基于加權(quán)稀疏約束的穩(wěn)健Capon波束成形性能比較

林 振，李 莉，魏 爽，梁 燕

（上海師范大學(xué)信息與機(jī)電工程學(xué)院，上海201418）

0 引 言

自適應(yīng)天線陣列可以根據(jù)信號(hào)環(huán)境實(shí)時(shí)地調(diào)整天線陣列的加權(quán)因子，使天線陣列的輻射方向圖在期望信號(hào)方向上達(dá)到一定的增益，并抑制其他方向上的干擾，通常稱這一過(guò)程為自適應(yīng)波束成形（ABF）.自適應(yīng)波束成形技術(shù)廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、聲吶、麥克風(fēng)陣列語(yǔ)音處理、醫(yī)學(xué)成像、無(wú)線通信和天文學(xué)及地震學(xué)等領(lǐng)域［1］.

傳統(tǒng)的自適應(yīng)波束成形算法大多假設(shè)訓(xùn)練數(shù)據(jù)中不包含期望信號(hào)，但是在許多實(shí)際的應(yīng)用場(chǎng)景中，訓(xùn)練數(shù)據(jù)時(shí)常包含期望信號(hào)［2］.因此，當(dāng)期望信號(hào)的導(dǎo)向矢量失配時(shí)，采用傳統(tǒng)的自適應(yīng)波束成形算法所設(shè)計(jì)的波束成形器，其性能將會(huì)急劇下降.同時(shí)，即使期望信號(hào)的導(dǎo)向矢量不失配，較小的訓(xùn)練樣本也會(huì)引起波束成形器性能下降.

標(biāo)準(zhǔn)的Capon波束成形器是一種最小方差無(wú)失真響應(yīng)（MVDR）自適應(yīng)波束成形器［3］，其原理是保證在期望信號(hào)無(wú)失真的情況下，最小化干擾和噪聲的功率.當(dāng)采樣數(shù)較少或是導(dǎo)向矢量失配時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)的Capon波束成形器可能將真正的期望信號(hào)誤認(rèn)為干擾信號(hào)進(jìn)行處理，穩(wěn)健性較差.為了克服導(dǎo)向矢量失配帶來(lái)的問(wèn)題，出現(xiàn)了許多自適應(yīng)波束成形器，例如：對(duì)角加載（DL）算法［4］、特征空間波束成形器（ESB）［5］、協(xié)方差矩陣銳化（CMT）方法［6］.但是，DL 算法的缺點(diǎn)是無(wú)法根據(jù)失配量選擇最優(yōu)的加載因子；ESB 算法必須首先獲得子空間及其維數(shù)的先驗(yàn)信息，較大地限制了算法的實(shí)際應(yīng)用；CMT 算法雖然能提高干擾零陷的改善程能力，但是旁瓣控制能力有一定程度的下降.程青青等［7］利用粒子群算法和其改進(jìn)算法求解波束成形問(wèn)題，得到的結(jié)果具有一定的穩(wěn)健性，但是得到的干擾零陷和旁瓣并沒(méi)有很明顯的下降.

近年來(lái)，信號(hào)的稀疏表示在信號(hào)處理方面得到了許多應(yīng)用［8］，ZHANG 等［9］在標(biāo)準(zhǔn)Capon 波束成形的基礎(chǔ)上，利用信號(hào)的稀疏性，提出了基于稀疏的Capon 波束成形（SCCB）算法；在此基礎(chǔ)上，ANDRADE等［10］提出利用l1范數(shù)解決波束成形旁瓣過(guò)高、干擾零陷不深的問(wèn)題.杜永興等［11］和劉振等［12］在標(biāo)準(zhǔn)Capon 算法的優(yōu)化問(wèn)題上做了改進(jìn)，提出了加權(quán)稀疏約束Capon 波束成形（WSCCB）算法，得到了比較低的旁瓣和較深的干擾零陷.

本文作者主要對(duì)上述文獻(xiàn)提出的方法進(jìn)行性能的對(duì)比，定量仿真分析幾種算法各自的優(yōu)劣，明確未來(lái)在自適應(yīng)波束成形方面的主要問(wèn)題.

1 系統(tǒng)模型

考慮由N 個(gè)陣元組成的均勻線性陣列，陣元之間的間隔為d，存在J 個(gè)干擾信號(hào)，有J+1 個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶不相關(guān)信號(hào)入射到均勻線性陣列上，如圖1所示.

圖1 N元線性陣列接收模型

此時(shí)，N元線性陣列接收信號(hào)的N×1維時(shí)間采樣序列

其中，k為采樣時(shí)間序號(hào)；K為每條樣本序列的總數(shù)；s0（k）表示k時(shí)刻的期望信號(hào)；sj（k）（j=1，2，…，J）表示k時(shí)刻第j個(gè)干擾信號(hào).s0（k）和sj（k）的功率可以分別表示為：

θ0表示期望信號(hào)的實(shí)際來(lái)波方向；θj（j=1，2，…，J）表示第j個(gè)干擾信號(hào)的實(shí)際來(lái)波方向；a（θ0）表示期望信號(hào)的導(dǎo)向矢量；a（θj）（j=1，2，…，J）表示第j個(gè)干擾信號(hào)的導(dǎo)向矢量；n（k）表示k時(shí)刻，方差為的加性高斯白噪聲向量.信噪比可以表示為，第j個(gè)干擾信號(hào)的干噪比可以表示為根據(jù)圖1可以得到：

其中，d 是相鄰陣元之間的間隔；λ 是窄帶信號(hào)的波長(zhǎng)，一般d=λ/2.為了更準(zhǔn)確地得到期望信號(hào)，對(duì)陣列接收到的信號(hào)進(jìn)行加權(quán)求和，k時(shí)刻的自適應(yīng)波束成形器的輸出記為：

其中，H為矩陣的共軛轉(zhuǎn)置運(yùn)算符；w=［w1，w2，…，wN］T為波束成形器對(duì)N個(gè)陣元接收信號(hào)的復(fù)加權(quán)向量，而最優(yōu)的復(fù)加權(quán)向量w 能保證輸出y（k）在無(wú)失真得到期望信號(hào)的前提下，將干擾信號(hào)和噪聲信號(hào)的功率降到最低.

2 標(biāo)準(zhǔn)Capon波束成形

將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解優(yōu)化問(wèn)題：

是干擾和噪聲的協(xié)方差矩陣.但實(shí)際的采樣中一般包含期望信號(hào)s0（k），很難完全分離出干擾信號(hào)和噪聲信號(hào)，Ri+n可以用采樣信號(hào)x（k）的協(xié)方差矩陣Rx來(lái)近似代替.將式（4）的優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：

其中，

采用拉格朗日乘數(shù)法求解式（6），構(gòu)造拉格朗日函數(shù)為：

從式（9）可以看出最優(yōu)權(quán)值是由Rx和共同決定的.當(dāng)采樣數(shù)K 較少時(shí)，天線陣列輻射方向圖的旁瓣會(huì)升高，標(biāo)準(zhǔn)Capon波束成形的穩(wěn)健性較差，當(dāng)期望信號(hào)的DOA估計(jì)值發(fā)生偏差或者陣元位置發(fā)生偏差時(shí)，均會(huì)造成信號(hào)的導(dǎo)向矢量失配，進(jìn)而導(dǎo)致標(biāo)準(zhǔn)Capon波束成形器的性能下降.

3 加權(quán)稀疏約束的Capon波束成形

針對(duì)式（9）中標(biāo)準(zhǔn)Capon 波束成形算法結(jié)果對(duì)采樣數(shù)K 敏感，以及穩(wěn)健性較差的問(wèn)題，考慮到理想的天線陣列輻射方向圖主瓣區(qū)域的天線陣列增益wHa（θ）應(yīng)該近似為1，大部分旁瓣區(qū)域的天線陣列增益應(yīng)該近似為0，主瓣區(qū)域遠(yuǎn)小于旁瓣區(qū)域，使得天線陣列增益在角度區(qū)域上近似滿足稀疏分布，即大部分角度區(qū)域的天線陣列增益為0 或近似為0.ZHANG 等［9］將信號(hào)的稀疏性應(yīng)用到Capon 波束成形器中，提出了SCCB算法，具體的優(yōu)化模型如下：

杜永興等［11］用旁瓣的陣列導(dǎo)向矢量的集合A?的共軛轉(zhuǎn)置與采樣信號(hào)的協(xié)方差矩陣相乘，得到旁瓣上的信息矩陣，再取矩陣每一行的平均值（角度上信息的平均值），得到的值即為每個(gè)角度的加權(quán)值，在天線陣列輻射旁瓣所對(duì)應(yīng)的干擾和噪聲方向上施加了一個(gè)抑制天線陣列增益的權(quán)值.加權(quán)后的最優(yōu)化模型為：

其中，γ2是稀疏項(xiàng)加權(quán)稀疏（γ2＞0）；Q是L×L（L為旁瓣區(qū)域內(nèi)的角度總數(shù)）維的抑制旁瓣區(qū)域天線陣列增益加權(quán)矩陣；AI為干擾信號(hào)導(dǎo)向矢量的集合.Q是對(duì)的每一行取2范數(shù)構(gòu)成的對(duì)角陣，設(shè)

其中，di是1×N的向量.令

則

劉振等［12］主要利用噪聲子空間與信號(hào)子空間之間的正交性構(gòu)造加權(quán)矩陣G，優(yōu)化模型為：

對(duì)采樣信號(hào)的協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征值分解，得到信號(hào)子空間US和噪聲子空間UN，因?yàn)樾盘?hào)和噪聲是相互獨(dú)立的，所以US和UN相互正交，而入射信號(hào)（包括期望信號(hào)和干擾信號(hào)）的導(dǎo)向矢量集合A=［a（θ0），a（θ1），…，a（θJ）］張成的子空間與信號(hào)子空間是同一個(gè)空間，所以A 與UN正交，即AHUN=0.AI?A，所以AIHUN=0.AI?A?，用A?的共軛轉(zhuǎn)置乘以噪聲子空間可以得到：

其中，AIC是A?中除去AI，其余導(dǎo)向矢量的集合；E1是干擾信號(hào)導(dǎo)向矢量與噪聲子空間的內(nèi)積，在實(shí)際操作中，由于采樣數(shù)有限，E1部分近似為0；E2為旁瓣區(qū)域中去除AI，其余導(dǎo)向矢量的集合與噪聲子空間的內(nèi)積.對(duì)E的每一行取2范數(shù)得到向量

對(duì)e中的每一個(gè)元素取倒數(shù)得到向量g，最終加權(quán)矩陣

在實(shí)際中，e1為非常接近于0 的數(shù)，g 為相當(dāng)大的數(shù)，因其對(duì)應(yīng)于干擾方向，相當(dāng)于在干擾部位進(jìn)行加權(quán)，使得干擾零陷更低.

4 仿真對(duì)比

考慮圖1 所示的N 元線性天線陣列系統(tǒng)模型，實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)于接收端而言，期望信號(hào)和干擾信號(hào)的具體來(lái)波方向是未知的，所以要先進(jìn)行DOA 估計(jì)，得到窄帶信號(hào)的來(lái)波方向，設(shè)計(jì)波束成形的權(quán)值.天線陣列一旦制作完成，天線的位置發(fā)生偏移的概率不大，所以主要考慮由于期望信號(hào)的角度與估計(jì)值的誤差而引起的導(dǎo)向矢量失配情況.

使信噪比小于干噪比，即期望信號(hào)的功率小于干擾信號(hào)的功率，采樣信號(hào)的協(xié)方差矩陣Rx更接近干擾和噪聲的協(xié)方差矩陣，仿真參數(shù)如表1所示.

旁瓣區(qū)域內(nèi)采樣間隔為1o，仿真中信號(hào)的采樣數(shù)K 為100，為消除仿真實(shí)驗(yàn)的隨機(jī)性，蒙特卡羅仿真次數(shù)為100 次，主要對(duì)比了傳統(tǒng)Capon波束成形［5］、用l1范數(shù)約束的SCCB算法［10］和2種WSCCB算法［11-12］的性能.

4.1 無(wú)導(dǎo)向矢量失配的情況

假設(shè)采樣數(shù)足夠多，J+1個(gè)完全不相關(guān)的遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)入射到均勻線性陣列，使用DOA 估計(jì)算法得到的期望信號(hào)方向與真實(shí)的期望信號(hào)方向θ0的誤差可以忽略，則期望信號(hào)的導(dǎo)向矢量近似等于真實(shí)的期望信號(hào)的導(dǎo)向矢量α（θ0）.圖2 是無(wú)導(dǎo)向矢量失配時(shí)的天線陣列輻射方向圖.從圖2 來(lái)看，天線陣列增益低于于-20 dB的角度區(qū)域遠(yuǎn)大于天線陣列增益高于-20 dB的角度區(qū)域，天線陣列增益滿足稀疏分布.相比標(biāo)準(zhǔn)Capon波束成形算法，其他幾種改進(jìn)的算法旁瓣和干擾零陷均較低，文獻(xiàn)［11-12］算法存在干擾零陷不準(zhǔn)的現(xiàn)象.圖3 是輸出的信干噪比隨著采樣數(shù)的變化圖.可以看出當(dāng)采樣數(shù)K 增加時(shí)，幾種算法的輸出信干噪比均在增加，標(biāo)準(zhǔn)Capon波束成形算法信干噪比總體較小，文獻(xiàn)［11-12］算法的輸出信干噪比大致相同.

表1 仿真參數(shù)表

圖2 無(wú)導(dǎo)向矢量失配的天線陣列輻射方向圖

圖3 輸出信干噪比隨采樣數(shù)K的變化圖

4.2 導(dǎo)向矢量失配時(shí)

假設(shè)DOA 估計(jì)算法由于采樣數(shù)過(guò)少而導(dǎo)致估計(jì)的期望信號(hào)方向與真實(shí)的期望信號(hào)方向θ0存在一定的誤差，造成失配問(wèn)題.圖4是當(dāng)導(dǎo)向矢量存在3o失配時(shí)，4種算法的天線陣列輻射方向圖對(duì)比，可以看出標(biāo)準(zhǔn)Capon 波束成形算法和文獻(xiàn)［12］算法均把真實(shí)的0o方向的期望信號(hào)當(dāng)作干擾處理，在0o處形成零陷，而文獻(xiàn)［12］算法出現(xiàn)了主瓣的搬移，相比之下，文獻(xiàn)［11］中的算法表現(xiàn)了較強(qiáng)的穩(wěn)健性.圖5給出了文獻(xiàn)［12］的天線陣列輻射方向圖隨導(dǎo)向失配程度的變化圖，可以看出當(dāng)失配角度越大時(shí)，在真實(shí)期望信號(hào)來(lái)波方向形成的干擾零陷就越低.

圖4 導(dǎo)向矢量存在3o失配時(shí)天線陣列輻射方向圖

圖5 天線陣列輻射方向圖隨導(dǎo)向失配程度的變化圖

5 結(jié) 論

將幾種加權(quán)稀疏約束的Capon 波束成形算法進(jìn)行比較，仿真結(jié)果表明：相對(duì)于SCCB 算法和標(biāo)準(zhǔn)Capon 波束成形算法，兩種WSCCB 算法得到的N 元線性天線陣列輻射方向圖的旁瓣和干擾零陷都有一定程度的降低，但是兩種WSCCB算法均存在干擾零陷，不能準(zhǔn)確指向設(shè)定的干擾方向.如何使天線陣列輻射方向圖的干擾零陷更加精準(zhǔn)，以及進(jìn)一步降低旁瓣是將來(lái)的主要研究?jī)?nèi)容.當(dāng)導(dǎo)向矢量存在失配時(shí)，WSCCB 算法表現(xiàn)出了較差的穩(wěn)健性，而且隨著失配角度的增大，其對(duì)真實(shí)期望方向的抑制增強(qiáng)，所以在降低干擾零陷和旁瓣的同時(shí)，算法的穩(wěn)健性也是需要考慮的問(wèn)題.