=2，x3=3;

當t=12時，由t=f（x）解得x4=0，x5=4.

可知x21+x22+x23+x24+x25=30.故選C.

評注?解題的關鍵是利用反比例函數以及圖象平移知識作出函數t=f（x）的圖象，該題不需作出二次函數y=t2+at+12的圖象，但需求出外層函數的兩個零點以及內層函數的5個零點.

拓展?對于例題2而言，若關于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=3有3個不同的實數解x1，x2，x3，且x1

A. x21+x22+x23=14B. a+b=2

C.a·b=-8D. x1+x3>2x2

解析?令t=f（x），則y=t2+at+b-3.

作出t=f（x）的圖象如圖3所示，只有當t=1時，該水平直線才與t=f（x）的圖象有3個交點，由于x1

把y=0，t=1代入y=g（t）可得a+b=2.

由于t取唯一值t=1，則y=t2+at+b-3的圖象與橫軸相切，可知對稱軸為1，即-a2=1，則a=-2，b=4.因此a·b=-8.故選項A，B，C正確，選項D錯誤.故選D.

例3?已知函數f（x）=x+1x，x>0，x3+3，x≤0，則方程f（2x2+x）=a（a>2）的根的個數不可能為（?）.

A. 3B. 4C. 5D. 6

解析?令t=2x2+x，則f（t）=a.

由于y=f（t）與y=f（x）的圖象形狀是相同的，可分別在兩個坐標系中作出函數y=f（t）的圖象與函數t=2x2+x的圖象，如圖4，5所示.

下面討論f（t）=a的根的個數.

當y=a>3時，水平直線t=a與y=f（t）的圖象有2個交點，對應的橫坐標都為正值，即f（t）=a有2個正根t1，t2.

兩條水平直線t=t1，t=t2分別與拋物線有2個交點，共有4個交點，即f（2x2+x）=a有4個根;

當y=a=3時，水平直線t=a與y=f（t）的圖象有3個交點，對應的橫坐標一個為零，另外兩個都為正值，即f（t）=a有3個根t0，t1，t2，可知三條水平直線t=t0，t=t1，t=t2分別與拋物線有2個交點，共有6個交點，即f（2x2+x）=a有6個根;

當2

假設t1<0，t2，t3都大于零，若t1>-0.125，則f（t）=a的3個根對應的水平直線分別與拋物線有2個交點，共有6個交點，即f（2x2+x）=a有6個根;

若t1=-0.125，則f（t）=a的3個根對應的水平直線與拋物線共有5個交點，即f（2x2+x）=a有5個根;

若t1<-0.125，則f（y）=a的3個根對應的水平直線與拋物線共有4個交點，即f（2x2+x）=a有4個根.

綜上可知，故選A.

評注?在利用圖象法求外層函數y=g（t）=f（t）-a的零點時，不是作y=g（t）的圖象求零點，而是作y=f（t）的圖象與直線y=a求交點，這樣比較簡便.在畫函數y=f（t）的圖象時，由于是分段函數，則需分別畫出不同區(qū)間內的三次函數的圖象和對勾函數的圖象，因此需掌握這兩個函數的單調性，以便標出函數的極值點，借此來討論參數a和t的取值范圍.

例4?已知f（x）=x2-2x-1，若函數g（x）=f（|ax-1|）+k|ax-1|+4k（a>1）有3個零點，則實數k的取值范圍是.

解析?令t=|ax-1|，t≥0，則有y=h（t）=t2+（k-2）t+4k-1.

作出函數t=|ax-1|的圖象，如圖6所示.由于函數y=g（x）有3個零點，即有3個x使得g（x）=0成立，則方程y=h（t）=0應有兩個不同的實數解t1和t2，即在圖6中對應的兩條水平直線與函數t=|ax-1|的圖象有3個交點，下面對t取不同值的情況進行討論.

若t1=0，則由y=h（t）=t2+（k-2）t+4k-1=0可得k=14，此時y=h（t）=t2-74t，可得t2=74>1，那么，t1和t2對應的兩條水平直線與曲線只有兩個交點，不符合題意.

若t1=1，則由y=h（t）=t2+（k-2）t+4k-1=0可得k=25，此時y=h（t）=t2-85t+35，可得t2=35，那么，t1和t2對應的兩條水平直線與曲線共有3個交點，符合題意.

若t1>1且0

由于函數y=h（t）=t2+（k-2）t+4k-1的圖象是開口向上的拋物線，可知h（0）>0且h（1）<0，解得14

綜上可知，實數k的取值范圍是14

評注?對不同的t值進行討論時，先確定一個特殊值，求出k的值以及t的另一個值，并判斷是否符合題意;然后確定符合題意的兩個t值，由特殊值法求出k的取值范圍;最后求并集，得到結果.

例5?討論函數y=x2-6x+1x2-6x+m在區(qū)間（0，+

）上零點的個數.

解析?原函數為y=（x+1x）2-6（x+1x）+m-2.

設t=g（x）=x+1x，則y=f（t）=t2-6t+m-2.

對于復合函數y=f[g（x）]的零點，可以分層進行研究.內層函數t=g（x）=x+1x是對勾函數，當x=1時，t取最小值為2，在區(qū)間（0，+

）上的圖象如圖7所示.

外層函數y=t2-6t+m-2的圖象是開口向上的拋物線，對稱軸為t=3.由Δ=36-4（m-2）≥0可得m≤11.

當m取不同數值時，相當于拋物線沿對稱軸縱向移動.當m>11時，拋物線位于橫軸上方，t不存在，則函數y=f[g（x）]沒有零點.

當m=11時，拋物線頂點與橫軸相切，t取唯一值t=3，直線t=3與t=g（x）的圖象有2個交點，則復合函數y=f[g（x）]有2個零點.

方程t2-6t+m-2=0的一個較小的根為t1=6-Δ2=3-11-m.

當3-11-m=2時，可得m=10.拋物線與橫軸相交于兩點，即t取兩個值t1=2，t2=4，可知復合函數y=f[g（x）]有3個零點.

當10

當0<3-11-m<2時，即當2

評注?解題的關鍵是把復雜的函數關系式進行變形，然后分解為兩個比較簡單的函數.對于外層函數，需根據判別式確定零點的有無以及個數，在判斷t1，t2兩個零點的取值范圍時，需先確定t1=2和t2=4，然后通過沿對稱軸t=3上下移動拋物線，即可確定t1，t2的取值范圍.之所以求出外層函數較小的根進行討論，是因為內層函數存在最小值.

例6?已知f（x）=x2e2x+mxex+1（x∈R）有4個零點，則m的取值范圍是.

解析?設t=g（x）=xex（t≥0），則有y=t2+mt+1.

對于函數y=g（x），由于g（0）=0，則圖象經過坐標原點.當x>0時，g（x）>0;當x<0時，g（x）<0.當x→+

時， g（x）→+

;當x→-

時，g（x）→0.

由于g′（x）=（x+1）ex，可知當x=-1時，g（x）=xex存在最小值-1e，由此畫出y=g（x）的圖象如圖8所示，由對稱性可知t=g（x）=xex的圖象如圖9所示.

外層函數y=t2+mt+1的圖象是開口向上的拋物線，需方程t2+mt+1=0有兩個不同的根，而且01e，才能與函數t=g（x）=xex的圖象有4個交點.

由于0

，-e-1e）.

評注?解題的關鍵是把復合函數分解為兩個單一函數，難點是畫出內層函數t=g（x）=xex的大致圖象，而且需利用導數知識確定函數的極值點.

總之，在解答有關復合函數零點個數問題時，要把復合函數分解為兩個單一函數，即內層函數與外層函數，并且大致畫出兩個函數的圖象，然后通過外層函數零點對應的直線與內層函數圖象交點的個數來判斷復合函數零點的個數.在分解函數和畫圖象時，要注意內層函數與外層函數的符號不能混同，或者說，要注意內層函數圖象與外層函數圖象的橫縱坐標的符號具有一定的對應性，一般來說，內層函數圖象的縱坐標符號用t表示，橫坐標符號用x表示，而外層函數圖象的縱坐標用y表示，橫坐標用t表示，即內層函數圖象的縱坐標與外層函數圖象的橫坐標用有別于x，y的同一個字母來表示，從而將內外層函數聯系起來.

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（收稿日期：2019-12-09）