關(guān)于Hardmard乘積下和幻方跡的若干不等式

劉娟娟，劉興祥，張 婧

(延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西延安716000)

幻陣學(xué)是矩陣?yán)碚撝蟹浅Ｖ匾膬?nèi)容，其廣泛應(yīng)用于密碼學(xué)、文件管理、人口流動等方面。而幻陣學(xué)對于研究矩陣不等式的相關(guān)問題也有很大價(jià)值和影響，其中幻陣學(xué)的分支——和幻方的定義及其跡的不等式前人還沒有研究過。本文在給出和幻方相關(guān)定義的基礎(chǔ)上，主要研究了關(guān)于Hardmard乘積下和幻方跡的幾個(gè)簡單的不等式，對于豐富矩陣不等式的研究內(nèi)容，完善矩陣不等式的框架體系具有重要意義。

1 和幻方的相關(guān)定義

定義1 設(shè)F是數(shù)域，如果矩陣A=(aij)n×n∈Fn×n滿足

則稱矩陣A稱為數(shù)域F上的n階弱和幻方，并稱Sw為數(shù)域F上n階弱和幻方A的弱幻和。

定義2 設(shè)F是數(shù)域，如果矩陣A=(aij)n×n∈Fn×n滿足

則稱矩陣A稱為數(shù)域F上的n階和幻方，并稱S為數(shù)域F上n階和幻方A的幻和。

2 矩陣不等式

角元，則有tr(A°B)≤trA·trB。

由Cacuchy不等式可知tr(A°B)≤trA·trB成立。

引理4[5,6]設(shè)A為n×n階Hermite半正定矩陣，則trAn≤(trA)n。

3 和幻方的不等式

定理1 設(shè)矩陣A，B分別為數(shù)域F上的n階和幻方，幻和分別為SA，SB，其中A=C*C,B=D*D,C,D為數(shù)域F上的n階Hermite半正定矩陣，則tr(A°B)2≤(SA·SB)2。

(SA)2(SB)2=(SA·SB)2，

所以tr(A°B)2≤(SA·SB)2成立。

推論1 設(shè)矩陣A，B分別為數(shù)域F上的n階和幻方，幻和分別為SA，SB，其中A=C*C，B=D*D，C，D為數(shù)域F上的n階Hermite半正定矩陣，則tr(A°B)n≤(SA·SB)n。

(SA)n(SB)n=(SA·SB)n，

所以tr(A°B)n≤(SA·SB)n成立。

證明：采用第一數(shù)學(xué)歸納法來證明：

n=1,trA1=SA1，

n=2,tr(A1°A2)=trA1·trA2=SA1·SA2，

假設(shè)n=k時(shí)命題成立，即

當(dāng)n=k+1時(shí)