關(guān)于“博弈”模型應(yīng)用的數(shù)學(xué)教學(xué)思考

李妙寧

【摘要】在經(jīng)濟(jì)社會(huì)中各種問(wèn)題的研究都經(jīng)常用到博弈模型，但教師卻往往忽略跟學(xué)生打交道其實(shí)也經(jīng)常存在博弈。要知道，學(xué)生也是人，他們也會(huì)思考，也有自己的主張和想法，要令他們聽(tīng)你的話跟你合作，要是沒(méi)有好的策略作為指導(dǎo)，真的很難。小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)，在一定的“背景”下，在一定“規(guī)則”的約束下，有老師與學(xué)生這兩種似對(duì)立又關(guān)聯(lián)的角色的參與，他們有意或無(wú)意地進(jìn)行自己的教或?qū)W的行為，并依據(jù)課堂內(nèi)外的種種教與學(xué)的相關(guān)影響因素，不約而同選擇各自的最優(yōu)策略。如此看來(lái)，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)符合博弈模型的前提條件，是一場(chǎng)標(biāo)準(zhǔn)的博弈，而且還是一場(chǎng)能動(dòng)的、發(fā)展著的博弈?！爸秦i博弈”“金牌銷(xiāo)售者”“囚徒的困境”是最優(yōu)決策問(wèn)題的經(jīng)典例子，如何結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)與這些“博弈”模型，從而提高教學(xué)效果，這是需要大家學(xué)習(xí)與思考的。

【關(guān)鍵詞】博弈論；智豬博弈；數(shù)學(xué)教學(xué)；銷(xiāo)售者；囚徒的困境

博弈論常用在經(jīng)濟(jì)社會(huì)中的各種問(wèn)題研究，其實(shí)在我們?nèi)粘Ｉ钪械教幋嬖诓┺?，在商?chǎng)上戰(zhàn)勝對(duì)手需要博弈，在家里要讓妻子（或者丈夫）同意你的決策需要博弈，即使是朋友間也無(wú)時(shí)無(wú)刻不存在博弈，我們跟學(xué)生打交道其實(shí)也經(jīng)常存在博弈。不過(guò)這里所說(shuō)的博弈并非一般人們理解為的游戲或?qū)贡荣?。而是處事的策略。人們總認(rèn)為教學(xué)只是師生間的交流，并不存在功利得失，所以不存在博弈中的較量，這是人們對(duì)博弈理解的一個(gè)誤區(qū)。博弈論（Game Theory）是數(shù)學(xué)，更確切地說(shuō)是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)分支，是使用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)模型研究沖突對(duì)抗條件下最優(yōu)決策問(wèn)題的理論。簡(jiǎn)單地說(shuō)，博弈論是研究決策主體在給定信息結(jié)構(gòu)下如何決策以最大化自己的效用，以及不同決策主體之間決策的均衡。

小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)，在一定的“背景”下，在一定“規(guī)則”的約束下，有老師與學(xué)生這兩種似對(duì)立又關(guān)聯(lián)的角色的參與，他們有意或無(wú)意地進(jìn)行自己的教或?qū)W的行為，并依據(jù)課堂內(nèi)外的種種教與學(xué)的相關(guān)影響因素，不約而同選擇各自的最優(yōu)策略。無(wú)論是教與學(xué)都是在謀求各自利益的最大化，其實(shí)就是在探求一種教學(xué)結(jié)構(gòu)和教學(xué)空間上的均衡和諧。這樣看來(lái)，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)符合博弈的前提條件，是博弈，而且還是一場(chǎng)能動(dòng)的，發(fā)展著的博弈。小學(xué)教師能在小學(xué)處理好教與學(xué)的關(guān)系，則對(duì)剛剛進(jìn)入對(duì)立局的小學(xué)生來(lái)說(shuō)，是人生一大幸，現(xiàn)就數(shù)學(xué)教學(xué)中的“博弈”淺探一番。

一、善用“智豬博弈”中的新規(guī)則

“智豬博弈”（Pigs′payoffs）是一個(gè)著名博弈類(lèi)的例子。意思是說(shuō)，豬圈里有兩頭豬，大豬和小豬。在豬圈的一邊裝有踏板，遠(yuǎn)離踏板的另一邊裝有投食口，踩一下踏板，投食口就會(huì)落下少量的食物。此時(shí)就會(huì)出現(xiàn)兩種情況，當(dāng)小豬踩動(dòng)踏板時(shí)，大豬會(huì)在小豬跑到食槽之前吃光所有的食物；當(dāng)大豬踩動(dòng)了踏板，就可以在小豬吃完落下的食物之前跑到食槽，爭(zhēng)吃到另一半殘羹。那么，兩只豬會(huì)選擇什么策略？結(jié)果是，大豬為了自己不餓肚子只能勞碌奔跑，而小豬一定會(huì)偷懶，選擇等在食槽邊。對(duì)小豬而言，踩動(dòng)踏板一定沒(méi)得吃，所以，它絕對(duì)不會(huì)踩動(dòng)踏板，只會(huì)選擇“等吃”策略。反觀大豬，已明知小豬絕對(duì)不會(huì)去踩動(dòng)踏板，自己去踩總比不踩強(qiáng)，所以只好親力親為了。

數(shù)學(xué)課堂上也會(huì)出現(xiàn)這樣的場(chǎng)景。一種場(chǎng)景是學(xué)習(xí)不是很好的學(xué)生做“小豬”，學(xué)習(xí)好的學(xué)生做“大豬”。在課堂合作學(xué)習(xí)上“小豬”經(jīng)常是不練習(xí)不發(fā)言，把別人的答案意見(jiàn)當(dāng)自己的，“大豬”眼看著自己的成果被“小豬”利用，但為了小組的成績(jī)，為了不被老師批評(píng)，還是要不停努力完成任務(wù)。另一種場(chǎng)景是老師做“大豬”,課堂上不停講，不停灌，就為了學(xué)生能多考一分，而大部分學(xué)生只愿做“小豬”，只要稍微專(zhuān)心聽(tīng)課成績(jī)就能合格，不用刻苦學(xué)習(xí)就能勉強(qiáng)達(dá)標(biāo)，不用做“大豬”疲于奔命。

故事中的游戲規(guī)則導(dǎo)致了“小豬躺著大豬跑”的現(xiàn)象，如果改變一下核心指標(biāo)：每次落下的食物數(shù)量和踏板與投食口之間的距離，豬圈里還會(huì)出現(xiàn)同樣的“小豬躺著大豬跑”的景象嗎？

我們可以假設(shè)以下幾種新的規(guī)則，以便先嘗試解決第一種場(chǎng)景的問(wèn)題。

新規(guī)則一：增量方案。增大投食量，以保證不管是小豬還是大豬去踩踏板，大家都能吃上食物。如此一來(lái)雖解決了“小豬躺著”的問(wèn)題，但卻造成競(jìng)爭(zhēng)意識(shí)不強(qiáng)，大家都不愿意多踩踏板，最后只會(huì)是“兩個(gè)和尚沒(méi)水喝”。有些老師的課堂上倡導(dǎo)“欣賞教育”，但是當(dāng)課堂上學(xué)生得到的表?yè)P(yáng)和好的評(píng)價(jià)大于他們的付出，甚至不努力也有好的評(píng)價(jià)，此時(shí)就會(huì)導(dǎo)致完全沒(méi)有競(jìng)爭(zhēng)。有些老師在課堂上倡導(dǎo)“嚴(yán)師出高徒”，一昧地批評(píng)、訓(xùn)導(dǎo)學(xué)生，大大降低了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，學(xué)生的競(jìng)爭(zhēng)意識(shí)自然不高。以上兩種情況都是增量過(guò)程中，量的多少問(wèn)題，過(guò)多的好的或不好的評(píng)價(jià)都很難成為強(qiáng)化學(xué)生所學(xué)知識(shí)的手段，課堂教學(xué)中老師把握好其中的尺度，才能以期更大程度激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)能動(dòng)性。

新規(guī)則二：減量加移位方案。減量，減少原來(lái)的投食量；移位，把踏板位置移到投食口的旁邊。在新規(guī)則條件下，不管是大豬還是小豬，只要踩動(dòng)踏板就能就近獲得食物，由于食物量不能一次吃飽，還需要多次踩動(dòng)踏板，多勞多得，豬們都會(huì)拼命踩，不勞動(dòng)就沒(méi)有收獲。對(duì)于游戲設(shè)計(jì)者，這是最佳方案之一。成本不高，但收獲大。

以上的新規(guī)則強(qiáng)調(diào)的是“多勞多得，不勞不得”，收獲不是人人都有，而是直接針對(duì)個(gè)人。在教學(xué)的過(guò)程中教師也要采用有效激勵(lì)評(píng)價(jià)機(jī)制，評(píng)價(jià)的作用在于強(qiáng)調(diào)學(xué)生的形成性作用，有的放矢，削除“搭便車(chē)”現(xiàn)象，注重學(xué)生個(gè)體的個(gè)性化評(píng)價(jià)。特別是在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)上教師還可以借助現(xiàn)代化信息，及時(shí)檢測(cè)反饋每一位學(xué)生的知識(shí)生成過(guò)程，監(jiān)測(cè)到每一位學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，從面生成有關(guān)學(xué)習(xí)能力和學(xué)習(xí)效果的評(píng)價(jià)，給予學(xué)生學(xué)習(xí)的導(dǎo)向和動(dòng)力。

新規(guī)則三：不改變踏板和投食口的距離，只把大豬和小豬分開(kāi)，讓小豬和小豬在一個(gè)圈，大豬和大豬在一個(gè)圈，這樣“小豬躺著大豬跑”就變成了小豬、大豬在自己的地方到處跑。

把小豬和大豬分開(kāi)，就是“因材施教”。在常態(tài)編班的前提下，對(duì)于同一班級(jí)、不同類(lèi)型的學(xué)生采用分層教學(xué)，這是符合新課標(biāo)“讓每位學(xué)生都得到發(fā)展”的理念的。教師可以通過(guò)分層備課、分類(lèi)指導(dǎo)，分層練習(xí)等手段改變學(xué)生“吃不飽”“齊步走”的現(xiàn)象，以促使不同層次的學(xué)生的知識(shí)與技能在原來(lái)的基礎(chǔ)上得到較好的提高，從而促進(jìn)全體學(xué)生的發(fā)展，使教學(xué)的實(shí)施更具有實(shí)際意義。

二、做一個(gè)聰明的“銷(xiāo)售者”

不管是對(duì)什么事物的研究，通常都喜歡用一些生動(dòng)形象的例子作為研究的模型。為此，筆者也嘗試把教學(xué)中一些有關(guān)博弈的模型用一個(gè)有趣形象的例子進(jìn)行說(shuō)明。小學(xué)生初到學(xué)校，就像進(jìn)入了一間新開(kāi)的商場(chǎng)。無(wú)論是對(duì)學(xué)校的人和事，還是對(duì)剛剛接觸的新知識(shí)，甚至是一節(jié)新課，都充滿著好奇。所以，筆者將通過(guò)對(duì)孩子進(jìn)入商場(chǎng)后的遭遇來(lái)說(shuō)明教學(xué)博弈是怎么一回事。

對(duì)于一般人來(lái)說(shuō)，到商場(chǎng)通常是為了買(mǎi)東西的。當(dāng)然不可否認(rèn)，有的人到商場(chǎng)其實(shí)只是為了消磨時(shí)間。但是，不管是出于什么目的。每一個(gè)到商場(chǎng)的人通常都會(huì)在自己沒(méi)見(jiàn)過(guò)的或好奇的商品前停留一段時(shí)間。這時(shí)銷(xiāo)售員就要充分利用這個(gè)時(shí)間進(jìn)行銷(xiāo)售，有的銷(xiāo)售員是“姜太公釣魚(yú)，愿者上鉤”，讓客人自己看自己挑，主動(dòng)性不強(qiáng)；有的使出渾身解數(shù)把商品推介給顧客，力求銷(xiāo)售成功；說(shuō)到這里，大家應(yīng)該猜到在這個(gè)模型里，學(xué)生扮演著顧客的角色，而老師就是銷(xiāo)售者。雖然這種說(shuō)法很殘酷，或者說(shuō)很無(wú)奈。但是，如果我們接受這樣的一個(gè)現(xiàn)實(shí)的話，我們就會(huì)從一個(gè)“銷(xiāo)售員”的角度出發(fā)了，轉(zhuǎn)變自己的觀念，老師不再是高高在上的“傳道授業(yè)者”，而是一個(gè)為了在有限的時(shí)間里多推銷(xiāo)出枯燥的數(shù)學(xué)“商品”的聰明的“銷(xiāo)售員”。過(guò)去我們?cè)诮虒W(xué)的過(guò)程當(dāng)中很少考慮到自己所教的知識(shí)怎么樣才能讓學(xué)生喜歡學(xué),怎樣才能把學(xué)生的注意力和學(xué)習(xí)興趣吸引到自己的課堂上,今天我們不研究不行了,如果學(xué)生不選擇你的課,你就面臨失業(yè).在我們的課堂上,就要思考如何增加課堂知識(shí)的趣味性和對(duì)知識(shí)傳授的感染力, 提高學(xué)生獲得知識(shí)的成功感，從而獲得最佳教學(xué)效果,就必須增加知識(shí)教授的附加值，讓學(xué)生喜歡我們的課堂。

三、勇于走出“囚徒的困境”

“囚徒的困境”是一個(gè)著名的博弈模型，是說(shuō)兩個(gè)共犯被抓進(jìn)了公安局，由于沒(méi)有足夠的證據(jù)，無(wú)法對(duì)他們進(jìn)行定罪。在這種情況下，警察將兩個(gè)犯人分別進(jìn)行審訊。在審訊時(shí)告訴他們，如果他們供出同伙的罪行轉(zhuǎn)為污點(diǎn)證人，他們就會(huì)因立功而輕判兩年；如果他被別人供出了罪行，他就將單獨(dú)被重判八年。因此，囚徒的處罰有了三種可能：其一，兩者都保持沉默，從而無(wú)罪釋放；其二，把對(duì)方供出來(lái)，自己輕罰兩年；其三，被對(duì)方供出來(lái)，自己重罰八年。在這種情況下，每位犯人都在猜測(cè)對(duì)方是否會(huì)為了減輕自己的懲罰把對(duì)方供出來(lái)，雖然明知兩個(gè)人都保持沉默是最好的方法，不管對(duì)方是否把自己供出來(lái)，自己把對(duì)方供出來(lái)都是有利的。于是，最終的結(jié)局最大可能出現(xiàn)的情況就是兩人都把對(duì)方供出來(lái)，結(jié)局是兩名犯人都被重判。

假設(shè)在同一個(gè)班上，學(xué)生只學(xué)語(yǔ)文和數(shù)學(xué)兩門(mén)課程，但實(shí)際上學(xué)生還要學(xué)習(xí)更多的課程，這里為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，我們假設(shè)只有兩門(mén)。語(yǔ)文和數(shù)學(xué)老師為了讓學(xué)生在自己的學(xué)科上考出好的成績(jī)，都會(huì)在作業(yè)布置上盡可能搶占學(xué)生的課后作業(yè)時(shí)間。這時(shí)，兩位老師之間的博弈就開(kāi)始了，假設(shè)原來(lái)學(xué)生每天抄一篇課文的生字詞和做五道數(shù)學(xué)題就可以了，現(xiàn)在語(yǔ)文老師讓學(xué)生除了抄生字詞還要背一篇課文，把學(xué)生的空余的時(shí)間利用起來(lái)，短期內(nèi)，這種增量的方法是有效的，但是，長(zhǎng)此以往，學(xué)生為了保用活動(dòng)的時(shí)間，盡然會(huì)縮短數(shù)學(xué)作業(yè)的時(shí)間。數(shù)學(xué)老師很快就會(huì)意識(shí)到這個(gè)問(wèn)題是，學(xué)生盡管按時(shí)完成了作業(yè)，但質(zhì)量已大不如前，為了解決問(wèn)題，數(shù)學(xué)老師也一定會(huì)增加數(shù)學(xué)的作業(yè)量，從語(yǔ)文老師那里把學(xué)生的時(shí)間搶回來(lái)，甚至還可能多搶了時(shí)間。同樣的道理，語(yǔ)文老師也不是省油的燈，于是他又……如此循環(huán)下去，而且博弈的主體也不斷地增多，其他老師也意識(shí)到了這個(gè)問(wèn)題，大家明知不可為而為之，就算火坑也必須跳了。

當(dāng)所有老師都參與進(jìn)來(lái)以后，學(xué)生的負(fù)擔(dān)就嚴(yán)重超載了。學(xué)生的學(xué)習(xí)時(shí)間硬是被老師間的博弈大量增加了。家庭作業(yè)就低效甚至無(wú)效，只是為了應(yīng)付老師的檢查。這時(shí)，老師就會(huì)要求家長(zhǎng)也參與進(jìn)來(lái)，加強(qiáng)監(jiān)督學(xué)生的作業(yè)效果，越來(lái)越多的角色參與到這個(gè)博弈，而且長(zhǎng)此以往，不但家長(zhǎng)和老師耗時(shí)耗精力，學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性越來(lái)越低，大家明知不可為，卻沒(méi)有人愿意率先退出，以免讓別的科目得益。

數(shù)學(xué)作業(yè)也是我們教學(xué)的一個(gè)重要部分，它對(duì)于學(xué)生掌握知識(shí)，形成技能、培養(yǎng)能力，提高素質(zhì)有著十分重要的作用。教師應(yīng)該優(yōu)化作業(yè)的設(shè)計(jì)，數(shù)學(xué)作業(yè)的量與質(zhì)并重，設(shè)計(jì)實(shí)踐性作業(yè)，讓學(xué)生摸索生活問(wèn)題；設(shè)計(jì)層次性的作業(yè)，讓差異學(xué)生都有知識(shí)獲得感；設(shè)計(jì)探索性的作業(yè)，讓學(xué)生把數(shù)學(xué)與生活聯(lián)系起來(lái)，增強(qiáng)動(dòng)手能力；設(shè)計(jì)自主性作業(yè)，讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主動(dòng)者；使家庭作業(yè)成為學(xué)生業(yè)余生活中熱衷的一項(xiàng)活動(dòng)。這樣既能激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，也能讓學(xué)生擺脫沉重的作業(yè)包袱，教師才能真正走出“囚徒的困境”。

被譽(yù)為新教育之父的英國(guó)教育家塞西爾·雷迪也強(qiáng)調(diào)說(shuō)：“教育的目的應(yīng)該在于協(xié)調(diào)。”我們的課堂，無(wú)論是老師的“滿堂灌”和“一言堂”，還是學(xué)生自主探究時(shí)缺少掌控的散亂，都是空間的不平衡，結(jié)構(gòu)的和諧。劉文哲先生的“3S”布局理論的另兩個(gè)原則就是結(jié)構(gòu)與空間，這是巧合也是盡然。我們能感受到博弈思想與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)和而不同、不同而和的默契和與淵源。在博弈思想的牽引下，我們要追求一種給定對(duì)方的最優(yōu)策略而選擇了最好策略的空間與境地，我們要營(yíng)造一種平衡的、和諧的、穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)與狀態(tài)，讓我們的數(shù)學(xué)課堂從傾斜走向均衡，從低效走向高效，讓我們課堂的各種“博弈”令教學(xué)更高效。

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