高中數(shù)學(xué)一導(dǎo)二研三拓展思路下的閱讀教學(xué)

唐明超

摘? ? 要：讀題不準、題意理解不到位、問題解決效率低是很多高中學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與考試過程中經(jīng)常碰到的問題.教師可以在一導(dǎo)二研三拓展思路下指導(dǎo)學(xué)生閱讀并提取信息，設(shè)置問題串引導(dǎo)學(xué)生挖掘問題本質(zhì)，突出應(yīng)用促進問題深化.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);閱讀教學(xué);問題串

新課標提倡學(xué)生要嘗試自主閱讀、動手操作、自主探究、小組合作等學(xué)習(xí)方式，在經(jīng)歷觀察、猜想、推理、交流等過程中進行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，進而深度認識數(shù)學(xué)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

讀題不準，題意理解不到位，問題解決效率低是很多高中學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與考試過程中經(jīng)常碰到的問題.為幫助學(xué)生有效解決以上問題，筆者做了一導(dǎo)二研三拓展思路下的閱讀教學(xué)嘗試.現(xiàn)結(jié)合《圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及應(yīng)用》一課的教學(xué)過程闡述如何導(dǎo)、如何研、如何拓展，呈現(xiàn)一條有效提高高中生數(shù)學(xué)閱讀能力的實踐路徑.

一、導(dǎo)——指導(dǎo)學(xué)生閱讀并提取信息

問題1? ?請同學(xué)們認真閱讀材料并提煉出探照燈及太陽灶的設(shè)計原理.

教師提出指向明確的問題，讓學(xué)生清楚學(xué)習(xí)任務(wù)并帶著問題去閱讀材料，尋找關(guān)鍵信息.學(xué)生獲得學(xué)習(xí)任務(wù)后認真閱讀素材，整合素材信息并用自己的語言將其表達出來.

【設(shè)計意圖】以問題為導(dǎo)向，引導(dǎo)學(xué)生自主閱讀文本，提煉出文本中的關(guān)鍵文字信息，遵循層級遞進式教學(xué)原則，尊重學(xué)生的認知發(fā)展規(guī)律.

問題2? ?你能用數(shù)學(xué)語言描述探照燈與太陽灶的設(shè)計原理嗎？

教師將問題數(shù)學(xué)化，引導(dǎo)學(xué)生嘗試用數(shù)學(xué)語言來描述設(shè)計原理;展示學(xué)生的探究成果并進行點評總結(jié)，生成拋物線的一條重要幾何性質(zhì)——從拋物線的焦點發(fā)出的光，經(jīng)過拋物線反射后，反射光線都平行于拋物線的軸（以下簡稱“性質(zhì)1”）.學(xué)生思考并進行展示，在交流與點評的過程中深化對拋物線重要幾何性質(zhì)的識記，并得出以下的數(shù)學(xué)語言描述.

性質(zhì)1? ?已知拋物線[C：y2=2px（p>0）]，從焦點[F（p2，0）]處發(fā)出的光線經(jīng)過拋物線上任意一點[P（x0，y0）（x0≠0）]反射后，反射光線平行于拋物線的對稱軸.

【設(shè)計意圖】通過閱讀與交流實現(xiàn)將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，為后面探究、證明與應(yīng)用該性質(zhì)做鋪墊.

二、研——設(shè)置問題串引導(dǎo)學(xué)生挖掘問題本質(zhì)

問題3? ?請同學(xué)們結(jié)合所學(xué)知識嘗試證明性質(zhì)1.

教師提出問題后，給學(xué)生留出充分思考的時間，注意觀察學(xué)生的思考狀態(tài)及過程，挖掘?qū)W生的探究成果及解答亮點，給學(xué)生足夠的時間去展示自己的證明思路和證明過程.教師適時請學(xué)生進行點評并完善補充解題方法，深化學(xué)生對問題本質(zhì)的理解，充分展示解法背后的整個邏輯推理過程和解法生成的前因后果，為學(xué)生優(yōu)化思考問題的方式搭好腳手架，真正起到展示解答過程對學(xué)生的示范與啟發(fā)作用，實現(xiàn)所有學(xué)生都有收獲并獲得相應(yīng)的發(fā)展.

學(xué)生基于已有知識經(jīng)驗認真思考，尋找解決問題的辦法并展示證明過程，在同學(xué)展示證明過程的同時積極反思自己的思維誤區(qū)或者優(yōu)化自己的思維方式，讓會做的學(xué)生拓寬視野，暫時不會做的學(xué)生找到方法并經(jīng)歷解法生成的整個過程，真正實現(xiàn)班級學(xué)生的全面提高與整體發(fā)展.

【設(shè)計意圖】學(xué)生通過閱讀材料已經(jīng)能夠挖掘出拋物線的光學(xué)性質(zhì)1，但是該性質(zhì)如何證明還未弄清楚，所以引導(dǎo)學(xué)生嘗試證明該性質(zhì)很有必要.一方面可以鞏固所學(xué)的拋物線的相關(guān)基礎(chǔ)知識，另一方面經(jīng)歷猜想與論證的邏輯推理過程可以幫助學(xué)生提高分析問題并解決問題的能力，有效地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng).

學(xué)生1：如圖1，直線[BE]是過拋物線[C]上任意異于坐標原點[O]的一點[P（x0，y0）]的切線，直線[PC]是過點[P（x0，y0）]且垂直于[BE]的直線，所以直線[BE]可以理解為平面鏡，直線[PC]為法線，直線[FP]為入射光線，直線[PD]為反射光線.要證明反射光線[PD]平行于[x]軸，只需要證明[∠EPD=∠PBF].根據(jù)光學(xué)性質(zhì)知入射角等于反射角即[∠FPC=∠DPC]，從而余角也相等即[∠BPF=∠EPD]，所以只需證明[∠BPF=∠PBF]即可，亦即證明[BF=PF].對拋物線[C]的方程求導(dǎo)得[yy'=p]，所以[kBE=py0]，從而[kPC=-y0p]，所以[lBE：y-y0=py0（x-x0）]，令[y=0]得[B（x0-y02p，0）];所以[BF=p2-x0+y02p]，[PF=（x0-p2）2+y02]，將[y02=2px0]帶入得[BF=y022p+p2=PF]，得證.

圖1

解法點評：充分挖掘了問題中所隱含的幾何性質(zhì)，基于幾何性質(zhì)嘗試用求導(dǎo)的方法得出切線的斜率，再用點斜式給出切線方程;由兩直線垂直的性質(zhì)給出法線的方程，進而得到線段[BF]與[PF]相等，基于三角形的邊角關(guān)系得出結(jié)論.從作圖到推理證明的整個過程充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想與轉(zhuǎn)化與化歸的思想，而且巧解復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)得出切線的斜率，足以看出學(xué)生的功底扎實，說明學(xué)生對之前所學(xué)的基礎(chǔ)知識能夠做到靈活運用.

學(xué)生2：如圖1，根據(jù)拋物線的定義作[PA]垂直準線于點[A]，要證明反射光線平行于[x]軸，只需要證明[PD]即為反射光線，即證明[∠DPC=∠FPC].對拋物線[C]的方程求導(dǎo)得[yy'=p]，所以[kBE=py0]，從而[kPC=-y0p]，不妨設(shè)[kPF=k1=y0x0-p2，kPD=k2=0，]由到角公式得[tan∠DPC=k2-kPC1+k2kPC=y0p]，[tan∠FPC=k1-kPC1+k1kPC=x0y0+p2y0x0p-y02-p22]，將[y02=2px0]代入得[tan∠FPC=y03+p2y0p3+py02=y0p]，所以[tan∠DPC-tan∠FPC=0]，即[∠DPC=∠FPC].

解法點評：該生的證明從問題出發(fā)，結(jié)合拋物線的定義及光學(xué)性質(zhì)，實現(xiàn)了代數(shù)與幾何的合理轉(zhuǎn)換，用到了到角公式這一高中現(xiàn)行教材中的拓展內(nèi)容，也足以說明開展閱讀課教學(xué)的作用和意義.運算過程相對復(fù)雜，對數(shù)學(xué)運算能力要求較高，說明該生的數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)發(fā)展得較好.

學(xué)生3：如圖2，可以先假設(shè)反射光線平行于[x]軸，由幾何意義知只需要證明直線[PP']與[C]相切于點[P]即可，即證明直線[PE]上異于點[P]的任意一點[P']均在拋物線的外部即可，也就是點[P']到準線的距離[P'A'

[△P'][PF]，所以[P'A=P'F>P'A']，足以證明[P']均在拋物線的外部.

圖2

解法點評：該生的邏輯推理能力值得大家學(xué)習(xí)，逆向推理證明用得恰到好處，解法簡練，突出重點，對思維能力要求較高，不失為一種很好的解法.

三、拓展——突出應(yīng)用促進問題深化

問題4? ?橢圓與雙曲線有類似的性質(zhì)么？

教師給出層級遞進式的問題，實現(xiàn)將問題的逐步深化;學(xué)生清楚學(xué)習(xí)任務(wù)并帶著問題去閱讀材料，尋找關(guān)鍵信息并用自己的語言將其表達出來.

【設(shè)計意圖】在第一個重點問題解決之后以層級遞進式的問題引導(dǎo)學(xué)生進行更深入的探究，整個過程既顯得自然流暢緊密銜接，又能深化知識的邏輯聯(lián)系，符合學(xué)生的認知發(fā)展規(guī)律.

學(xué)生通過閱讀提取文本信息，經(jīng)表達交流、總結(jié)完善后，得出類似于性質(zhì)1的兩個如下重要性質(zhì).

性質(zhì)2 從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線經(jīng)過橢圓反射后，反射光線都經(jīng)過橢圓的另一個焦點.

性質(zhì)3 從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線是散開的，它們就好像是從另一個焦點射出的一樣，也可以看成是反射光線的反向延長線經(jīng)過另外一個焦點.

問題5 你能類比拋物線性質(zhì)1的證明方法證明性質(zhì)2與性質(zhì)3嗎？

問題層層遞進，驅(qū)動學(xué)生一步步深入思考與探究，教師觀察學(xué)生的思考與證明過程，適時進行點撥.學(xué)生類比性質(zhì)1的證明方法尋找性質(zhì)2與性質(zhì)3的證明思路.

【設(shè)計意圖】以問題為驅(qū)動力，層層推向深入，意在引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷問題的發(fā)現(xiàn)、提出與思考并解決的過程，幫助學(xué)生養(yǎng)成觀察、猜想、證明的學(xué)習(xí)與探究的習(xí)慣，有效提升自主學(xué)習(xí)的能力.

通過教師的引導(dǎo)與學(xué)生的認真思考，類比性質(zhì)1的證明過程，得到如下性質(zhì)2與性質(zhì)3的證明過程.

證明性質(zhì)2：如圖3，點[P]為拋物線上異于長軸端點的任意一點（若處于長軸端點則有[F1，F(xiàn)2，P]三點共線，結(jié)論自然，不用贅述），左右焦點分別為[F1，F(xiàn)2]，先假設(shè)從[F1]出發(fā)的光線經(jīng)橢圓反射后反射光線過[F2]，由光學(xué)性質(zhì)知，若直線[PA]為切線，定存在直線[PB]為法線使得[∠BPF2=∠BPF1]成立.倒推回來，問題的關(guān)鍵是只需證明[∠F1PF2]的外角平分線[PA]是過橢圓上一點[P]的切線，即證明點[P]為切點，只需證明角平分線[PA]上異于點[P]的點[P][']都在橢圓外部，即證明[P'F1+P'F2][>][PF1][+PF2];在直線[PF1]上選取點[C]，使得[PC=PF2]，所以[△PP'C?]△[PP'F2]，從而得到[P'C=P'F2]，基于線段的等量代換得到[P'F1+P'F2=P'F1 + P'C>F1C=PF1+PF2=2a]，

所以點[P]是唯一存在的，即為切點，得證.再作[∠F1PF2]的角平分線[PB]，明顯[PB⊥PA]，性質(zhì)2證畢.

圖3

證明性質(zhì)3：類比性質(zhì)1及性質(zhì)2的證法，如圖4，作[∠F1PF2]的角平分線[PA]，再證明[PA]上異于點[P]的點[P']都在雙曲線外部（為了區(qū)別，將含雙曲線焦點的區(qū)域稱為雙曲線的內(nèi)部），只需證明[P'F1-P'F2PF2]，在直線[PF1]上取點[D]使得[PD=PF2]，則[△PDP'?]△[PF2P']，從而有[P'D=P'F2]，且[P'F1-P'F2=P'F1 - P'D? < F1D? = PF1 - PD =]

[PF1-PF2=2a]，所以點[P]是唯一存在的，即為切點，得證.再作[∠F1PF2]的外角平分線[PB]，明顯[PB⊥PA]，性質(zhì)3證畢.

圖4

解法點評：性質(zhì)2與性質(zhì)3的證明過程均很好地體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，由結(jié)論出發(fā)，逆向推理，找出問題的關(guān)鍵點給予證明;而且都緊緊扣住定義，還原了問題的本質(zhì)，解法簡潔明了，不失為一種好方法.

問題6 除了以上的證明方法，你還能類比拋物線性質(zhì)1的導(dǎo)數(shù)證明方法證明性質(zhì)2與性質(zhì)3嗎？

【設(shè)計意圖】限于學(xué)生實際學(xué)情與課堂教學(xué)時間，本堂課只能完成以上的探究過程，設(shè)置問題6一方面是為了引發(fā)學(xué)生進一步思考如何利用導(dǎo)數(shù)實現(xiàn)代數(shù)證明，同時也是給學(xué)生設(shè)置了一個較好的課后作業(yè)，引導(dǎo)學(xué)生帶著問題開展更進一步的研究.