緊聚焦混合階龐加萊光的自旋密度

孫宏 董光炯

摘要：龐加萊光自旋密度分布的研究不僅有著實際的工程應(yīng)用意義，還對認識光的本性有著重要的意義.研究了緊聚焦的混合階龐加萊光的自旋密度，發(fā)現(xiàn)它不僅有橫向分量，還有縱向分量;與最近的研究總縱向自旋為零的緊聚焦?jié)M龐加萊光束不同，其縱向總自旋不等于零.緊聚焦的混合階龐加萊光的自旋密度具有豐富的可調(diào)控的空間斑圖，特別是縱向自旋密度可以是環(huán)形，還可以是正多邊形等.這些特征可用于手性微粒的光力學分離和操控，也可用于產(chǎn)生等效磁場操控超冷旋量原子氣體動力學.

關(guān)鍵詞：混合階龐加萊光;緊聚焦;自旋密度

中圖分類號：0436.1

文獻標志碼：A

DOI： 10.3969/j.issn.1000-5641.201922012

0 引 言

偏振是光場一個重要的特性.通常的偏振光雖然可以用橢圓偏振曲線表示，但是卻無法區(qū)分簡并的偏振態(tài).因此1892年，龐加萊（Poincare）引入幾何表示方法，把Stokes參數(shù)映射到單位球上[1];這個球，現(xiàn)在稱為龐加萊球.偏振是光子自旋角動量的反應(yīng)[2]，利用龐加萊球可以方便研究光場的自旋特征.在過去的30年里，由于激光技術(shù)的發(fā)展，矢量渦旋光越來越受到重視.矢量渦旋光，不僅具有自旋角動量，還具有軌道角動量[3-4].因此通常的龐加萊球表示技術(shù)不能描述這類光束.為解決這個問題，Milone等提出了高階龐加萊球的表示方法[5];然而他們的方法仍然局限于特定的矢量渦旋光.2015年，混合階龐加萊球被提出[6]，這樣任意的矢量渦旋光都可以在龐加萊球上表示出來.現(xiàn)在用龐加萊球表示的任意偏振光都統(tǒng)稱為龐加萊光.

當數(shù)值孔徑（ Numerical Aperture，NA） NA大于0.7時，光線的變跡（又稱切趾）、褪偏振效應(yīng)以及像差等效應(yīng)不能被忽略，傍軸近似不再成立[7].1959年，Wolf和Richard發(fā)展了偏振光被高數(shù)值孔徑（NA≥0.7）的透鏡聚焦理論，發(fā)現(xiàn)光場偏振的空間變化以及非對稱光場分布[8-9].這一現(xiàn)象在過去10多年里被廣泛應(yīng)用于超分辨檢測[10]以及微粒操控∽近年，Wolf和Richard的理論進一步推廣到混合階龐加萊光[12].緊聚焦的混合階龐加萊光和通常偏振均勻的光束聚焦的特性很不一樣[13]，光場的空間分布可以通過入射光的軌道角動量來控制，可以產(chǎn)生豐富的空間光學斑圖[12]，在亞波長分辨成像[14]、微粒操控[15]、激光材料加工[16]q等方面具有重要的應(yīng)用.

龐加萊光的偏振和渦旋特性除了在工程和科學研究中有著廣泛的應(yīng)用外，還在基礎(chǔ)研究方面不斷推動著對光的本性的認識.光的偏振是光具有自旋角動量的體現(xiàn).Allen發(fā)現(xiàn)渦旋光具有軌道角動量[17]，并被隨后的實驗所證實[18]，光的自旋角動量和軌道角動量及其相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系在近年被廣泛應(yīng)用[19].傳統(tǒng)認為光具有縱向自旋角動量，而無橫向自旋角動量;其實這個結(jié)論只適用于單束橢圓偏振平面波光或者高斯光.Bekshaev等的研究表明[20]，當這些光發(fā)生干涉，可以產(chǎn)生巨大的橫向的自旋角動量.Aiello等進一步給出了只有橫向而無縱向自旋角動量的緊聚焦的偏振光束[21]，Zhu等人研究了一個偏振態(tài)充滿整個龐加萊球的滿龐加萊光（full Poincare beams）的自旋角動量密度[22]，發(fā)現(xiàn)其縱向分量平均值為零，其橫向自旋角動量在光軸傳播方向上距離都很大.

入射的混合階龐加萊光具有自旋和軌道角動量.它通過高數(shù)值孔徑的透鏡產(chǎn)生緊聚焦的混合階龐加萊光的軌道角動量受到重視[13]，然而其自旋特性在入射前后的變化尚沒有得到研究.因此，本文研究了緊聚焦的混合階龐加萊光的自旋密度，發(fā)現(xiàn)自旋密度是空間各向異性，而且具有豐富的空間結(jié)構(gòu)，其結(jié)構(gòu)可以通過入射光的軌道角動量控制.這些特性對于手性粒子的分離[23]、原子分子操控[24]等具有重要的意義.

1 理 論

2 數(shù)值計算緊聚焦的龐加萊光的自旋密度

在本文的數(shù)值計算中（），使用的參數(shù)A=1（任意單位），λ=532 nm，NA=0.95，介質(zhì)折射率nr=1，光瞳半徑和入射光束腰的比值β=1.在圖2和圖3中，光場自旋密度由ε0/ω4A2k2無量綱化.

圖2顯示了m =n時，自旋密度S3個方向的分量Sx，Sy，Sz在焦平面處的空間分布.圖中的紅色區(qū)域代表各個自旋密度的最強區(qū)域，稱之為熱點（hot spot）.Sx的熱點沿著∥方向排列，而Sy的熱點則沿著x方向排列.隨著m的增加，Sz和Sy的熱點區(qū)域增加.Sz的熱點區(qū)域有4個.

圖3顯示了m≠n時，3個自旋密度S的3個分量在焦平面處的空間分布.Sx和S的空間分布特征和m =n時類似，然而Sz的分布卻迥然不同.通過控制m和n的差值，Sz分布在閉合的環(huán)線上，這個環(huán)線可以是多邊形，也可以是環(huán)形.

從圖2和圖3可以看出，Sz分量總量大于零.因此Sz在焦平面的平均值不會等于零.這一點和緊聚焦的滿龐加萊光的性質(zhì)不一樣.

本文也研究了不同的數(shù)值孔徑NA對自旋密度的影響.圖4顯示了自旋密度S的3個分量在m = -5，n=-7時隨不同數(shù)值孔徑變化在焦平面處的空間分布.從圖4可以看出，隨著NA的減小，光斑擴大，導致自旋密度降低;對于Sx和Sy，它們的空間分布形狀無顯著改變;而Sz在NA很低時，近似為圓形;當NA≥0.7時，更接近于方形，這是高數(shù)值孔徑引起的光場畸變所致.利用像場畸變，可以控制自旋密度的空間分布，這可以豐富光場自旋密度的應(yīng)用（具體見下一節(jié)的討論）.

3 緊聚焦龐加萊光自旋密度的實驗討論

緊聚焦的龐加萊光自旋密度的空間分布具有豐富的空間幾何結(jié)構(gòu)，然而難以直接測量.本文提出了兩個可能的測量方法.

第一種方法是用緊聚焦的龐加萊光操控手性微粒f雙折射微?；蛘呤中苑肿樱?手性微粒在光場中激化，會產(chǎn)生一個光場自旋密度成正比的力Fx=譬Ini（X）S（x是粒子的手性參數(shù)）[24].由此可以發(fā)展緊聚焦的龐加萊光力分離手性粒子的技術(shù).

4 結(jié)論

本文研究了緊聚焦混合階龐加萊光的自旋密度的空間分布，發(fā)現(xiàn)自旋密度不僅具有縱向自旋密度分量，而且有橫向自旋密度，各個分量都具有豐富的可調(diào)控的空間結(jié)構(gòu)，特別是縱向分量可以是環(huán)狀，也可以是正多邊形結(jié)構(gòu).與最近研究的緊聚焦的滿龐加萊光[20]不一樣，它的縱向自旋分量的平均值不為零.

緊聚焦混合階龐加萊光的自旋密度的空間分布特性，可以通過對手性粒子產(chǎn)生手性依賴的光力或冷原子中產(chǎn)生等效磁場來測量，由此發(fā)展手性微粒的光力分離技術(shù)[25]，以及新穎的旋量原子氣體動力學[26]操控手段.

[參考文獻]

[1 ]

POINCARE H. LeCons sur la theorie mathematique de la lumiere. Theorie mathematique de la lumiere. II， Nouvellesetudes sur ladiffraction. theorie de la dispersion de Helmholtz： Le

[ 2 ]

BORN M， WOLF E. Principles of Optics[M]. 6th ed. New York： Pergamon Press， 1980.

[ 3 ]

HOIBOURN A H S. Angular momentum of circularly polarised light [J] . Nature， 1936， 137（3453）： 31. DOI： 10.1038/13703la0.

[ 4 ]

YAO A M， PADGETT M J. Orbital angular momentum： Origins， behavior and applications [J] . Advances in Optics and Photonics，2011， 3（2）： 161-204. D01：10.1364/AOP.3.000161.

[ 5 ]

MIIIONE G， SZTUL H I. NOLAN D A， et al. Higher-order Poincare sphere， Stokes parameters， and the angular momentum of light [Jl. Physical Review Letters， 2011， 107（5）： 053601. DOI： 10.1103/PhysRevLett.107.053601.

[ 6 ] YI X N， LIU Y C， LING X H. et al. Hybrid-order Poincare sphere [J]. Physical Review A， 2015， 91（2）： 023801. DOI：10.1103/PhysRevA.91.023801.

[ 7 ]

GU M. Advanced Optical Imaging Theory [Ml. Heidelberg： Springer， 2006.

[ 8 ]

WOIF E. Electromagnetic diffraction in optical systems-l. An integral representation of the image field [J] . Proceedings of the RoyalSociety A， 1959， 253（1274）： 349-357. DOI： 10.1098/rspa.1959.0199.

[ 9 ]

RICHARDS B， WOLF E. Electromagnetic diffraction in optical systems， II. Structure of the image field in an aplanatic system [J].Proceedings of the Royal Society A， 1959， 253（1274）： 358-379. DOI： 10.1098/rspa.1959.0200.

[10] EHMKE T. NITZSCHE T H， KNEBL A， et al. Molecular orientation sensitive second harmonic microscopy by radially andazimuthally polarized light [J]. Biomedical Optics Express， 2014， 5（7）： 2231-2246. DOI： 10.1364/BOE.5.002231.

[11]

BEKSHAEV A Y. Corrigendum： Subwavelength particles in an inhomogeneous light field： optical forces associated with the spin andorbital energy flows [J]. Journal of Optics， 2016， 18（2）： 029501. D01：10.1088/2040-8978/18/2/029501.

[12]

DAI X B， LI Y Q， LIU L H . Tight focusing properties of hybrid-order Poincare sphere beams [J]. Optics Communications， 2018， 426：46-53. DOI： 10.1016/j.optcom.2018.05.017.

[13]

LERMAN G， STERN L. LEVY U. Generation and tight focusing of hybridly polarized vector beams [J]. Optics Express， 2010， 18（26）：27650-7. DOI： 10.1364/OE.18.027650.

[14]

CHEN R， AGARWAL K， SHEPPARD C J， et al. Imaging using cylindrical vector beams in a high-numerical-aperture microscopysystem [J]. Optics Letters. 2013， 38（16）： 3111-3114. DOI： 10.1364/OL.38.003111.

[15]

JESACHER A， FURHAPTER S， BERNET S， et al. Size selective trapping with optical "cogwheel" tweezers [J] . Optics Express，2004， 12（17）： 4129-4135. DOI： 10.1364/OPEX.12.004129.

[16]

HNATOVSKY C. SHVEDOV V， KROLIKOWSKI ＼V， et al. Revealing local field structure of focused ultrashort pulses [J] . PhysicalReview Letters. 2011， 106（12）： 123901. DOI： 10.1103/PhysRevLett.106.123901.

[17]

ALLEN L， BEIJERSBERGEN M W， SPREEUW R J C， et al. Orbital angular momentum of light and the transformation of Laguerre-Gaussian laser modes [J]. Physical Review A， 1992， 45（11）： 8185. DOI： 10.1103/PhysRevA.45.8185.

[18]

ALLEN L， PADGETT M J. BABIKER M. IV The orbital angular momentum of light [J]. Progress in Optics， 1999， 39（C）： 291-372.D01：10.1016/S0079-6638 （08） 70391-3.

[19]

ZHAO Y， EDGAR J S， JEFFRIES G D， MCGLOIN D， &CHIU D T. Spin-to-orbital angular momentum conversion in a stronglyfocused optical beam [J]. Physical Review Letters， 2007， 99（7）： 073901. DOI： 10.1103/PhysRevLett.99.073901.

[20]

BEKSHAEV A Y. SOSKIN M S. VASNETSOV M V. Transformation of higher-order optical vortices upon focusing by an astigmaticlens [J]. Optics Communications. 2004， 241（4/5/6）： 237-247. DOI： 10.1016/j.optcom.2004.07.023.

[21]

AIELLO A， BANZER P. NEUGEBAUER M， et al. From transverse angular momentum to photonic wheels [J] . Nature Photonics，2015， 9（12）： 789-795. DOI： 10.1038/nphoton.2015.203.

[22]

ZHU W， SHVEDOV V， SHE W， et al. Transverse spin angular momentum of tightly focused full Poincare beams [J] . Optics express，2015， 23（26）： 34029-34041. DOI： 10.1364/OE.23.034029.

[23]

BRADSHAW D S， ANDREWS D L. Chiral discrimination in optical trapping and manipulation [J] . New Journal of Physics， 2014，16 （10） ： 103021. DOI： 10 .1088/1367-2630/16/10/103021.

[24]

LE KIEN F， SCHNEEWEISS P， RAUSCHENBEUTEL A. Dynamical polarizability of atoms in arbitrary light fields： General theoryand application to cesium [J] . The European Physical Journal D， 2013， 67 Article number： 92. DOI： 10.1140/epjd/e2013-30729-x.

[25]

DING K， NG J， ZHOU L， et al. Realization of optical pulling forces using chirality [J]. Physical Review A， 2014， 89（6）： 063825.DOI： 10.1103/PhysRevA.89.063825.

[26]

WEYRAUCH M， RAKOV M V. Dimerization in ultracold spinor gases with Zeeman splitting [J]. Physical Review B ， 2017， 96：134404. DOI： 10.1103/PhysRevB.96.134404.

（責任編輯：李藝）