四企業(yè)定價(jià)的量子博弈

建晶晶，洪世煌，陳 吉

(杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

量子博弈論是近20年來(lái)興起的以量子信息論為工具研究博弈論的一門新興交叉學(xué)科[1]，為量子計(jì)算的一個(gè)重要發(fā)展分支，拓展了經(jīng)典博弈論。首先，在某些程度上，經(jīng)典博弈建立在概率體系的基礎(chǔ)上，可以被量子化，因此可以被拓展；其次，量子力學(xué)的基本規(guī)律如疊加、相干、糾纏等，對(duì)經(jīng)濟(jì)學(xué)上一些明顯的經(jīng)典而非量子的領(lǐng)域也有一定的影響。

在量子博弈論研究方面，D.A.Mayer[2]首先提出研究“PQ”問(wèn)題的量子化，發(fā)現(xiàn)博弈的一方可通過(guò)采用量子策略戰(zhàn)勝他的“經(jīng)典”對(duì)手；隨后，J.Eisert等[3]提出兩人量子模型，找到一個(gè)不同于經(jīng)典博弈的納什均衡并完美解決了經(jīng)典博弈中存在的“困境”。Du J.F.等[4]還研究了三人量子囚徒困境，找到一個(gè)新的納什均衡，在此均衡下，博弈者的收益隨著糾纏度的增強(qiáng)而增大。此外，Chen L.K.等[5]研究了量子消相干對(duì)量子囚徒困境的影響，發(fā)現(xiàn)在引入量子噪聲后，納什均衡并不受影響，而博弈體的收益受影響。在現(xiàn)實(shí)研究中，博弈不單單涉及兩人博弈，更多的是多人博弈，所以對(duì)多人量子博弈的研究更具有實(shí)際的應(yīng)用價(jià)值。本文推廣文獻(xiàn)[3]兩人量子模型，討論4個(gè)企業(yè)定價(jià)的量子博弈，及量子噪聲對(duì)博弈中決策者最佳策略與收益的影響。

1 四企業(yè)價(jià)格困境

表1 企業(yè)A與其他3個(gè)企業(yè)的收益矩陣

假設(shè)4個(gè)企業(yè)均有2個(gè)價(jià)格策略，即競(jìng)爭(zhēng)性低價(jià)和串謀高價(jià)。當(dāng)高價(jià)企業(yè)數(shù)量分別為0，1，2，3，4時(shí)，低價(jià)企業(yè)的收益分別為100，200，300，400，0；高價(jià)企業(yè)的收益分別為400，0，100，200，300。再以企業(yè)A為分析對(duì)象，給出其與其他3個(gè)企業(yè)的收益矩陣，具體如表1所示。其中，H0，H1，H2，H3分別表示其他3個(gè)企業(yè)采取高價(jià)的企業(yè)數(shù)量。

由表1可知：“低價(jià)”是一個(gè)嚴(yán)格優(yōu)勢(shì)策略，此經(jīng)典博弈有唯一Nash均衡。若所有企業(yè)都選擇“低價(jià)”策略，則各企業(yè)都只得到100的收益；若所有企業(yè)都選擇“高價(jià)”策略，則各企業(yè)的收益都將提高到300，情況大為改善。但是，理性思維促使企業(yè)不會(huì)這樣選擇，從而陷入兩難困境。本文將此博弈量子化，使困境得到解決。

2 “價(jià)格困境”量子化模型

2.1 量子化模型的建立

參照兩人“囚徒困境”的量子模型[3]建立四企業(yè)“囚徒困境”的量子博弈模型(稱為模型1)如圖1所示。

圖1 四企業(yè)囚徒困境的量子化模型

圖1中，給各企業(yè)分配1個(gè)比特源，企業(yè)可局部操作自己的比特源。將經(jīng)典策略的高價(jià)和低價(jià)的可能收益分配給二維Hilbert空間的2個(gè)基|0〉和|1〉，則各企業(yè)都有2個(gè)本征態(tài)|0〉(合作)和|1〉(對(duì)抗)，系統(tǒng)有16個(gè)本征態(tài)|ijkl〉,i,j,k,l∈{0,1}，其中i,j,k,l分別指企業(yè)A，B，C和D的比特[3]。具體量子化過(guò)程如下：

提高收益是博弈的最終目的，根據(jù)表1可得企業(yè)A的期望收益為：

$A=300P0000+200P0001+200P0010+100P0011+200P0100+100P0101+100P0110+400P1000+

300P1001+300P1010+200P1011+300P1100+200P1101+200P1110+100P1111

(1)

2.2 糾纏度對(duì)Nash均衡及收益的影響

當(dāng)糾纏度不再取最值時(shí)，求得系統(tǒng)存在一個(gè)閾值γth=π/6，量子博弈在不同的取值范圍內(nèi)會(huì)表現(xiàn)出不同的性質(zhì)，具體如下：

3 量子消相干現(xiàn)象對(duì)博弈的影響

在很多博弈中，量子策略總顯示出自己的獨(dú)特優(yōu)勢(shì)，其根本原因在于量子本身的糾纏性和相干性。本節(jié)討論了博弈者在最大糾纏態(tài)的情況下，量子噪聲對(duì)量子博弈產(chǎn)生的消相干現(xiàn)象是如何改變博弈結(jié)果的。

一般地，量子噪聲信道有去極化信道(Depolarizing Channel)、相位阻尼信道(Phase-damping Channel)和振幅阻尼信道(Amplitude-damping Channel)[5]，對(duì)應(yīng)的超算符分別為。

帶有消相干系數(shù)的量子博弈模型(稱為模型2)如圖2所示。此型的量子化過(guò)程如下：

圖2 量子噪聲下的量子博弈模型[5]

表2 p2=1時(shí)，噪聲信道1對(duì)量子博弈收益的影響

本文以企業(yè)A的收益為例來(lái)討論噪聲信道對(duì)量子博弈收益的影響。引入2個(gè)噪聲參數(shù)p1,p2(p1,p2∈[0,1])(pi(i=1,2)值的大小反映了信道的嘈雜程度)。p2=1時(shí)，噪聲信道1對(duì)量子博弈收益的影響如表2所示。p1=1時(shí)，噪聲信道2對(duì)量子博弈收益的影響如表3所示。

表3 p1=1時(shí)，噪聲信道2對(duì)量子博弈收益的影響

表3中，F(xiàn)=sinθ1sinθ2sinθ3sinθ4,G=-sin(φ1+φ2+φ3+φ4)-2sin(φ1-φ2-φ3-φ4)+sin(φ1-φ2+φ3-φ4)-sin(φ1-φ2-φ3+φ4)。

分析表2和表3可知，量子博弈的收益只受消相干信道2的影響。因此，假設(shè)p1=p2=p∈[0,1]，信道2中的噪聲參數(shù)p對(duì)量子博弈收益的影響如表4所示。

表4給出了企業(yè)A的量子策略取任意值時(shí)，以噪聲參數(shù)p為變量的收益函數(shù)圖像。當(dāng)參數(shù)p趨于1時(shí)，企業(yè)A的收益漸進(jìn)值是200，與表2一致。通過(guò)研究漸進(jìn)值，可發(fā)現(xiàn)第2信道似乎控制了博弈的行為。直觀地說(shuō)，這種行為是合理的，因?yàn)榈?個(gè)解碼信道發(fā)生在博弈者已經(jīng)做出自己的決策之后，而第1信道是在博弈者做出他們的決策之前對(duì)狀態(tài)起作用，但消相干量子博弈的總體結(jié)果仍然優(yōu)于經(jīng)典博弈。

4 結(jié)束語(yǔ)

類比文獻(xiàn)[4]研究的三人量子囚徒困境博弈，本文將四人經(jīng)典博弈量子化，討論了糾纏和消相干對(duì)四人量子博弈納什均衡以及收益的影響，研究結(jié)果與文獻(xiàn)[4]研究結(jié)果雷同。量子博弈可通過(guò)疊加、糾纏、干涉等途徑擴(kuò)大博弈主體的策略空間，從而得到優(yōu)于經(jīng)典博弈的結(jié)果。因此，可以用量子博弈來(lái)分析某些特定環(huán)境下(如量子噪聲)的復(fù)雜物理系統(tǒng)，也可用量子博弈手段來(lái)實(shí)現(xiàn)某些量子計(jì)算的問(wèn)題。但是，本文未對(duì)四人量子博弈納什均衡的演化穩(wěn)定性進(jìn)行分析，系統(tǒng)的初始狀態(tài)比較單一，有待進(jìn)一步深入研究。