損傷演化對韌性金屬碎裂過程的影響*

曹 祥，湯佳妮，王 珠，鄭宇軒，周風(fēng)華

（寧波大學(xué)沖擊與安全工程教育部重點實驗室，浙江 寧波 315211）

在沖擊載荷作用下，韌性金屬的損傷演化過程所需時間和沖擊加載時間及應(yīng)力波傳播時間相當，塑性變形集中化、內(nèi)部孔洞生長等現(xiàn)象在材料內(nèi)部大范圍內(nèi)同時發(fā)生，因此，韌性金屬的破壞通常伴隨著大量碎裂的產(chǎn)生[1-3]。20 世紀40 年代，Mott[4-5]率先開展了韌性金屬在沖擊載荷作用下動態(tài)拉伸碎裂過程研究，建立了固體碎裂的一維理論模型，用于分析韌性金屬炮彈殼體的動態(tài)斷（碎）裂過程。理想的簡化模型為受到均勻拉伸載荷的一維理想彈塑性桿，桿斷口的斷裂是一個瞬時發(fā)生的隨機現(xiàn)象，斷裂時刻的能量耗散忽略不計，以單個斷裂點誘發(fā)的卸載波傳播距離來衡量碎片尺度。在經(jīng)典的Mott 碎裂模型中，Mott 認為斷裂能和材料的損傷演化不重要，斷裂過程的統(tǒng)計本質(zhì)決定了碎片尺度及其分布。在Mott 卸載波傳播距離控制碎片尺度的理論基礎(chǔ)上，Kipp 等[6]、Grady[7]進一步認為，材料的分離是一個內(nèi)聚斷裂（cohesive fracture，亦稱黏滯性斷裂）過程，因此，引入材料斷裂能來表征斷裂過程中的耗散能，通過內(nèi)聚斷裂的線性損傷演化假定，得到了碎片尺寸的解析解。

Grady-Kipp 公式的推導(dǎo)過程涉及了諸多基本假定，例如假定材料應(yīng)變率率無關(guān)、理想塑性、溫度無關(guān)、剛性卸載、線性內(nèi)聚斷裂等。Zhang 等[8]實驗研究了1100-O 鋁環(huán)韌性碎裂過程。Levy 等[9]采用線性內(nèi)聚力模型數(shù)值分析了韌性碎裂產(chǎn)生的碎片分布。陳磊等[10]采用熱黏彈塑性本構(gòu)模型描述了材料的動態(tài)變形和熱軟化特性，數(shù)值分析了韌性金屬碎裂過程中出現(xiàn)的塑性流動、非均勻塑性變形和多重頸縮失穩(wěn)、Mott 波卸載和碎裂等多種現(xiàn)象。鄭宇軒等[11]在廣泛的材料參數(shù)和應(yīng)變率范圍內(nèi)，數(shù)值分析了Grady 基于線性內(nèi)聚斷裂的碎裂公式，發(fā)現(xiàn)其均能較好地預(yù)測碎裂過程所產(chǎn)生的平均碎片尺度的下限。在前期的數(shù)值模擬中，雖然考慮了材料的應(yīng)變率效應(yīng)、溫度效應(yīng)、塑性硬化等真實物理特性，但是描述材料的破壞和分離過程仍采用線性內(nèi)聚力失穩(wěn)斷裂準則。而韌性金屬實際的損傷演化過程是多樣化的，研究不同損傷演化規(guī)律對韌性金屬碎裂過程的影響，有助于全面認識材料在沖擊載荷作用下的動態(tài)拉伸特性和碎裂特性[12]。

脆性材料的碎裂過程中，非線性黏滯性斷裂關(guān)系對平均碎片尺度的影響主要體現(xiàn)在準靜態(tài)拉伸斷裂區(qū)域，黏滯斷裂模型的非線性指標越大，在裂紋卸載階段，隨著卸載時間的縮短，達到完全斷裂的臨界距離增大，計算得到的碎片尺寸更接近Glenn-Chudnovsky 模型的理論預(yù)測，即脆性材料碎片尺寸更小[13]。Gilles 等[14]理論分析了不同損傷弱化方式對韌性碎裂過程產(chǎn)生的碎片尺寸的影響。但是，脆性碎裂和韌性碎裂是完全不同的兩種卸載方式，脆性材料的卸載以彈性卸載波作用為主，而韌性材料的卸載以剛性卸載的動量擴散機制為主[15-16]。韌性金屬的損傷演化對其斷（碎）裂過程的影響和脆性材料是否相似，需進一步研究。

本文中通過建立受均勻拉伸載荷作用的一維金屬桿模型，采用Johnson-Cook 熱黏塑性本構(gòu)模型描述韌性金屬的變形和熱軟化特征，采用包含非線性內(nèi)聚力斷裂的Johnson-Cook 損傷斷裂模型描述韌性金屬的內(nèi)聚力分離過程，研究韌性金屬不同的損傷演化規(guī)律對其碎裂過程的影響，并進一步討論Grady-Kipp 碎裂公式的適用性。

1 有限元模擬

1.1 有限元模型

選取Mott-Grady 一維碎裂理論分析的桿作為有限元模擬對象，選用一維應(yīng)力狀態(tài)的黏彈塑性圓柱桿（45 鋼），桿長L 為120 mm，橫截面直徑d 為1 mm。桿的一端在軸向速度固定，另一端施加一個恒定速度為v0的拉伸載荷，如圖1 所示。以固定端為原點，在桿軸向施加線性遞減的初始速度梯度場v=v0x/L，在Mott 卸載波出現(xiàn)前加速度始終為恒定值，因此該一維桿受到的是一個均勻的拉伸載荷，避免了突加載荷產(chǎn)生的應(yīng)力波對金屬桿碎裂過程的干擾。

根據(jù)前期工作[10]中網(wǎng)格依賴性及步長對計算結(jié)果影響的分析，采用網(wǎng)格尺寸為0.185 mm的C3D10M 結(jié)構(gòu)的四面體單元能獲得較好的數(shù)值模擬結(jié)果。

圖 1 45 鋼桿的速度分布Fig. 1 Velocity distribution of 45 steel ductile metal bar

1.2 材料的本構(gòu)模型

采用Johnson-Cook 熱黏塑性本構(gòu)模型描述45 鋼的運動變形和熱軟化特征，采用內(nèi)聚力斷裂的Johnson-Cook 損傷斷裂模型描述45 鋼的損傷起始、演化過程及最終碎裂。用等效塑性應(yīng)變作為損傷因子D 的啟動準則，損傷啟動的臨界應(yīng)變與應(yīng)力三軸度、應(yīng)變率和溫度相關(guān)。

材料發(fā)生斷裂過程中，其損傷應(yīng)力與損傷因子、等效應(yīng)力的關(guān)系為：

式中：σy為斷裂點的單元損傷應(yīng)力；為無損傷材料的等效應(yīng)力；D 為損傷因子，當D=1 時，即完全損傷，材料將完全破壞而失去承載能力。在數(shù)值計算中，采用單元消去方法將失效單元（即死亡單元）從整體結(jié)構(gòu)中消去。

一旦損傷啟動，損傷隨單元內(nèi)部塑性變形的發(fā)展而逐漸增加至1，應(yīng)力隨塑性變形的發(fā)展而逐漸降為零，如圖2 所示。Grady 假定損傷演化過程是線性關(guān)系，可得損傷因子：

式中：σ0為損傷啟動時刻單元的應(yīng)力；Gc為材料分離所消耗的表面能，即損傷啟動到材料完全失效（D=1）時所需的斷裂能；upl為損傷啟動之后單元的塑性位移，等于單元尺寸L 與單元等效塑性應(yīng)變增量Δεpl的乘積。由此可知，如果發(fā)生相同的等效塑性應(yīng)變增量，大尺寸單元的損傷發(fā)展程度超過小尺寸單元。事實上，當材料發(fā)生以裂紋演化為主要形式的破壞時，局部塑性應(yīng)變往往集中在小單元內(nèi)，該損傷發(fā)展模型將材料抵抗損傷發(fā)展的能力通過材料的斷裂能參數(shù)表征，既可以較好地描述材料的分離過程，也可以有效修正數(shù)值模擬結(jié)果對單元尺寸的依賴性。

如果損傷演化過程是非線性關(guān)系，假定損傷因子：

圖 2 非線性損傷演化下內(nèi)聚力斷裂特性和損傷因子Fig. 2 The cohesive laws for separation and damage factor D under nonlinear damage evolutions

當α＞0 時，材料完全斷裂的臨界塑性位移極大地依賴于α 值，材料難以斷裂，而事實上，后期大部分的塑性位移僅貢獻少量的斷裂能，因此，在模擬過程中采用的斷裂控制設(shè)定為當D=0.99 時材料即發(fā)生完全斷裂。

1.3 材料參數(shù)

對于線性內(nèi)聚力斷裂模型，可采用文獻[11]中45 鋼的材料參數(shù)進行數(shù)值模擬，如表1 所示。其中ρ 為密度，E 為楊氏模量，ν 為泊松比，c 為比熱容，為轉(zhuǎn)變溫度，為熔化溫度，Gc為斷裂能，m 為熱軟化指數(shù)，為Taylor-Quinney 因數(shù)，為等效塑性應(yīng)變率，A、B、C、n 為材料常數(shù)。

結(jié)合式（1）和式（3）可得：

則

由Grady-Kipp 碎裂公式可知，碎裂過程中產(chǎn)生的碎片平均尺寸受表面能Gc的影響顯著，因此，研究不同的損傷演化規(guī)律對45 鋼一維桿碎裂過程的影響，必須固定表面能Gc=25 kN/m 不變。由式（6）可知，材料完全失效時單元的塑性位移還和損傷啟動時刻單元的應(yīng)力σy0相關(guān)，而45 鋼是應(yīng)變率敏感材料，不同應(yīng)變率拉伸下的σy0亦不同。設(shè)定初始恒定拉伸速度v0=2 400 m/s，即初始應(yīng)變率為2×104s?1，通過改變內(nèi)聚力斷裂的非線性指標α，可相應(yīng)得到不同的塑性位移，如表2 所示。

表 1 45 鋼材料的Johnson-Cook 本構(gòu)模型的物理參數(shù)Table 1 Material parameters of the 45 steel

表 2 非線性損傷演化下內(nèi)聚力斷裂參數(shù)（斷裂能Gc=25 kN/m）Table 2 The cohesive parameters under nonlinear damage evolutions (Gc=25 kN/m)

圖3 描繪了多種不同類型的非線性內(nèi)聚力斷裂曲線。當非線性指標α=0 時，材料的損傷演化為線性衰減；當α＞0 時，α 越大，在損傷啟動初期，內(nèi)聚力衰減越迅速，頸縮對周圍介質(zhì)迅速卸載，同時，由于完全斷裂時的塑性位移增大，因此，卸載波傳播的時間增加；當α＜0 時，α 越小，在損傷啟動初期，斷裂點的頸縮發(fā)展越緩慢，消耗的斷裂時間越長，但在接近臨界塑性位移時，斷裂點幾乎瞬時卸載并發(fā)生斷裂。

2 數(shù)值模擬及結(jié)果分析

2.1 損傷演化方式對碎片數(shù)的影響

圖 3 45 鋼桿的線性/非線性內(nèi)聚力斷裂曲線（初始應(yīng)變率為2×104 s?1）Fig. 3 The cohesive laws for separation under linear/nonlinear damage evolutions at the strain rate of 2×104 s?1

保證45 鋼的基本材料參數(shù)不變，在初始恒定拉伸速度v0=2 400 m/s 下，數(shù)值分析了具有不同損傷演化規(guī)律的一維圓桿的碎裂情況。圖4 給出了非線性指標α 分別為?10.0、?5.0、?1.0、?0.1、0.1、1.0、5.0、10.0 和0（線性）時一維桿碎裂后的形態(tài)。一維桿碎裂產(chǎn)生的碎片通常為27 塊左右；當時，如α=?10.0 和α=?5.0 時，一維桿碎裂產(chǎn)生的碎片數(shù)分別為34 和32；當時，如α=10.0 和α=5.0 時，一維桿碎裂產(chǎn)生的碎片數(shù)分別為5 和20，如圖5 所示。從圖5 可以看出，不同的損傷演化規(guī)律對韌性金屬碎裂過程中產(chǎn)生的碎片數(shù)有顯著影響，非線性指標α 數(shù)值越大，碎裂過程產(chǎn)生的碎片數(shù)越少，即碎片的平均尺寸越大。

圖 4 不同損傷演化規(guī)律下一維桿碎裂后的形態(tài)Fig. 4 Fragmentized 1D stress bars under different damage evolution laws

2.2 損傷演化方式對碎裂過程的影響

圖 5 損傷演化方式對碎片數(shù)的影響Fig. 5 The effect of damage evolution laws on fragment number

圖6 和圖7 給出了在恒定初始拉伸速度v0=2 400 m/s 時，不同損傷演化方式對韌性碎裂過程的影響。以α=0 的線性損傷演化為基準，α 越大，單個碎片中存在的頸縮越多，碎片在斷口和頸縮處的塑性變形越大，如圖6 所示。圖7（a）表明，在損傷演化啟動之前，碎片斷口位置的溫升曲線完全重合；損傷啟動后，α 越大，斷口處的應(yīng)力值衰減越迅速，對應(yīng)的塑性變形發(fā)展越緩慢，因而碎片斷口處溫升發(fā)展也越緩慢；同時，由于α 越大，材料完全斷裂時的塑性位移更大，碎片斷口處的最終溫升也更高。

圖7（b）給出了不同損傷演化規(guī)律下一維桿的平均應(yīng)力-應(yīng)變曲線。在損傷發(fā)生之前，各曲線完全重合；α 越大，一維桿最終的表觀應(yīng)變也越大，損傷演化階段斷口和頸縮的塑性變形提供了主要的應(yīng)變增量；與圖3 所示的材料內(nèi)聚力斷裂曲線不同，圖7（b）所示曲線反映的是桿的表觀應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，α 數(shù)值無論正負，曲線的形狀、趨勢均一致。

圖8 給出了不同損傷演化規(guī)律下一維桿的平均應(yīng)力-時程曲線。從圖8 可以看出：α 越小，一維桿的平均應(yīng)力衰減越快，在整個碎裂過程中斷裂點的瞬時卸載誘發(fā)出較大的應(yīng)力波擾動；當α=0 時，一維桿的平均應(yīng)力衰減適中，斷裂點處的線性卸載并未誘發(fā)顯著的應(yīng)力波擾動；α 越大，斷口處的應(yīng)力卸載越早，加之材料完全斷裂時刻的塑性位移增加，卸載時間變長，卸載波相互作用導(dǎo)致桿的整體卸載并不干脆，后期一維桿的平均應(yīng)力在振蕩中衰減。

圖 6 碎片斷口形貌Fig. 6 The fracture appearance of fragments

圖 7 損傷演化方式對碎裂過程的影響Fig. 7 The effect of different damage evolution laws on fragmentation process

圖 8 不同損傷演化規(guī)律下的應(yīng)力時程曲線Fig. 8 Stress-time curves under different damage evolution laws

2.3 結(jié)果分析與討論

式中：σc為程序計算出的臨界應(yīng)力；ρ 為材料參數(shù)；由材料參數(shù)唯一確定，因而也為材料參數(shù)，為表征碎裂過程的關(guān)鍵特征。定義無量綱應(yīng)變率和無量綱碎片尺度

可見，無量綱化后的碎片尺度由無量綱應(yīng)變率唯一確定，與材料參數(shù)不再相關(guān)。將不同損傷演化規(guī)律下的碎裂過程產(chǎn)生的碎片尺寸及斷裂應(yīng)變率無量綱化，結(jié)果按雙對數(shù)形式繪制于圖9。由圖9 可知：雖然初始應(yīng)變率相同，但是由于斷裂時刻桿的最終長度不同，因此，不同損傷演化規(guī)律下一維桿的斷裂應(yīng)變率相差較大；α 數(shù)值越大，數(shù)值模擬得到的平均碎片尺寸和Grady-Kipp 公式預(yù)測的理論值偏差越大，α 數(shù)值過大導(dǎo)致完全斷裂時刻的斷口塑性位移過大，完全斷裂所需時間過長，大部分頸縮的發(fā)展最終都被卸載波終止，從而導(dǎo)致碎片數(shù)過少，即碎片平均尺寸偏大；α 數(shù)值越小，數(shù)值模擬得到的平均碎片尺寸越接近Grady-Kipp 公式預(yù)測的理論值。

值得注意的是，α 數(shù)值越大，韌性碎裂過程產(chǎn)生的碎片平均尺寸越大，和脆性碎裂結(jié)果正好相反。這是因為：韌性材料的卸載以剛性卸載的動量擴散機制為主，卸載波傳播的區(qū)域?qū)⒔K止塑性變形的發(fā)展；α 數(shù)值越大，卸載波產(chǎn)生時間越早，持續(xù)時間越長，導(dǎo)致卸載波傳播的距離也更長，即碎片尺寸偏大；而脆性材料的卸載以彈性卸載為主，α 數(shù)值越大，碎裂過程中誘發(fā)的應(yīng)力波動能越少，材料內(nèi)部存儲的彈性能可以完全轉(zhuǎn)化為斷裂能，從而使脆性固體更容易斷裂，即碎片尺寸偏小。

圖9 結(jié)果顯示，在大部分α 取值范圍內(nèi)，Grady-Kipp 碎裂公式仍能較好地預(yù)測韌性碎裂過程中產(chǎn)生的碎片尺寸，只有當α 數(shù)值很大（如α=10.0）時，理論和數(shù)值模擬結(jié)果的偏差較大。針對α=10.0 的情況，圖10 給出了更廣泛的應(yīng)變率范圍下無量綱碎片尺寸與無量綱斷裂應(yīng)變率的關(guān)系。圖10 表明：當α 數(shù)值很大時，損傷演化規(guī)律對韌性碎裂的影響具有顯著的率敏感性，應(yīng)變率越低，數(shù)值模擬結(jié)果和理論分析偏差越大；隨著應(yīng)變率的升高，數(shù)值模擬結(jié)果和理論分析偏差趨于穩(wěn)定，但仍存在不小偏差。造成此現(xiàn)象的主要原因是，45 鋼為顯著的應(yīng)變率敏感材料，應(yīng)變率的提高增大了一維桿的損傷啟動應(yīng)力，在斷裂能保持不變的前提下，相應(yīng)完全斷裂時刻的塑性位移將降低，結(jié)果更接近線性內(nèi)聚力斷裂的假定。

圖 9 無量綱應(yīng)變率和無量綱碎片尺寸的關(guān)系Fig. 9 The relationship between normalized strain rate and normalized fragment size

圖 10 α=10.0 時，無量綱碎片尺寸與應(yīng)變率的關(guān)系Fig. 10 Normalized fragment size vs normalized strain rate at cohesive parameter α=10.0

3 結(jié) 論

采用ABAQUS 有限元軟件數(shù)值模擬再現(xiàn)了一維應(yīng)力狀態(tài)下的韌性金屬桿（45 鋼桿）在高應(yīng)變率下均勻拉伸碎裂過程，分析了一維桿在線性和非線性損傷演化下的韌性碎裂過程，得到以下結(jié)論。

（1）非線性指標α 數(shù)值越大，碎裂過程中產(chǎn)生的單個碎片中存在的頸縮越多，碎片在斷口和頸縮處均具有更大的塑性變形，相應(yīng)的斷口處溫升越明顯。

（2）韌性金屬的損傷演化規(guī)律對其碎裂過程具有顯著影響，非線性指標α 數(shù)值越大，碎裂過程中產(chǎn)生的碎片數(shù)越少。當非線性指標α 小于零或略大于零時，Grady-Kipp 碎裂公式仍能較好地預(yù)測韌性碎裂過程中產(chǎn)生的碎片尺寸；當非線性指標α 遠大于零時，在較低的沖擊拉伸載荷作用下，數(shù)值模擬結(jié)果和Grady-Kipp 模型預(yù)測值的偏差較大，隨著應(yīng)變率升高，數(shù)值模擬結(jié)果與Grady-Kipp 模型預(yù)測值吻合較好。